Descompuneri în factori

390 vizualizări · 13 voturi

Test: Test de evaluare pentru descompuneri în...

Raportează o problemă

Descrie pe scurt problema sau sugestia ta. Vom primi automat și pagina de pe care scrii.

Mulțumim!

Mesajul tău a ajuns la noi. Vom analiza problema cât de curând.

A descompune o expresie algebrică în factori înseamnă a o scrie ca un produs de două sau mai multe expresii algebrice.

1. Metoda factorului comun

Formula ce exprimă distributivitatea înmulțirii față de adunare și scădere, scrisă invers, reprezintă formula de scoatere a factorului comun:

$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$

Spunem că am scos factor comun pe a.

Exemplu de descompunere folosind metoda factorului comun:

$8 x^{3} + 16 x^{2} + 4 x = 4 x (2 x^{2} + 4 x + 1)$

2. Metoda folosirii formulelor de calcul prescurtat

Formula de calcul pentru pătratul sumei (sau al diferenței) de doi termeni, scrisă invers, reprezintă restrângerea pătratului sumei (sau al diferenței):

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2} a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$

De-asemenea, formula pentru diferența a două pătrate, scrisă invers, reprezintă descompunerea în factori a acelei expresii:

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

Exemple de descompuneri folosind formule de calcul prescurat:

$x^{2} + 10 x + 25 = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2} = {(x + 5)}^{2} x^{2} - 12 x + 36 = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2} = {(x - 6)}^{2} x^{2} - 81 = (x + 9) (x - 9)$

3. Metode combinate

Pentru a descompune unele expresii în factori vom folosi cele două metode amintite mai sus precum și artificii de calcul, grupând termenii în mod corespunzător.

Exemplu de descompunere folosind metode combinate:

$x^{2} (a - 1) - 9 a + 9 = x^{2} (a - 1) - 9 (a - 1) = (a - 1) (x^{2} - 9) = (a - 1) (x + 3) (x - 3) .$

Deschide pagina de teorie: Descompuneri în factori →

Descompunerea în factor

Descompunerea în factor este operația inversă în mulțirii.

A descompune o expresie algebrică în factor înseamnă a o scrie ca un produs de două sau mai multe expresii algebrice.

Avem mai multe metode de a descompune în factor expresie.

Prima dintre acestea este metoda factorului comun.

Avem de exemplu următoarea expresie

În acest caz, aplicăm proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunare în variata inversată

și anume trebuie să identificăm un factor comun al tuturor termenilor expresiei date.

Observăm că acest factor comun este 5 și vom scrie egal cu 5 pe lângă x plus y plus z.

Observăm așa, dar că am transformat suma algebrică într-un produs, deci am descompus-o în factor.

Un al doilea exemplu

Observăm că acești trei termeni conțin factorul comun 4

și de asemenea mai au și factorul comun x la a doua, adică x la puterea cea mai mică.

Și atunci vom da factor comun pe 4x la a doua.

A da factor comun înseamnă a împărți fiecare termen la acel factor comun.

8x la a treia împărțit la 4x la a doua este 2x

16x la a doua împărțit la 4x la a doua este 4

Iar 4x la a patra împărțit la 4x la a doua este x la a doua.

Observăm că în paranteză nu mai putem da factor comun și atunci această descompunere va rămâne sub această formă.

Punctul C

5 pe lângă 2x minus 3

minus x pe lângă 2x minus 3

Observăm că factorul comun este expresia 2x minus 3

și atunci vom scrie egal cu 2x minus 3

pe lângă 5 minus x

O a doua metodă de descompunere a expresiilor algebrice în factor

este metoda folosirii formulelor de calcul prescurtat

Să ne reamintim aceste formule de calcul prescurtat

a plus b la a doua este egal cu a la a doua plus 2ab plus b la a doua

a minus b la a doua este egal cu a la a doua minus 2ab plus b la a doua

și a plus b pe lângă a minus b este egal cu a la a doua minus b la a doua

Avem următoarea expresie

x la a doua plus 10x plus 25

Metoda factorului comun nu se poate aplica

deoarece acești trei termeni nu au un factor comun

primii doi termeni ar avea factorul comun x însă 25 nu-l conține pe x

și atunci nu vom folosi prima metodă

Încercăm să evidențiem în această expresie

pătratele unor numere reale

astfel încât să putem folosi prima formulă de calcul prescurtat

Observăm că x la a doua este pătratul lui x

25 este pătratul lui 5

iar 10x este produsul dintre 2, x și 5

Și atunci vom scrie astfel

x la a doua plus 2 ori x ori 5

plus 5 la a doua

Și atunci avem condițiile acestei formule de calcul prescurtat

care se va restringe sub forma

x plus 5 totul la a doua

O a doua expresie

x la a doua minus 12x plus 36

Să evidențiem pătratele unor numere

x la a doua este pătratul lui x

36 este pătratul lui 6

și acum verificăm dacă termenul din mijloc

este produsul dintre 2 și ceilalți termeni

Observăm că 12x înseamnă 2 ori x ori 6

deci putem aplica a doua formulă de calcul prescurtat

Vom scrie egal în continuare cu x la a doua

minus 2 ori x ori 6

plus 6 la a doua

egal mai departe

în locul lui a avem x

iar în locul lui b avem 6

deci vom restringe această expresie sub forma

x minus 6 totul la a doua

Și un al treilea exemplu

x la a doua minus 64

Observăm că avem diferența a doua pătrate

de numere reale pentru că 64 este pătratul lui 8

deci putem scrie egal mai departe cu x la a doua minus 8 la a doua

Ne uităm la ultima formulă de calcul prescurtat

Observăm că diferența a doua pătrate

se descompune în produsul dintre suma și diferența celor două numere

deci această expresie se va scrie x plus 8

pe lângă x minus 8

Rețineți că această formulă se poate aplica

doar în cazul diferenței a doua pătrate

nu și în cazul sumei a doua pătrate

Și o a treia posibilitate de a descompune expresiile algebrice în factor

este folosirea unor metode combinate

și anume gruparea termenilor, artificii de calcul,

factor comun sau formule de calcul prescurtat

Ne propunem să descompunem în factor următoarea expresie

x la a doua plus 5x plus 6

Observăm că nu putem da factor comun

pentru că acești termeni nu au un factor comun

Primii doi termeni conțin factorul comun x

însă 6 nu-l conține pe x

Să vedem dacă putem aplica a doua metodă

cea a formulelor de calcul prescurtat

Având în vedere că nu putem evidenția

în numărul 6 pătratul unui alt număr real

înseamnă că nu vom putea aplica

formulele de calcul prescurtat

și atunci va trebui să scriem această expresie

sub o altă formă, astfel încât ulterior

să putem evidenția un factor comun

Să încercăm să-l scriem pe 5x

ca fiind suma dintre 4x și x

Să vedem dacă ne ajută această scriere

Înlocuim în expresia inițială și obținem

x la a doua plus 4x

plus x plus 6

Acum putem da factor comun din primii doi termeni

pe x și vom scrie egal cu x

pe lângă x plus 4

plus x plus 6

Însă observăm că acum nu mai putem da

factor comun, înseamnă că această scriere

alui 5x sub forma 4x plus x

nu este prea convenabilă

Voi rescrie această expresie x la a doua

plus 5x plus 6

și să încercăm să-l scriem pe 5x

sub forma 3x plus 2x

O să înlocuim în expresia inițială și obținem

x la a doua plus 3x

plus 2x plus 6

Din primii doi termeni îl dăm factor comun pe x

și obținem x pe lângă x plus 3

Iar din ultimii doi termeni îl dăm factor comun pe 2

și scriem 2 pe lângă x plus 3

Observăm că acum putem continua descompunerea

fiindcă avem factorul comun x plus 3

și vom putea scrie egal cu x plus 3

pe lângă x plus 2

Așadar am descompus această expresie

în factori

Cum putem să găsim mai ușor

modalitatea de a scrie termenul din mijloc

fără să facem prea multe încercări

O regulă ar fi aceasta

atunci când coeficientul lui x la a doua este 1

trebuie să găsim două numere

care adunate să dea 5

și înmulțite să dea 6

Acestea sunt în cazul nostru 3 și 2

pentru că 3 plus 2 este egal cu 5

și 3 ori 2 este egal cu 6

Și atunci punând în aplicare această regulă

și anume suma numerelor

să dea coeficientul lui x

iar produsul celor două numere

să fie egal cu termenul liber

vom putea să descompunem mai ușor aceste expresii

fără să folosim prea multe încercări

În continuare vom face câteva exerciții

Descompuneți în factori expresiile

La punctul A

o să mai scrie o dată expresia

7x pe lângă 5x plus 3

plus 14 pe lângă 5x plus 3

Observăm că putem să dăm factor comun

expresia 5x plus 3

și vom scrie egal cu 5x plus 3

pe lângă 7x plus 14

Acum ne uităm în paranteze să vedem

dacă nu putem să continuăm descompunerea

Observăm că în a doua paranteză

avem factorul comun 7

și atunci vom scoate pe 7 factor comun

din a doua paranteză și îl voi scrie

în fața parantezelor

egal cu 7 pe lângă 5x plus 3

pe lângă x plus 2

Punctul B

x la a doua pe lângă a minus 1

minus 9a plus 9

Ultimii doi termeni conțin un factor comun

și atunci vom scrie egal cu x la a doua

pe lângă a minus 1

și vom da factor comun pe minus 9

minus 9 pe lângă a minus 1

Atenție! Când îl dăm factor comun pe minus 9

în paranteză rămâne minus 1

Acum observăm că putem să mai dăm

factor comun pe a minus 1

și obținem a minus 1 pe lângă

x la a doua minus 9

În a doua paranteză observăm că avem

diferența a două pătrate

fiindcă 9 este pătratul lui 3

și atunci folosim această formulă de calcul prescurtat

a la a doua minus b la a doua

se descompone în a plus b

pe lângă a minus b

În cazul nostru a este x

și b va fi 3

și atunci scriem egal cu a minus 1

pe lângă x plus 3

pe lângă x minus 3

Punctul C

5x plus 1 la a doua

minus 4x la a doua

Observăm că avem și de data aceasta

diferența a două pătrate

fiindcă 4x la a doua este pătratul lui 2x

și atunci putem să folosim

din nou această formulă

egal cu 5x plus 1

la a doua minus 2x la a doua

așadar am pus în evidență

cele două pătrate

și acum aplicăm formula de calcul prescurtat

În locul lui a noi avem

expresia 5x plus 1

iar b în cazul nostru este

2x

așadar vom descompone în a plus b

pe lângă a minus b

adică 5x plus 1

plus 2x

pe lângă 5x plus 1

minus 2x

Acum facem calculele în paranteze

5x plus 2x este

7x plus 1

iar 5x minus 2x este

3x plus 1

În paranteze nu mai putem da factor comun

și nici nu mai putem aplica alte metode

Punctul D

16x la a șasea

plus 8x la a treia

plus 1

Să încercăm să evidențiem

pătratele unor expresii

observăm că 16x la a șasea

este pătratul lui 4x

la a treia

1 este pătratul lui 1

8x la a treia

înseamnă produsul dintre 2

ori 4x la a treia

ori 1

Observăm atunci că putem să aplicăm această formulă

de calcul prescurtat

a la a doua plus 2ab

plus b la a doua

se restringe sub forma a plus b

totul la a doua

și atunci vom scrie egal mai departe

cu 4x la a treia

totul la a doua

plus 2 ori 4x la a treia

ori 1

plus 1 la a doua

Am evidențiat așadar această formulă

Acum cazul nostru a este

prima paranteză adică 4x la a treia

iar b este 1

și atunci vom scrie egal cu 4x la a treia

plus 1

totul la a doua

și ultimul exercițiu, punctul e

x la a doua

minus 7x plus 6

Să vedem cum putem să îl scriem pe 7x

Încercăm să găsim două numere

care adunate să dea 7

și înmulțite să dea 6

Acestea sunt 6 și 1

pentru că 6 plus 1 este egal cu 7

și 6 ori 1 este egal cu 6

și atunci pe 7x îl vom scrie

sub forma 6x plus x

și înlocuim în expresia inițială

x la a doua minus

fiindcă avem acest minus vom pune în paranteză

6x plus x

plus 6

Acum desfacem paranteza schimbând

numerelor din paranteză

și obținem x la a doua minus 6x

minus x plus 6

Din primii doi dăm factor comun pe x

și obținem x pe lângă x minus 6

iar din ultimii doi dăm factor comun pe minus 1

și scriem minus

pe lângă x minus 6

Observăm că avem un factor comun

acesta este x minus 6

deci vom scrie egal cu x minus 6

pe lângă x minus 1

și obținem x la a doua minus 6x

Deschide transcriptul lecției: Descompuneri în factori →

Continuă cu testul

Test de evaluare pentru descompuneri în factori

Comentarii (1)

Autentifică-te pentru a lăsa un comentariu.

D

dianaa_ix 10 ani în urmă

Bună ziua. Marți am examen la matematica (sunt in clasa a 8-a ) si nu am înțeles tipul acesta de exerciții...ma puteți ajuta va rog frumos?

|