Transcript: Descompuneri în factori

Descompunerea în factor
Descompunerea în factor este operația inversă în mulțirii.
A descompune o expresie algebrică în factor înseamnă a o scrie ca un produs de două sau mai multe expresii algebrice.
Avem mai multe metode de a descompune în factor expresie.
Prima dintre acestea este metoda factorului comun.
Avem de exemplu următoarea expresie
În acest caz, aplicăm proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunare în variata inversată
și anume trebuie să identificăm un factor comun al tuturor termenilor expresiei date.
Observăm că acest factor comun este 5 și vom scrie egal cu 5 pe lângă x plus y plus z.
Observăm așa, dar că am transformat suma algebrică într-un produs, deci am descompus-o în factor.
Un al doilea exemplu
Observăm că acești trei termeni conțin factorul comun 4
și de asemenea mai au și factorul comun x la a doua, adică x la puterea cea mai mică.
Și atunci vom da factor comun pe 4x la a doua.
A da factor comun înseamnă a împărți fiecare termen la acel factor comun.
8x la a treia împărțit la 4x la a doua este 2x
16x la a doua împărțit la 4x la a doua este 4
Iar 4x la a patra împărțit la 4x la a doua este x la a doua.
Observăm că în paranteză nu mai putem da factor comun și atunci această descompunere va rămâne sub această formă.
Punctul C
5 pe lângă 2x minus 3
minus x pe lângă 2x minus 3
Observăm că factorul comun este expresia 2x minus 3
și atunci vom scrie egal cu 2x minus 3
pe lângă 5 minus x
O a doua metodă de descompunere a expresiilor algebrice în factor
este metoda folosirii formulelor de calcul prescurtat
Să ne reamintim aceste formule de calcul prescurtat
a plus b la a doua este egal cu a la a doua plus 2ab plus b la a doua
a minus b la a doua este egal cu a la a doua minus 2ab plus b la a doua
și a plus b pe lângă a minus b este egal cu a la a doua minus b la a doua
Avem următoarea expresie
x la a doua plus 10x plus 25
Metoda factorului comun nu se poate aplica
deoarece acești trei termeni nu au un factor comun
primii doi termeni ar avea factorul comun x însă 25 nu-l conține pe x
și atunci nu vom folosi prima metodă
Încercăm să evidențiem în această expresie
pătratele unor numere reale
astfel încât să putem folosi prima formulă de calcul prescurtat
Observăm că x la a doua este pătratul lui x
25 este pătratul lui 5
iar 10x este produsul dintre 2, x și 5
Și atunci vom scrie astfel
x la a doua plus 2 ori x ori 5
plus 5 la a doua
Și atunci avem condițiile acestei formule de calcul prescurtat
care se va restringe sub forma
x plus 5 totul la a doua
O a doua expresie
x la a doua minus 12x plus 36
Să evidențiem pătratele unor numere
x la a doua este pătratul lui x
36 este pătratul lui 6
și acum verificăm dacă termenul din mijloc
este produsul dintre 2 și ceilalți termeni
Observăm că 12x înseamnă 2 ori x ori 6
deci putem aplica a doua formulă de calcul prescurtat
Vom scrie egal în continuare cu x la a doua
minus 2 ori x ori 6
plus 6 la a doua
egal mai departe
în locul lui a avem x
iar în locul lui b avem 6
deci vom restringe această expresie sub forma
x minus 6 totul la a doua
Și un al treilea exemplu
x la a doua minus 64
Observăm că avem diferența a doua pătrate
de numere reale pentru că 64 este pătratul lui 8
deci putem scrie egal mai departe cu x la a doua minus 8 la a doua
Ne uităm la ultima formulă de calcul prescurtat
Observăm că diferența a doua pătrate
se descompune în produsul dintre suma și diferența celor două numere
deci această expresie se va scrie x plus 8
pe lângă x minus 8
Rețineți că această formulă se poate aplica
doar în cazul diferenței a doua pătrate
nu și în cazul sumei a doua pătrate
Și o a treia posibilitate de a descompune expresiile algebrice în factor
este folosirea unor metode combinate
și anume gruparea termenilor, artificii de calcul,
factor comun sau formule de calcul prescurtat
Ne propunem să descompunem în factor următoarea expresie
x la a doua plus 5x plus 6
Observăm că nu putem da factor comun
pentru că acești termeni nu au un factor comun
Primii doi termeni conțin factorul comun x
însă 6 nu-l conține pe x
Să vedem dacă putem aplica a doua metodă
cea a formulelor de calcul prescurtat
Având în vedere că nu putem evidenția
în numărul 6 pătratul unui alt număr real
înseamnă că nu vom putea aplica
formulele de calcul prescurtat
și atunci va trebui să scriem această expresie
sub o altă formă, astfel încât ulterior
să putem evidenția un factor comun
Să încercăm să-l scriem pe 5x
ca fiind suma dintre 4x și x
Să vedem dacă ne ajută această scriere
Înlocuim în expresia inițială și obținem
x la a doua plus 4x
plus x plus 6
Acum putem da factor comun din primii doi termeni
pe x și vom scrie egal cu x
pe lângă x plus 4
plus x plus 6
Însă observăm că acum nu mai putem da
factor comun, înseamnă că această scriere
alui 5x sub forma 4x plus x
nu este prea convenabilă
Voi rescrie această expresie x la a doua
plus 5x plus 6
și să încercăm să-l scriem pe 5x
sub forma 3x plus 2x
O să înlocuim în expresia inițială și obținem
x la a doua plus 3x
plus 2x plus 6
Din primii doi termeni îl dăm factor comun pe x
și obținem x pe lângă x plus 3
Iar din ultimii doi termeni îl dăm factor comun pe 2
și scriem 2 pe lângă x plus 3
Observăm că acum putem continua descompunerea
fiindcă avem factorul comun x plus 3
și vom putea scrie egal cu x plus 3
pe lângă x plus 2
Așadar am descompus această expresie
în factori
Cum putem să găsim mai ușor
modalitatea de a scrie termenul din mijloc
fără să facem prea multe încercări
O regulă ar fi aceasta
atunci când coeficientul lui x la a doua este 1
trebuie să găsim două numere
care adunate să dea 5
și înmulțite să dea 6
Acestea sunt în cazul nostru 3 și 2
pentru că 3 plus 2 este egal cu 5
și 3 ori 2 este egal cu 6
Și atunci punând în aplicare această regulă
și anume suma numerelor
să dea coeficientul lui x
iar produsul celor două numere
să fie egal cu termenul liber
vom putea să descompunem mai ușor aceste expresii
fără să folosim prea multe încercări
În continuare vom face câteva exerciții
Descompuneți în factori expresiile
La punctul A
o să mai scrie o dată expresia
7x pe lângă 5x plus 3
plus 14 pe lângă 5x plus 3
Observăm că putem să dăm factor comun
expresia 5x plus 3
și vom scrie egal cu 5x plus 3
pe lângă 7x plus 14
Acum ne uităm în paranteze să vedem
dacă nu putem să continuăm descompunerea
Observăm că în a doua paranteză
avem factorul comun 7
și atunci vom scoate pe 7 factor comun
din a doua paranteză și îl voi scrie
în fața parantezelor
egal cu 7 pe lângă 5x plus 3
pe lângă x plus 2
Punctul B
x la a doua pe lângă a minus 1
minus 9a plus 9
Ultimii doi termeni conțin un factor comun
și atunci vom scrie egal cu x la a doua
pe lângă a minus 1
și vom da factor comun pe minus 9
minus 9 pe lângă a minus 1
Atenție! Când îl dăm factor comun pe minus 9
în paranteză rămâne minus 1
Acum observăm că putem să mai dăm
factor comun pe a minus 1
și obținem a minus 1 pe lângă
x la a doua minus 9
În a doua paranteză observăm că avem
diferența a două pătrate
fiindcă 9 este pătratul lui 3
și atunci folosim această formulă de calcul prescurtat
a la a doua minus b la a doua
se descompone în a plus b
pe lângă a minus b
În cazul nostru a este x
și b va fi 3
și atunci scriem egal cu a minus 1
pe lângă x plus 3
pe lângă x minus 3
Punctul C
5x plus 1 la a doua
minus 4x la a doua
Observăm că avem și de data aceasta
diferența a două pătrate
fiindcă 4x la a doua este pătratul lui 2x
și atunci putem să folosim
din nou această formulă
egal cu 5x plus 1
la a doua minus 2x la a doua
așadar am pus în evidență
cele două pătrate
și acum aplicăm formula de calcul prescurtat
În locul lui a noi avem
expresia 5x plus 1
iar b în cazul nostru este
2x
așadar vom descompone în a plus b
pe lângă a minus b
adică 5x plus 1
plus 2x
pe lângă 5x plus 1
minus 2x
Acum facem calculele în paranteze
5x plus 2x este
7x plus 1
iar 5x minus 2x este
3x plus 1
În paranteze nu mai putem da factor comun
și nici nu mai putem aplica alte metode
Punctul D
16x la a șasea
plus 8x la a treia
plus 1
Să încercăm să evidențiem
pătratele unor expresii
observăm că 16x la a șasea
este pătratul lui 4x
la a treia
1 este pătratul lui 1
8x la a treia
înseamnă produsul dintre 2
ori 4x la a treia
ori 1
Observăm atunci că putem să aplicăm această formulă
de calcul prescurtat
a la a doua plus 2ab
plus b la a doua
se restringe sub forma a plus b
totul la a doua
și atunci vom scrie egal mai departe
cu 4x la a treia
totul la a doua
plus 2 ori 4x la a treia
ori 1
plus 1 la a doua
Am evidențiat așadar această formulă
Acum cazul nostru a este
prima paranteză adică 4x la a treia
iar b este 1
și atunci vom scrie egal cu 4x la a treia
plus 1
totul la a doua
și ultimul exercițiu, punctul e
x la a doua
minus 7x plus 6
Să vedem cum putem să îl scriem pe 7x
Încercăm să găsim două numere
care adunate să dea 7
și înmulțite să dea 6
Acestea sunt 6 și 1
pentru că 6 plus 1 este egal cu 7
și 6 ori 1 este egal cu 6
și atunci pe 7x îl vom scrie
sub forma 6x plus x
și înlocuim în expresia inițială
x la a doua minus
fiindcă avem acest minus vom pune în paranteză
6x plus x
plus 6
Acum desfacem paranteza schimbând
numerelor din paranteză
și obținem x la a doua minus 6x
minus x plus 6
Din primii doi dăm factor comun pe x
și obținem x pe lângă x minus 6
iar din ultimii doi dăm factor comun pe minus 1
și scriem minus
pe lângă x minus 6
Observăm că avem un factor comun
acesta este x minus 6
deci vom scrie egal cu x minus 6
pe lângă x minus 1
și obținem x la a doua minus 6x