Formula de trinom la pătrat

Haideți să facem acum câteva aplicații ale formulei de trinom la pătrat.

Ce înseamnă trinom la pătrat?

Înseamnă, de fapt, o sumă de trei numere ridicată la pătrat.

Putem să notăm că a, b și c sunt toate numere reale.

Acum vom obține aici o formulă pe care, sigur, o puteți memora,

dar mai înainte de aceasta, haideți să vedem cum deducem această formulă și așa o vom și obține.

Deci, avem o sumă de trei numere și această sumă este ridicată la pătrat.

Cum mai putem scrie pătratul pe care l-avem aici?

Foarte simplu, acest număr, deci această sumă a plus b plus c înmulțită cu ea însăși,

deci cu a plus b plus c.

Cu alte cuvinte, a plus b plus c, totul la pătrat, cu cât va fi egal.

Păi trebuie să desfacem acum parantezele.

Fiecare termen din prima paranteză se va înmulți cu fiecare din a doua.

Iată, pe a-l vom înmulți mai întâi cu a, apoi cu b, apoi cu c.

La fel vom proceda și pentru b și pentru c.

Deci a ori a ne dă a pătrat adunat cu a înmulțit cu b, deci plus a b adunat cu a ori c, a c.

Nu e cazul să ne punem problema de vreun semn, peste tot avem adunare, semnul plus, la fel și aici,

deci vom obține mereu plus.

Vom face același lucru și pentru b.

b ori a adunat mai departe cu b ori b, adică b la pătrat, adunat cu b ori c, b c, adunat cu c înmulțit cu a,

adică c a adunat cu c ori b, notăm c b, adunat în final cu c ori c, adică c pătrat.

Și să vedem ce am obținut, deci a plus b plus c, totul la pătrat cu cât este egal.

Să trecem mai întâi pătratele obținute, adică a pătrat adunat cu b pătrat, adunat cu c pătrat, adunat cu.

Ce ne-a mai rămas?

Păi avem aici a b, dar avem și pe b a, este același lucru, avem două numere egale, la fel cum se întâmplă și aici,

avem a c și c a sau, iată, avem b c și c b.

Păi haideți să facem aceste sume, a b adunat cu b a, înseamnă a b plus a b, deci 2 a b, adunat cu a c plus c a,

înseamnă 2 a c, adunat cu b c plus c b, înseamnă 2 b c.

Putem să și încadrăm această formulă.

Ce am obținut aici, de fapt, este formula de trinom la pătrat.

Când aplicăm această formulă în exerciții, trebuie să fim atenți la semnul termenilor care sunt în această sumă.

De exemplu, facem acest exercițiu, am notat aici formula și vrem să calculăm x plus y minus z la pătrat și vom aplica direct formula.

Păi, în locul lui a îl trecem pe x, în locul lui b îl trecem pe y, însă în locul lui c, atenție, îl vom trece pe minus z,

pentru că, iată, avem de fapt x adunat cu y adunat cu minus z totul, punem paranteză pătrată, totul la pătrat.

Și de aici se vede ușor că în locul lui a îl trecem pe x, adică x este a, y este b, iar minus z este c.

Și vom avea așa, a pătrat, adică x la pătrat, adunat cu b pătrat, adică y la pătrat, adunat aici cu c pătrat,

bun, dar c este minus z, deci trecem minus z totul la pătrat, adunat cu 2 înmulțit cu a, adică x înmulțit cu b, b este y,

adunat cu 2 ori a, adică ori x, ori c, c-ul este minus z, deci ori minus z adunat cu 2, b-ul este y și c-ul este minus z.

Și haideți să vedem ce am obținut, deci avem x pătrat, adunat cu y la pătrat, adunat cu z la pătrat, pentru că semnul minus când e ridicat la pătrat dispare,

adunat cu 2xy, adunat mai departe cu, iată aici avem 2 ori x ori minus z, păi acesta fiind un număr negativ când se înmulțește cu un număr pozitiv ne dă un număr negativ,

cu semnul plus din față ne dă minus, sau altfel spus putem să ne gândim că plus înmulțit cu minus ne dă minus, deci aici vom obține minus 2 ori x ori z, 2xz.

Să trecem ceva mai sus ce am notat aici, ne-a dat exact ce am obținut aici, păi semnul minus de aici și-a făcut simțită prezența în cadrul acestor termeni când am avut aceste produse,

nu atunci când am avut numărul ridicat la pătrat pentru că prin ridicare la pătrat semnul dispare, de aceea trebuie să fim atenți la semnele termenilor din paranteză.

Ultimul exemplu, 2xy minus 3 plus z totul la pătrat, deci în locul lui A vom avea 2xy, acesta este primul termen, în locul lui B vom avea minus 3, suntem atenți și la semn, iar în locul lui C îl avem pe z.

Și să aplicăm direct formula, avem primul termen ridicat la pătrat, deci 2xy totul la pătrat, întotdeauna între pătratele numerelor observăm că avem semnul plus, avem aici al doilea termen ridicat la pătrat,

deci minus 3 la pătrat, sau dacă vreți puteți să scrieți direct 3 la a doua, adunat cu z la pătrat.

Tot așa, haideți să respectăm semnul plus de aici din formulă, adunat cu, și acum vor urma produsele în care înmulțim termenii 2 câte 2, deci 2 înmulțit cu primul termen, adică 2xy înmulțit cu al doilea termen, adică cu minus 3.

Adunat mai departe cu 2 ori, pentru că avem dublul acestor produse, primul termen 2xy înmulțit cu ultimul z, adunat cu 2 înmulțit cu, avem produsul B or C, adică minus 3 or z.

Și îl notăm aici, minus 3 or z.

Cât vom obține?

Și în final avem 2 or minus 3 minus 6 cu plus din față, deci ne dăm minus 6 or z, deci minus 6z. Și s-a încheiat.