Numărul rațional |a| se numește rădăcina pătrată a numărului b, dacă b = a² și scriem:

                                                  $\sqrt{b}=\left|a\right|.$

Exemple:

$$\begin{gathered} \sqrt{100}=\sqrt{{10}^2}=\left|10\right|=10 \\ \sqrt{\frac{1}{81}}=\sqrt{{\left(\frac{1}{9}\right)}^2}=\left|\frac{1}{9}\right|=\frac{1}{9} \\ \sqrt{6^2}=\left|6\right|=6 \\ \sqrt{{\left(-7\right)}^2}=\left|-7\right|=7 \end{gathered}$$

Observație. Extragerea rădăcinii pătrate este operația inversă ridicării la pătrat.

Proprietăți

$$\begin{gathered} 1. \sqrt{a}\ge 0, \forall a\in {\mathrm{\mathbb{Q}}}_{+} \\ 2. {\left(\sqrt{a}\right)}^2=a, \forall a\in {\mathrm{\mathbb{Q}}}_{+} \\ 3. \sqrt{a^2}=\left|a\right|, \forall a\in \mathrm{\mathbb{Q}}. \end{gathered}$$

Exemple:
 

 $\sqrt{2}, \sqrt{3}, -\sqrt{5}, \sqrt{7},...$

Mulțimea numerelor reale este reuniunea mulțimii numerelor raționale cu mulțimea numerelor iraționale.
Mulțimea numerelor reale este reuniunea mulțimii numerelor raționale cu mulțimea numerelor iraționale.

Notație: \(\mathbb{R}\)
 

Are loc relația de incluziune:
 

$\mathrm{\mathbb{N}}\subset \mathrm{\mathbb{Z}}\subset \mathrm{\mathbb{Q}}\subset \mathrm{ℝ}$

Mulțimea numerelor iraționale se notează astfel:
 

$\mathrm{ℝ}\backslash \mathrm{\mathbb{Q}}.$

Un număr irațional este o fracție zecimală infinită și neperiodică.

Exemple:

 $\sqrt{2}, \sqrt{3}, -\sqrt{5}, \sqrt{7},...$

Mulțimea numerelor reale este reuniunea mulțimii numerelor raționale cu mulțimea numerelor iraționale.

Notație:

$\mathrm{ℝ}$

Are loc relația de incluziune:

$\mathrm{\mathbb{N}}\subset \mathrm{\mathbb{Z}}\subset \mathrm{\mathbb{Q}}\subset \mathrm{ℝ}$

Mulțimea numerelor iraționale se notează astfel:

$\mathrm{ℝ}\backslash \mathrm{\mathbb{Q}}.$

Având în vedere că numerele iraționale au o infinitate de zecimale, pentru a le putea reprezenta pe axă vom recurge la aproximări ale acestora. De asemenea, aproximările sunt utile atunci când comparăm două numere reale sau când trebuie să estimăm rezultatul unui exercițiu.

Rotunjirea unui număr constă în înlocuirea acestuia cu aproximarea cea mai apropiată. Dacă cifra care urmează în partea dreaptă este 0, 1, 2, 3, 4, atunci rotunjirea se va face prin lipsă, iar dacă cifra din dreapta este 5, 6, 7, 8, 9 atunci rotunjirea va fi aproximarea prin adaos.

Exemplu:

$\sqrt{7}=2,6457...$

În continuare vom scrie aproximările acestui număr.

• aproximat prin lipsă  la unitate:

$\sqrt{7}\simeq 2$

• aproximat prin adaos la unitate:

$\sqrt{7}\simeq 3$

• rotunjit la unitate:

$\sqrt{7}\simeq 3$

• aproximat prin lipsă la o zecime:

$\sqrt{7}\simeq 2,6$

• aproximat prin adaos la o zecime:

$\sqrt{7}\simeq 2,7$

• rotunjit la zecimi:

$\sqrt{7}\simeq 2,6$

• aproximat prin lipsă la o sutime:

$\sqrt{7}\simeq 2,64$

• aproximat prin adaos la o sutime:

$\sqrt{7}\simeq 2,65$

• rotunjit la sutimi:

$\sqrt{7}\simeq 2,65$

• aproximat prin lipsă la o miime:

$\sqrt{7}\simeq 2,645$

• aproximat prin adaos la o miime:

$\sqrt{7}\simeq 2,646$

• rotunjit la miimi:

$\sqrt{7}\simeq 2,646.$​

Axa numerelor reale este o dreaptă, pe care am fixat un punct O numit origine, un sens pozitiv și o unitate de măsură.

Două numere  reale a și b sunt în relația a < b dacă, reprezentându-le pe axă, b este situat la dreapta lui a.

Partea întreagă a unui număr real x, notată [x], este cel mai mare număr întreg, mai mic sau egal cu x.

Exemple:

[3,8] = 3

[-3,8] = -4

Partea fracționară a unui număr real x, notată {x}, este diferența dintre numărul x și partea sa întreagă.

Exemple:

{3,8} = 3,8-[3,8] = 3,8-3 = 0,8

{-3,8} = -3,8-[-3,8] = -3,8-(-4) = -3,8+4 = 0,2.

Fie a un număr real, a>0.

$$\begin{gathered} \left|x\right|<a\iff x\in \left(-a,a\right) \\ \left|x\right|\le a\iff x\in \left[-a,a\right] \\ \left|x\right|>a\iff x\in \left(-\infty ,-a\right) \cup \left(a,+\infty \right) \\ \left|x\right|\ge a\iff x\in (-\infty ,-a] \cup [a,+\infty ). \end{gathered}$$

Fie a și b două numere reale, a < b. 

Intervale mărginite:

1. Interval deschis de extremități a și b

$(a,b)=\left\{x\in \mathrm{ℝ} \overline{)}a<x<b\right\}$

2. Interval închis de extremități a și b

$\left[a,b\right]=\left\{x\in \mathrm{ℝ} \overline{)}a\le x\le b\right\}$

3. Interval închis la stânga în a și deschis la dreapta în b

$[a,b)=\left\{x\in \mathrm{ℝ} \overline{)}a\le x<b\right\}$

4. Interval deschis la stânga în a și închis la dreapta în b

$(a,b]=\left\{x\in \mathrm{ℝ} \overline{)}a<x\le b\right\}$

Intervale nemărginite

1. Interval deschis la stânga în a și nemărginit la dreapta

$\left(a,+\infty \right)=\left\{x\in \mathrm{ℝ} \overline{)}a<x\right\}$

2. Interval închis la stânga în a și nemărginit la dreapta

$[a,+\infty )=\left\{x\in \mathrm{ℝ} \overline{)}a\le x\right\}$

3. Interval nemărginit la stânga și închis la dreapta în a

$(-\infty ,a]=\left\{x\in \mathrm{ℝ} \overline{)}x\le a\right\}$

4. Interval nemărginit la stânga și deschis la dreapta în a

$\left(-\infty ,a\right)=\left\{x\in \mathrm{ℝ} \overline{)}x<a\right\}$

Fie a și b două numere reale, a < b. 

Intervale mărginite:

1. Interval deschis de extremități a și b

$(a,b)=\left\{x\in \mathrm{ℝ} \overline{)}a<x<b\right\}$

2. Interval închis de extremități a și b

$\left[a,b\right]=\left\{x\in \mathrm{ℝ} \overline{)}a\le x\le b\right\}$

3. Interval închis la stânga în a și deschis la dreapta în b

$[a,b)=\left\{x\in \mathrm{ℝ} \overline{)}a\le x<b\right\}$

4. Interval deschis la stânga în a și închis la dreapta în b

$(a,b]=\left\{x\in \mathrm{ℝ} \overline{)}a<x\le b\right\}$

Intervale nemărginite

1. Interval deschis la stânga în a și nemărginit la dreapta

$\left(a,+\infty \right)=\left\{x\in \mathrm{ℝ} \overline{)}a<x\right\}$

2. Interval închis la stânga în a și nemărginit la dreapta

$[a,+\infty )=\left\{x\in \mathrm{ℝ} \overline{)}a\le x\right\}$

3. Interval nemărginit la stânga și închis la dreapta în a

$(-\infty ,a]=\left\{x\in \mathrm{ℝ} \overline{)}x\le a\right\}$

4. Interval nemărginit la stânga și deschis la dreapta în a

$\left(-\infty ,a\right)=\left\{x\in \mathrm{ℝ} \overline{)}x<a\right\}$

Intervalele fiind definite ca mulțimi, ele vor păstra toate proprietățile operațiilor cu mulțimi, pe care le reamintim:

Reuniunea a două mulțimi:

$A\cup B=\left\{x\in \mathrm{ℝ}\overline{)}x \in A sau x\in B\right\}$

Intersecția a două mulțimi:

$A\cap B=\left\{x\in \mathrm{ℝ}\overline{)}x \in A și x\in B\right\}$

Diferența a două mulțimi:

$A\backslash B=\left\{x\in \mathrm{ℝ}\overline{)}x \in A și x\notin B\right\}$

Valoarea absolută sau modulul unui număr real reprezintă distanța de la origine până la poziția acestuia pe axa numerelor.

Exemple:

$$\begin{gathered} \left|-2,6\right|=2,6 \\ \left|\sqrt{3}\right|=\sqrt{3} \\ \left|-\sqrt{5}\right|=\sqrt{5} \\ \left|0\right|=0 \end{gathered}$$

Opusul unui număr real x este numărul -x, astfel încât x+ (-x) = (-x)+x = 0.

Două numere reale sunt opuse dacă au semne contrare și aceeași valoare absolută.

Exemple:

$\sqrt{7} și -\sqrt{7}$

Pentru orice număr real a, are loc:

$$\begin{gathered} \left|a\right|= \overline{)-a, dacă a<0 \\ 0, dacă a=0 \\ a, dacă a>0.} \end{gathered}$$

Proprietăți ale modulului

$$\begin{gathered} 1. \left|a\right|\ge 0, \forall a\in \mathrm{ℝ} \\ 2. \left|-a\right|=\left|a\right|, \forall a\in \mathrm{ℝ} \\ 3. \left|ab\right|=\left|a\right|·\left|b\right|, \forall a,b\in \mathrm{ℝ}. \end{gathered}$$

Pentru a aduna două sau mai multe numere reale de forma $a\sqrt{b}, b\ge 0,$care au același număr sub radical, se adună factorii din fața radicalilor, iar rezultatul se înmulțește cu radicalul.

                                                               $a\sqrt{b}+c\sqrt{b}=(a+c)\sqrt{b}$

Exemplu:

$3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=(3+5)\sqrt{2}=8\sqrt{2}$

Proprietățile adunării numerelor reale:

• asociativitatea: a+(b+c) = (a+b)+c, oricare ar fi numerele reale a, b, c
• comutativitatea: a+b = b+a, oricare ar fi numerele reale a și b
• numărul 0 este element neutru: a+0 = 0+a =a, oricare ar fi numărul real a.

​Observație. Suma a două numere reale opuse este egală cu 0.

Exemplu:

$\sqrt{7}+(-\sqrt{7})=0.$

Diferența a două numere reale a și b se efectuează adunând la descăzut opusul scăzătorului: a-b = a+(-b).

Exemplu:

$2\sqrt{7}-5\sqrt{7}=2\sqrt{7}+\left(-5\sqrt{7}\right)=\left[2+(-5)\right]\sqrt{7}=-3\sqrt{7}.$

Produsul radicalilor se efectuează aplicând formulele:

$$\begin{gathered} \sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{a·b} (a,b\ge 0) \\ a\sqrt{b}·c\sqrt{d}=ac\sqrt{bd} (b,d\ge 0) \\ n·a\sqrt{b}=na\sqrt{b} (b\ge 0) \end{gathered}$$

Exemple:

$$\begin{gathered} \sqrt{7}·\sqrt{3}=\sqrt{21} \\ -2\sqrt{5}·3\sqrt{2}=-6\sqrt{10} \\ (-6)·5\sqrt{11}=-30\sqrt{11}. \end{gathered}$$

Proprietățile înmulțirii numerelor reale

Fie a, b, c numere reale. Au loc următoarele proprietăți:

• comutativitatea: a·b = b·a

• asociativitatea: (a·b)·c = a·(b·c)

• numărul 1 este element neutru: a·1 = 1·a = a

• distributivitatea înmulțirii față de adunare și scădere: a·(b+c)=a·b+a·c  și  a·(b-c)=a·b-a·c.

Câtul radicalilor se efectuează înmulțind primul număr cu inversul celui de-al doilea:

$\left(a\sqrt{b}\right):\left(c\sqrt{d}\right)=a\sqrt{b}·\frac{1}{c\sqrt{d}}=\frac{a\sqrt{b}}{c\sqrt{d}}=\frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}}=\left(a:c\right)\sqrt{b:d} (b\ge 0, c\ne 0, d>0)$

sau, scrise sub formă de fracție, avem:

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} (a\ge 0, b>0) \\ \frac{a\sqrt{b}}{c\sqrt{d}}=\frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}} (b\ge 0, c\ne 0, d>0) \end{gathered}$$

Fie a un număr real, iar n un număr natural nenul.

$$\begin{gathered} a^n=\underbrace{a·a·a·...·a} \\ n ori \end{gathered}$$

a- se numește bază

n- se numește exponent

Exemplu:

${\left(\sqrt{2}\right)}^3=\sqrt{2}·\sqrt{2}·\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

$$\begin{gathered} \boxed{\overline{)\overline{) {\left(\sqrt{a}\right)}^n=\sqrt{a^n} \\ {\left(a\sqrt{b}\right)}^n=a^n\sqrt{b^n} }}} (a, b\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, b>0, n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}) \end{gathered}$$

Reguli de calcul cu puteri

$a^m·a^n=a^{m+n} (a\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, m, n\in \mathrm{\mathbb{N}})$

$a^m:a^n=a^{m-n} (a\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, m, n\in \mathrm{\mathbb{N}}, m\ge n)$

${\left(a^m\right)}^n=a^{m·n} (a\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, m, n\in \mathrm{\mathbb{N}})$

$a^m·b^m=(a·b{)}^m (a,b\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, m\in \mathrm{\mathbb{N}})$

$a^m:b^m=(a:b{)}^m (a,b\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, m\in \mathrm{\mathbb{N}})$

$(-a{)}^n=\left\{\begin{array}{l} a^n, n-par\\ -a^n, n-impar\end{array}\right.a\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

$a^0=1 (a\in {\mathrm{ℝ}}^{*})$

$a^1=a (a\in {\mathrm{ℝ}}^{*})$

Dacă exponentul este negativ, atunci vom aplica următoarea formulă:

$\boxed{a^{-n}=\frac{1}{a^n}} (a\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, n\in \mathrm{\mathbb{N}})$

În particular, dacă n = 1, avem:

$\boxed{a^{-1}=\frac{1}{a}} (a\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, n\in \mathrm{\mathbb{N}}).$

Exemple:

$$\begin{gathered} {\left(\sqrt{3}\right)}^{-4}=\frac{1}{{\left(\sqrt{3}\right)}^4}=\frac{1}{9} \\ {\left(2\sqrt{5}\right)}^{-1}=\frac{1}{2\sqrt{5}}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} a, b\in \mathrm{ℝ}, b\ge 0 \\ \sqrt{a^{2}b}=\left|a\right|\sqrt{b}=\left\{\begin{array}{l} a\sqrt{b}, a\ge 0\\ -a\sqrt{b}, a<0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Exemple:

$$\begin{gathered} \sqrt{2^2·5}=2\sqrt{5} \\ \sqrt{{\left(-3\right)}^2·7}=\left|-3\right|\sqrt{7}=3\sqrt{7} \\ \sqrt{72}=\sqrt{2^3·3^2}=\sqrt{2^2·3^2·2}=\left(2·3\right)\sqrt{2}=6\sqrt{2}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} a, b\in \mathrm{ℝ}, b\ge 0 \\ a\sqrt{b}=\left\{\begin{array}{l} \sqrt{a^{2}b}, a\ge 0\\ -\sqrt{a^{2}b}, a<0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Exemple:

$$\begin{gathered} 7\sqrt{2}=\sqrt{7^2·2}=\sqrt{98} \\ -6\sqrt{3}=-\sqrt{(-6{)}^2·3}=-\sqrt{108}. \end{gathered}$$

Raționalizarea numitorului unui fracții este operația prin care transformăm o fracție cu numitor irațional într-o fracție cu numitor rațional.

Raționalizarea fracțiilor de forma

$\frac{c}{a\sqrt{b}}, a\in {\mathrm{\mathbb{Q}}}_{+}, b\in {{\mathrm{\mathbb{Q}}}^{*}}_{+}$

se face prin amplificarea fracției cu radicalul de la numitor.

$\boxed{ {}^{{}^{\sqrt{b})}}\frac{c}{a\sqrt{b}}=\frac{c\sqrt{b}}{ab} }$

Exemplu:

${}^{\sqrt{5})}\frac{2}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}·\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{3·5}=\frac{2\sqrt{5}}{15}.$

Ordinea efectuării operațiilor cu numere reale este aceeași ca și la numere raționale, ținând cont și de regulile de calcul cu radicali:

• mai întâi calculăm ridicările la putere (operații de ordinul III)
• apoi efectuăm înmulțirile și împărțirile (operații de ordinul II)
• la final efectuăm adunările și scăderile (operații de ordinul I).

Dacă într-un exercițiu avem și paranteze, efectuăm mai întâi operațiile din parantezele rotunde, apoi operațiile din parantezele pătrate, apoi din acolade.

1. Media aritmetică a n numere reale este:

$\boxed{ m_a=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} }$

2. Media aritmetică ponderată a n numere reale este:

$$\begin{gathered} \boxed{ m_p=\frac{p_1{a}_1+p_2{a}_2+...+p_n{a}_n}{p_1+p_2+...+p_n} } \\ {p}_1, p_2,..., p_n- ponderi \end{gathered}$$

3. Media geometrică (proporțională) a două numere reale pozitive este:

$\boxed{ m_g=\sqrt{a·b} }$

Inegalitatea mediilor:

$Dacă 0\le a\le b:$

$\boxed{ a\le m_g\le m_a\le b }$

În particular:

$a\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le b.$

Raționalizarea numitorului unui fracții este operația prin care transformăm o fracție cu numitor irațional într-o fracție cu numitor rațional.

1. Raționalizarea fracțiilor de forma

$\frac{c}{a\sqrt{b}}, a\in {\mathrm{\mathbb{Q}}}_{+}, b\in {{\mathrm{\mathbb{Q}}}^{*}}_{+}$

se face prin amplificarea fracției cu radicalul de la numitor.

$\boxed{ {}^{{}^{\sqrt{b})}}\frac{c}{a\sqrt{b}}=\frac{c\sqrt{b}}{ab} }$

Exemplu:

${}^{\sqrt{5})}\frac{2}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}·\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{3·5}=\frac{2\sqrt{5}}{15}.$

2. Raționalizarea fracțiilor de forma

$\frac{c}{a\pm \sqrt{b}}, a, b\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$

se face prin amplificarea fracției cu expresia conjugată și aplicarea formulei de calcul prescurat:

$\left(a+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{b}\right)=a^2-b.$

$$\begin{gathered} \boxed{ {}^{{}^{a-\sqrt{b})}}\frac{c}{a+\sqrt{b}}=\frac{c\left(a-\sqrt{b}\right)}{\left(a+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{b}\right)}=\frac{c\left(a-\sqrt{b}\right)}{a^2-b} } \\ \boxed{ {}^{{}^{a+\sqrt{b})}}\frac{c}{a-\sqrt{b}}=\frac{c\left(a+\sqrt{b}\right)}{\left(a-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{b}\right)}=\frac{c\left(a+\sqrt{b}\right)}{a^2-b} } \end{gathered}$$

Exemplu:

${}^{2-\sqrt{5})}\frac{4}{2+\sqrt{5}}=\frac{4\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=\frac{4\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=-4\left(2-\sqrt{5}\right)=-8+4\sqrt{5}$

Reamintim:

 $a\sqrt{b}+c\sqrt{b}=(a+c)\sqrt{b}$

Exemplu:

$3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=(3+5)\sqrt{2}=8\sqrt{2}$

Pentru a efectua adunări și scăderi cu fracții de forma

$\frac{c}{a\pm \sqrt{b}}$

mai întâi raționalizăm numitorii, amplificând fracția cu expresia conjugată.

Apoi aducem fracțiile la numitor comun și aplicăm regulile de calcul cu radicali învățate.

Reamintim aceste reguli de calcul cu radicali:

Produsul radicalilor:

$$\begin{gathered} \sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{a·b} (a,b\ge 0) \\ a\sqrt{b}·c\sqrt{d}=ac\sqrt{bd} (b,d\ge 0) \\ n·a\sqrt{b}=na\sqrt{b} (b\ge 0) \end{gathered}$$

Câtul radicalilor:

$$\begin{gathered} \sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{a:b} (a\ge 0, b>0) \\ a\sqrt{b}:c\sqrt{d}=a:c\sqrt{b:d} (b\ge 0, c\ne 0, d>0) \end{gathered}$$

Pentru a efectua înmulțirea rapoartelor de numere reale de forma

$\frac{c}{a\pm \sqrt{b}}$

înmulțim numărătorii între ei și numitorii între ei, iar la sfărșit raționalizăm fracția obținută (dacă e cazul).

Pentru a efectua câtul a două rapoarte de numere reale, înmulțim primul raport cu inversul celui de-al doilea.

Reamintim:

$$\begin{gathered} \boxed{\overline{)\overline{) {\left(\sqrt{a}\right)}^n=\sqrt{a^n} \\ {\left(a\sqrt{b}\right)}^n=a^n\sqrt{b^n} }}} (a, b\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, b>0, n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}) \end{gathered}$$

Reguli de calcul cu puteri

$a^m·a^n=a^{m+n} (a\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, m, n\in \mathrm{\mathbb{N}})$

$a^m:a^n=a^{m-n} (a\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, m, n\in \mathrm{\mathbb{N}}, m\ge n)$

${\left(a^m\right)}^n=a^{m·n} (a\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, m, n\in \mathrm{\mathbb{N}})$

$a^m·b^m=(a·b{)}^m (a,b\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, m\in \mathrm{\mathbb{N}})$

$a^m:b^m=(a:b{)}^m (a,b\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, m\in \mathrm{\mathbb{N}})$

$(-a{)}^n=\left\{\begin{array}{l} a^n, n-par\\ -a^n, n-impar\end{array}\right.a\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

$a^0=1 (a\in {\mathrm{ℝ}}^{*})$

$a^1=a (a\in {\mathrm{ℝ}}^{*})$

Dacă exponentul este negativ, atunci vom aplica următoarea formulă:

$\boxed{a^{-n}=\frac{1}{a^n}} (a\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, n\in \mathrm{\mathbb{N}})$

În particular, dacă n = 1, avem:

$\boxed{a^{-1}=\frac{1}{a}} (a\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, n\in \mathrm{\mathbb{N}}).$

Exemple:

$$\begin{gathered} {\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^{-4}={\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}^4=\frac{16}{9} \\ {\left(\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)}^{-1}=\frac{3}{2\sqrt{5}}. \end{gathered}$$