Legătura dintre intervale și modul

Să vedem acum care este legătura dintre intervale și modul.

Și avem acest exemplu, vrem să găsim toate numerele reale care au proprietatea că modulul lor este mai mic sau egal cu 3.

Și ne vom ajuta și de axa numerelor reale, am reprezentat aici unitatea de măsură,

deci vrem să găsim toate numerele reale X, astfel încât modul de X să fie mai mic sau egal cu 3.

În primul rând, ce înseamnă modul de X?

Păi dacă X este un număr real, să considerăm că X este poziționat aici,

atunci modul de X înseamnă distanța de la origine până la punctul de coordonată X, adică această distanță.

Distanța aceasta reprezintă modul de X.

Acum noi vrem să găsim acele numere, astfel încât această distanță să fie cum?

Mai mică sau egală cu 3, adică mai mică sau egală cu 3 unități de măsură.

Păi haide să ștergem aici și să vedem dacă găsim vreun număr care verifică într-adevăr această inequație.

Păi din start, modul de 3 este mai mic sau egal cu 3?

Sigur, modul de 3 ne dă 3, verifică această inegalitate.

Atunci haide să trecem pe 3 pe axa numerelor.

Avem aici 1, 2 și aici este numărul 3.

Bun, modul de 3 reprezintă chiar această distanță.

Avem aici modul de 3, adică 3 unități de măsură.

Mai sunt și alte numere care verifică această inequație?

Păi dacă luăm de exemplu un număr situat între 0 și 3.

Să spunem că luăm acest număr.

Modulul său reprezintă distanța de la origine până la acest punct, adică această distanță.

Cum este ea față de 3 unități de măsură?

Păi această distanță este clar mai mică decât 3 unități de măsură pe care le putem reprezenta aici.

Aici avem 3 unități de măsură.

Asta înseamnă că de fapt și acest număr verifică această inequație.

Bun, dar de fapt orice număr am luat, număr cuprins între 0 și 3.

O să verifice această inequație pentru că modulul său va fi mai mic sau cel mult egal cu 3 unități de măsură.

Asta înseamnă că, haide să notăm, de fapt mai repede putem să ștergem aici.

Toate numerele care sunt cuprinse între 0 și 3 verifică inequația dată.

Sunt ele singurele?

Păi nu, același lucru se întâmplă și cu simetricele acestor puncte față de originea axei numerelor.

Dacă luăm numărul minus 3, aici este minus 1, minus 2, minus 3.

Modul de minus 3 este mai mic sau egal cu 3. Modul de minus 3 ne dă chiar 3.

Adică aceste 3 unități de măsură. Asta înseamnă modul de minus 3.

Păi orice număr am luat cuprins între minus 3 și 0, de exemplu acesta, modulul său va fi această distanță care este clar mai mică decât 3 unități de măsură.

Deci orice număr am luat cuprins între minus 3 și 0 va avea modulul mai mic sau cel mult egal cu 3 unități de măsură.

Deci putem să notăm că toate numerele care sunt cuprinse între minus 3 și 0 verifică și ele această inequatie.

Sunt ele singurele?

Dacă luăm de exemplu un număr mai mare strict decât 3, să spunem un număr de aici, cum este modulul său?

Păi modulul său înseamnă distanța de la origine la acest punct, o să o trasesc cu galben, care, iată, această distanță, cum este?

Este mai mare de 3 unități de măsură.

Deci putem să notăm că nici un număr mai mare strict ca 3 nu verifica această inequatie, deci aici nu avem soluții.

La fel, dacă luăm un număr strict mai mic decât minus 3, de exemplu acesta, modulul său, adică această distanță, va fi mai mare decât 3 unități de măsură.

Deci nici aici nu avem nicio soluție.

Cu alte cuvinte, singurele numere care verifică această inequatie sunt cele cuprinse între minus 3 și 3.

Cu minus 3 și 3 inclusiv, pentru că vedem că și 3 și minus 3 verifică.

Ce am obținut?

Avem, de fapt, un interval închis și haide să notăm că modul de x este mai mic sau egal cu 3, dacă și numai dacă x aparține acestui interval închis minus 3 și 3.

Dacă avem acum, vrem să găsim acum toate numerele reale care au proprietatea că modulul lor este strict mai mic decât 4.

Păi de vreme ce ne apare aici numărul 4, haide să îl trecem și pe axa numerelor.

Avem aici numărul 1, aici îl avem pe 2, aici este 3 și aici avem numărul 4.

Să vedem acum dacă numărul 4 verifică această inequatie, adică dacă x este 4, modul de 4 este mai mic strict decât 4?

Păi modul de 4 înseamnă, de fapt, numărul 4.

Avem cu alte cuvinte aceste 4 unități de măsură.

Păi clar nu este strict mai mic decât 4, deci avem aici o relație falsă.

Bun, însă orice număr am luat care este strict mai mic decât 4 și este cuprins între 0 și 4, va verifica.

Iată, dacă luăm un număr situat aici, modulul acestui număr, chiar putem să îl trasăm, iată, este această distanță care clar este mai mică decât 4 unități de măsură.

Sau putem să luăm un număr mai aproape de 0, de exemplu aici.

Păi modulul acestui număr este această distanță care și ea este mai mică strict decât 4 unități de măsură.

Cu alte cuvinte, orice număr am luat care este cuprins între 0 și 4, verifică această inequatie.

Însă, atenție, nu îl punem în calcul și pe 4, modul de 4 nu este strict mai mic decât 4.

Haideți să ștergem și aici.

Sunt acestea singurele numere?

Nu.

La fel se întâmplă și cu simetricele acestor puncte față de originea axei numerelor.

Dacă luăm numărul minus 4, avem aici minus 1, minus 2, minus 3 și minus 4.

Păi nici numărul minus 4 nu verifică pentru că modul de minus 4 nu este strict mai mic decât 4.

Această relație este falsă. Modul de minus 4 ne dă chiar 4.

Însă, orice număr am luat cuprins între minus 4 și 0, de exemplu acesta,

va avea modulul mai mic decât 4 unități de măsură.

Deci, toate numerele de fapt, numere cuprinse între minus 4 și 0,

vor avea modulul strict mai mic decât 4 unități de măsură, deci verific această inequație.

Însă, cum am spus, nu luăm în calcul numerele minus 4 și 4.

Dacă luăm însă un număr mai mare strict decât 4, de exemplu un număr de aici, cum este modulul său?

Modulul său, dacă e să îl și reprezentăm, trece de 4 unități de măsură.

Deci, orice număr am luat și acel număr să fie strict mai mare decât 4,

el va avea modulul mai mare ca 4 unități de măsură, deci nu verific această inequație.

Bun, haide să așurăm atunci această zonă, pentru că aici nu avem soluții.

La fel, nici aici nu avem soluții, este aceeași explicație.

Și ce am obținut?

Păi, de fapt, singurele numere care verifică această inequație

sunt cele cuprinse între minus 4 și 4, fără să luăm în calcul aceste două numere.

Deci, am obținut un interval deschis.

Notăm că modul de x este strict mai mic decât 4,

dacă și numai dacă x aparține intervalului deschis minus 4, 4.

Acum putem să și concluzionăm.

Dacă avem o mulțime care e formată din elementele x numere reale,

cu proprietatea că modul de x este mai mic strict decât a,

unde punem condiția ca a să fie un număr real,

a strict mai mare ca 0,

pentru că modulul este întotdeauna un număr mai mare sau egal cu 0.

Deci am luat a strict pozitiv.

Ce vom obține?

Păi, privind acest exemplu, aici am obținut minus 4, 4, interval deschis.

Vom avea intervalul deschis minus a, a.

Dacă însă avem prima situație,

adică x numă real cu proprietatea că modul de x este mai mic sau egal cu a,

atunci vom obține un interval închis minus a, a.

Dacă avem însă,

de determinat, toate numerele reale x,

astfel încât modul de x este mai mare sau egal cu 2.

Deci vrem să găsim toate numerele reale care au modulul mai mare sau egal cu 2.

Păi, haideți să vedem.

Numărul 2 verifica această inequatie?

Adică modul de 2 este mai mare sau egal cu 2?

Sigur, modul de 2 ne dă chiar 2.

Deci putem să îl trecem pe axă pe 2.

Aici este 1, aici este numărul 2.

Iar numărul 2 verifica această inequatie.

Numărul 1 însă, dacă x este egal cu 1,

modul de 1 este mai mare sau egal cu 2?

Nu este.

Modul de 1 reprezintă această distanță

care clar este mai mică decât 2 unități de măsură.

Deci aici avem o relație falsă

și putem să ștergem aici.

1 nu este soluție pentru această inequatie.

Noi vrem să găsim acele numere care au modulul

mai mare sau egal cu 2 unități de măsură.

Dacă vrem ca modulul lor să fie mai mare

decât aceste 2 unități de măsură,

unde vom căuta numerele respective?

Păi le vom căuta după 2.

De exemplu, acest număr are modulul,

iată, îl reprezentăm aici.

Această distanță este modulul său,

clar este mai mare decât 2 unități de măsură.

De fapt, toate numerele care sunt mai mari ca 2

verific această inequatie

pentru că cu cât ne îndepărtăm mai mult de 2

cu atât ne îndepărtăm și de 0

și atunci aceste distanțe vor crește,

vor fi din ce în ce mai mari

și toate sunt mai mari decât 2 unități de măsură.

Deci toate aceste numere de la 2 încolo

verifică inequatia dată.

Am văzut că un număr de aici,

cum a fost și numărul 1,

are modulul mai mic decât 2 unități de măsură

deci niciun număr de aici

nu va verifica această inequatie

nici 0 nu verifică modul de 0

nu este mai mare sau egal cu 2.

Sunt acestea singurele numere?

Nu, același lucru se întâmplă și cu simetricele

acestor puncte față de originea axei numerelor.

Dacă avem numărul minus 2

avem aici minus 1

aici este minus 2

modul de minus 2

și el este mai mare sau egal cu 2

pentru că ne dă 2

și la fel se întâmplă cu orice număr

mai mic strict decât minus 2.

Pe exemplu, pentru acest număr

modulul său este această distanță

care clar este mai mare decât

2 unități de măsură.

Deci orice număr

mai mic

sau egal cu minus 2

verifica această relație

însă aici nu avem

nicio soluție.

Ce am obținut?

Păi iată că am obținut de fapt

două intervale

intervalul minus infinit minus 2

și intervalul 2 plus infinit.

Haideți să notăm!

Deci avem intervalul

nemărginit minus infinit minus 2

și cum vom trece la minus 2?

Păi minus 2 verifică

deci avem de fapt un interval închis aici

la fel și aici.

Deci minus infinit minus 2

și intervalul 2 plus infinit.

Numerele din acest interval

adică de aici

verifică in ecuația

la fel și aceste numere

adică cele care sunt aici.

Cum scriem atunci soluția?

Păi fiind mulțimi de numere reale

putem să le reunim.

Asta înseamnă că modul de x

este mai mare sau egal cu 2

dacă și numai dacă x aparține

acestei mulțimi.

La fel se întâmplă și dacă avem

în ecuația modul de x

strict mai mare decât 1.

Tot așa să detenăm toate numerele reale

cu această proprietate.

Singura diferență este aceea

că în loc de mai mare sau egal

avem strict mai mare

și evident și număr

însă diferența importantă este aceasta

că avem aici strict mai mare

în loc de mai mare sau egal.

Ce vom obține aici?

Vom obține o reuniune

de intervale nemărginite

acum însă deschise

în minus 1 și 1.

Deci modul de x

este strict mai mare ca 1

dacă și numai dacă x aparține

intervalului nemărginit

minus infinit minus 1

reunit cu intervalul 1 infinit.

Explicația este aceeași

ca și în exercițiul anterior.

Dacă e să generalizăm

atunci dacă x este un număr real

cu proprietatea,

că modul de x

este mai mare strict ca a

atunci vom obține de fapt

această reuniune de intervale

minus infinit minus a

reunit cu a plus infinit.

Atenție când a este un număr real

a strict mai mare ca 0.

Dacă avem însă

de determinat mulțimea formată

din elementele x

numere reale

cu proprietatea

că modul de x

este mai mare sau egal cu a

atunci vom obține

intervalul minus infinit minus a

închis aici

reunit cu intervalul a plus infinit

închis la a.

Mai facem acum

două scurte observații.

Nu avem observații

sunt mai mult niște exerciții.

Primul

vrem să găsim x număr real

de fapt toate numerele reale

care au proprietatea

că modulul lor

este mai mic strict

decât minus 1.

Ce numere reale

au modulul

mai mic strict

ca minus 1?

Vă las puțin timp

să vă gândiți.

Cum este modulul

unui număr real?

Este mai mare sau egal cu 0?

Atunci e posibil ca un număr

să fie în același timp

și mai mare sau egal cu 0

dar și mai mic

ca minus 1?

De fapt aici

nu avem soluții

putem să notăm că rezultă că

x aparține

mulțimii vide.

Deci întotdeauna un modul

nu are cum să fie

strict mai mic

sau chiar putem să trecem

mai mic sau egal

decât un număr negativ.

Al doilea exercițiu

să găsim acum x număr real

astfel încât

modulul său

să nu fie mai mic sau egal

cu minus 1

ci mai mare sau egal

cu minus 1.

Cum este modulul

unui număr real?

Am scris și mai sus

mai mare sau egal

cu 0?

Ce înseamnă asta?

Că orice număr real

am trece noi în locul x

ce vom obține aici

va fi un număr mai mare

sau egal cu 0.

Deci automat el va fi

mai mare sau egal cu minus 1.

Asta înseamnă că

toate numerele reale

verific această

inequatie.

Deci putem să notăm

că rezultă că

soluția este dată chiar

de mulțimea numerelor reale.