Mulțimea numerelor întregi este reuniunea dintre mulțimea numerelor naturale pozitive, cu opusele lor (numere negative) și cu numărul 0.  

$$\begin{gathered} \mathrm{\mathbb{Z}}=\left\{..., -n, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., n, ...\right\} \\ {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*}=\mathrm{\mathbb{Z}}\backslash \left\{0\right\} \end{gathered}$$

Are loc relația de incluziune:

$\mathrm{\mathbb{N}}\subset \mathrm{\mathbb{Z}}.$

Dacă un număr este precedat de semnul '+', atunci numărul este pozitiv. Numerele pozitive sunt situate pe axă în partea dreaptă a numărului 0.

Dacă un număr este precedat de semnul '-', atunci numărul este negativ. Numerele negative sunt situate pe axă în partea stângă a numărului 0.

Observație: convenim ca semnul '+' în fața numerelor întregi pozitive să nu se mai scrie.

Exemplu: +9 = 9;   +37 = 37. 

Valoarea absolută sau modulul unui număr întreg reprezintă distanța de la origine până la poziția acestuia pe axa numerelor.

Exemple:

$$\begin{gathered} \left|-2\right|=2 \\ \left|+4\right|=4 \\ \left|-15\right|=15 \\ \left|0\right|=0 \end{gathered}$$

Opusul unui număr întreg x este numărul -x, astfel încât x+ (-x) = (-x)+x = 0.

Exemple:

• opusul numărului 3 este numărul -3
• opusul numărului -5 este numărul 5
• opusul numărului 0 este 0

Două numere întregi sunt opuse dacă au semne contrare și aceeași valoare absolută.

Valoare absolută a unui număr întreg pozitiv este numărul respectiv.

Valoare absolută a unui număr întreg negativ este opusul acestuia.

Prin urmare, pentru orice număr întreg a, are loc:

$$\begin{gathered} \left|a\right|= \overline{)-a, dacă a<0 \\ 0, dacă a=0 \\ a, dacă a>0.} \end{gathered}$$

Două numere întregi a și b sunt în relația a < b dacă, reprezentându-le pe axă, b este situat la dreapta lui a.

Pentru a compara două numere întregi, vom ține cont de următoarele aspecte:

• numărul 0 este mai mic decât orice număr întreg pozitiv; ex: 0 < +5
• dintre două numere întregi pozitive, este mai mare cel cu modulul mai mare; ex: +32 > +10
• numărul 0 este mai mare decât orice număr întreg negativ; ex: 0 > -6
• dintre două numere întregi negative, este mai mare cel cu modulul mai mic; ex: -8 > -12
• orice număr întreg pozitiv este mai mare decât orice număr întreg negativ; ex: 7 > -14.

1. Adunarea numerelor întregi cu același semn

Pentru a aduna două numere întregi cu același semn, se adună modulele lor, iar rezultatul va avea semnul comun. 

Exemple:

$$\begin{gathered} (+2)+(+8)=+10 \\ (-3)+(-5)=-8 \end{gathered}$$

2. Adunarea numerelor întregi cu semne diferite

Pentru a aduna două numere întregi cu semne diferite, se scad modulele lor, iar rezultatul va avea semnul numărului cu modulul mai mare.

Exemple:

$$\begin{gathered} 5+(-3)=2 \\ -9+3=-6 \end{gathered}$$

Observație: suma a două  numere întregi opuse este egală cu 0.

$(-11)+11=0$

Proprietățile adunării numerelor întregi

• asociativitatea: a+(b+c) = (a+b)+c, oricare ar fi numerele întregi a, b, c
• comutativitatea: a+b = b+a, oricare ar fi numerele întregi a și b
• numărul 0 este element neutru: a+0 = 0+a =a, oricare ar fi numărul întreg a.

3. Scăderea numerelor întregi

Scăderea unui număr întreg este echivalentă cu adunarea opusului acelui număr.

Exemple:

$$\begin{gathered} (-8)-(+3)=(-8)+(-3)=-11 \\ 9-(-5)=9+(+5)=14 \end{gathered}$$

(am adunat la descăzut opusul scăzătorului).

Înmulțirea numerelor întregi

1. Produsul a două numere întregi cu același semn este un număr întreg pozitiv, al cărui modul se obține înmulțind modulele celor două numere. 

Exemple:

$$\begin{gathered} (+3)·(+7)=+21 \\ (-5)·(-6)=+30 \end{gathered}$$

2. Produsul a două numere întregi cu semne diferite este un număr întreg negativ, al cărui modul se obține înmulțind modulele celor două numere. 

Exemple:

$$\begin{gathered} (-2)·(+9)=-18 \\ 3·(-5)=-15 \end{gathered}$$

Proprietățile înmulțirii numerelor întregi

Fie a, b, c numere întregi. Au loc următoarele proprietăți:

• comutativitatea: a·b = b·a

• asociativitatea: (a·b)·c = a·(b·c)

• numărul 1 este element neutru: a·1 = 1·a = a

• distributivitatea înmulțirii față de adunare și scădere: a·(b+c)=a·b+a·c  și  a·(b-c)=a·b-a·c

​Împărțirea numerelor întregi

1. Câtul a două numere întregi cu același semn este un număr întreg pozitiv, al cărui modul se obține împărțind modulele celor două numere. ​

Exemple:

$$\begin{gathered} (+35):(+7)=+5 \\ (-63):(-9)=+7 \end{gathered}$$

2.  Câtul a două numere întregi cu semne diferite este un număr întreg negativ, al cărui modul se obține împărțind modulele celor două numere. 

Exemple:

$$\begin{gathered} (+72):(-9)=-8 \\ (-32):8=-4 \end{gathered}$$

Concluzie: regula semnelor este valabilă atât la înmulțirea cât și la împărțirea numerelor întregi și aceasta este următoarea:

                                               $$\begin{gathered} +·+=+ \\ -·-=+ \\ +·-=- \\ -·+=- \end{gathered}$$

Fie a un număr întreg, iar n un număr natural nenul.

$$\begin{gathered} a^n=\underbrace{a·a·a·...·a} \\ n ori \end{gathered}$$

a- se numește bază

n- se numește exponent

Exemplu:

$(+2{)}^5=2^5=2·2·2·2·2=32$

Observații:

1. Atunci când ridicăm la o putere un număr pozitiv, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv.

2. Atunci când ridicăm la o putere un număr negativ, avem două situații posibile:

• dacă exponentul este un număr par, rezultatul este pozitiv
• dacă exponentul este un număr impar, rezultatul este negativ

$(-a{)}^n=\left\{\begin{array}{l} a^n, n-par\\ -a^n, n-impar\end{array}\right.a\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*}, n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

Exemple:

$$\begin{gathered} (-2{)}^5=-32 \\ (-2{)}^6=64 \\ (-1{)}^{2015}=-1 \\ (-1{)}^{2016}=1 \end{gathered}$$

Reguli de calcul cu puteri

$a^m·a^n=a^{m+n} (a\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*}, m, n\in \mathrm{\mathbb{N}})$

$a^m:a^n=a^{m-n} (a\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*}, m, n\in \mathrm{\mathbb{N}}, m\ge n)$

${\left(a^m\right)}^n=a^{m·n} (a\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*}, m, n\in \mathrm{\mathbb{N}})$

$a^m·b^m=(a·b{)}^m (a,b\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*}, m\in \mathrm{\mathbb{N}})$

$a^m:b^m=(a:b{)}^m (a,b\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*}, m\in \mathrm{\mathbb{N}})$

$a^0=1 (a\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*})$

$a^1=a (a\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*})$

Ordinea efectuării operațiilor cu numere întregi este aceeași ca și la numere naturale:

• mai întâi calculăm ridicările la putere (operații de ordinul III)
• apoi efectuăm înmulțirile și împărțirile (operații de ordinul II)
• la final efectuăm adunările și scăderile (operații de ordinul I).

Dacă într-un exercițiu avem și paranteze, efectuăm mai întâi operațiile din parantezele rotunde, apoi operațiile din parantezele pătrate, apoi din acolade.

Un număr întreg a este divizibil cu un număr întreg b, dacă există un număr întreg c, astfel încât a = bc.

Sau, alfel spus, a este divizibil cu b dacă a se împarte exact la b (restul împărțirii este 0).

Notații:

$$\begin{gathered} a⋮b (a este divizibil cu b) \\ \overline{)b } a (b divide pe a) \end{gathered}$$

Exemple:

$$\begin{gathered} -12⋮3, pt. că: -12=3·(-4) \\ -\overline{)5 } 30, pt. că: 30=(-5)·6 \end{gathered}$$

Mulțimea divizorilor unui număr întreg n este:

$D_n=\left\{ p\in \mathrm{\mathbb{Z}} și \overline{)p}n \right\}$

Exemplu:

$D_6=\left\{1, 2, 3, 6,-1,-2,-3,-6\right\}$

Observație: Dacă n este număr prim, acesta are 4 divizori întregi:

​$D_n=\left\{\pm 1, \pm n\right\}$

Mulțimea multiplilor unui număr întreg n este:

$M_n=\left\{ q\in \mathrm{\mathbb{Z}} și \overline{)n}q \right\}$

Exemplu:

$M_6=\left\{0, \pm 6, \pm 12, \pm 18, ...\right\}$

Proprietățile relației de divizibilitate

$1. \forall a\in \mathrm{\mathbb{Z}}, \overline{) a } a și \overline{)-a } a$

$2. \forall a\in \mathrm{\mathbb{Z}}, \overline{)1 } a și \overline{)-1 } a$

$3. \forall a\in \mathrm{\mathbb{Z}}, \overline{)a } 0$

$4. \forall a, b, c\in \mathrm{\mathbb{Z}}: \overline{)a } b, \overline{)b } c\Rightarrow \overline{)a } c$

$$\begin{gathered} 5. \forall a, b, c\in \mathrm{\mathbb{Z}}: \overline{)a } b, \overline{)a } c\Rightarrow \overline{) \overline{)a } b+c \\ \overline{)a } b-c \\ \overline{) a } b·c} \end{gathered}$$