Operaţii cu numere întregi: înmulţirea şi împărţirea

Înmulțirea și împărțirea numerelor întregi. O să încep cu înmulțirea numerelor întregi cu semne diferite.

Să facem următoarea înmulțire, minus patru ori plus trei.

Acest lucru se mai poate scrie și minus patru ori trei, deoarece am spus în lecțiile anterioare că nu este obligatoriu să mai scriem semnul plus.

Ca și în cazul numerelor naturale, înmulțirea numerelor întregi poate fi privită ca o adunare repetată a aceluiași termen.

Și atunci putem scrie egal cu minus patru plus minus patru plus minus patru, care va fi egal mai departe cu minus doisprăzece.

Am adunat modulele lor, iar la rezultat se pune semnul comun.

Și atunci putem să tragem o concluzie. Un produs de forma minus A ori plus B va fi egal cu minus A ori B.

Următorul exercițiu, să calculăm plus cinci ori minus doi.

Acest lucru se mai poate scrie și cinci ori minus doi.

Înmulțirea numerelor întregi este comutativă și atunci putem scrie minus doi ori cinci, care va fi egal cu minus doi adunat cu el însuși de cinci ori.

Dar această sumă va fi egală cu minus zece.

Am adunat valorile absolute, iar la rezultat se pune semnul comun.

Și atunci putem să scriem că un produs de forma plus A ori minus B va fi egal cu minus AB.

Observăm așadar că în cazul factorilor cu semne diferite, produsul va fi întotdeauna un număr negativ.

Putem să scriem această regulă.

Produsul a două numere întregi cu semne diferite este negativ, iar valoarea absolută a produsului este egală cu produsul valorilor absolute ale factorilor.

Continuăm cu împărțirea a două numere întregi care au semne diferite.

Împărțirea este operația inversă înmulțirii.

Am văzut anterior că minus patru ori plus trei este egal cu minus doisprezece.

Atunci, făcând operația inversă, minus doisprezece împărțit la plus trei va trebui să fie egal cu minus patru.

Atunci când împărțim două numere cu semne diferite, câtul va fi negativ.

Vom scrie și această regulă.

Dacă împărțim două numere întregi cu semne diferite, câtul va fi negativ, iar valoarea absolută a câtului este câtul valorilor absolute.

Să trecem acum la înmulțirea numerelor întregi care au același semn.

O să încep tot cu o împărțire.

18 împărțit la minus trei este egal cu minus șase, pentru că am văzut mai devreme că dacă împărțim două numere de semne diferite, câtul este negativ.

Haideți să facem proba acestei împărțiri prin înmulțire.

Dacă facem proba, obținem că minus șase ori minus trei este egal cu plus 18, adică cu 18.

Observăm așadar că produsul a două numere negative este un număr pozitiv.

În cazul în care numerele sunt pozitive, plus șase ori plus trei, lucrurile sunt foarte clare, deoarece numerele întregi pozitive pot fi privite ca numere naturale.

Și atunci șase ori trei va fi evident egal cu 18.

Deci în ambele situații rezultatul este pozitiv.

Putem trage o concluzie. Un produs de forma minus A ori minus B va fi egal cu plus AB.

Iar din a doua relație putem spune că un produs de forma plus A ori plus B este egal cu plus AB.

Și atunci să scriem această regulă.

Produsul a două numere întregi cu același semn este pozitiv, iar valoarea absolută a produsului este produsul valorilor absolute a factorilor.

Continuăm cu împărțirea a două numere întregi cu același semn.

Dacă numerele sunt pozitive, de exemplu să facem plus 16 împărțit la plus 2.

În cazul acesta rezultatul este plus 8.

Deoarece privim numerele întregi pozitive ca pe niște numere naturale.

Să vedem ce se întâmplă dacă împărțim două numere întregi negative.

Dorim să facem împărțirea minus 16 împărțit la minus 2.

Acest rezultat nu-l cunoaștem și o să-l notăm cu X.

Dacă dorim să facem proba prin înmulțire, va trebui ca X ori minus 2 să fie egal cu minus 16.

Care este numărul întreg care înmulțit cu minus 2 ne va da minus 16?

Acel număr este plus 8.

Deci X este egal cu plus 8.

Deoarece plus 8 ori minus 2 este egal cu minus 16.

Așadar rezultatul acestei împărțiri este plus 8.

O să mai scriu odată împărțirea.

Minus 16 împărțit la minus 2 este egal cu plus 8 sau mai simplu cu 8.

Observăm că rezultatul împărțirii a două numere întregi care au acela semn este întotdeauna un număr pozitiv.

Și o să scriem și această regulă.

Dacă împărțim două numere întregi cu același semn, câtul va fi pozitiv?

Iar valoarea absolută a câtului este câtul valorilor absolute.

Ca să sintetizăm, putem să scriem următoarea regulă a semnelor, valabilă atât la înmulțirea cât și la împărțirea numerelor întregi.

Atunci când trebuie să înmulțim sau să împărțim două numere întregi care au același semn,

fie el pozitiv sau negativ, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv.

Iar dacă trebuie să înmulțim sau să împărțim două numere întregi având semne diferite, rezultatul va fi întotdeauna un număr negativ.

Ca și o generalizare, produsul a n numere întregi negative este pozitiv dacă n este par și negativ dacă n este impar.

De exemplu, produsul a 3 numere întregi negative va fi negativ deoarece 3 este un număr impar,

iar produsul a 4 numere întregi negative va fi pozitiv deoarece 4 este un număr par.

Dar o să vedem imediat acest lucru făcând niște exerciții.

Împrim exercițiul.

Minus 6 ori plus 8.

Minus ori plus este minus, 6 ori 8 este 48.

Plus 9 ori minus 3.

Plus ori minus este minus, 9 ori 3 este 27.

Minus 1 ori minus 2.

Minus ori minus este plus, iar 1 ori 2 este 2.

Putem să scriem mai simplu 2 fără semnul plus.

Al patrulea exemplu, minus 6 ori 0 va fi 0 deoarece orice număr întreg înmulțit cu 0 este înalt cu 0.

Punctul E, plus 5 ori 5.

Deoarece trebuie să înmulțim două numere pozitive, rezultatul va avea semnul plus, iar 5 ori 5 este 25.

Punctul F, 4 ori minus 6.

Plus ori minus este minus, iar 4 ori 6 este 24.

Minus 3 ori plus 4 ori minus 1.

Să înmulțim mai întâi primele două numere.

Minus ori plus este minus, 3 ori 4 este 12, înmulțit cu minus 1.

Minus ori minus este plus, iar 12 ori 1 este 12.

Punctul H, minus 3 ori minus 5 ori minus 2.

Minus 3 ori minus 5 este plus 15 ori minus 2.

Plus ori minus este minus, iar 15 ori 2 este 30.

Cum spuneam și mai devreme, produsul a trei numere întreg negative va fi un număr negativ.

Minus 2 ori plus 3 ori minus 4 ori plus 5.

Deoarece înmulțirea este asociativă, putem să înmulțim primii doi factor și ultimii doi.

Minus ori plus este minus, 2 ori 3 este 6 ori.

Minus ori plus este minus, 4 ori 5 este 20.

Minus 6 ori minus 20 este plus 120.

Să facem acum și câteva împărțiri.

Prima împărțire, minus 15, împărțit la minus 3.

Regula semnelor este aceeași ca și la înmulțire.

Minus cu minus este plus, iar 15 împărțit la 3 este 5.

O a doua împărțire, plus 30, împărțit la minus 6.

Plus împărțit la minus este minus, iar 30 împărțit la 6 este 5.

Și un ultim exemplu, minus 16 împărțit la 2.

Minus împărțit la plus este minus, iar 16 împărțit la 2 este 8.

Înmulțirea numerelor întregi are aceleași proprietăți ca și înmulțirea numerelor naturale.

Ea este conutativă, asociativă, numărul 1 este element neutru și înmulțirea este distributivă față de adunare și scădere.