Divizibilitatea numerelor întregi

Un număr întreg a este divizibil cu un număr întreg b, dacă există un număr întreg c, astfel încât a = bc.

Sau, alfel spus, a este divizibil cu b dacă a se împarte exact la b (restul împărțirii este 0).

Notații:

$$\begin{gathered} a⋮b (a este divizibil cu b) \\ \overline{)b } a (b divide pe a) \end{gathered}$$

Exemple:

$$\begin{gathered} -12⋮3, pt. că: -12=3·(-4) \\ -\overline{)5 } 30, pt. că: 30=(-5)·6 \end{gathered}$$

Mulțimea divizorilor unui număr întreg n este:

$D_n=\left\{ p\in \mathrm{\mathbb{Z}} și \overline{)p}n \right\}$

Exemplu:

$D_6=\left\{1, 2, 3, 6,-1,-2,-3,-6\right\}$

Observație: Dacă n este număr prim, acesta are 4 divizori întregi:

​$D_n=\left\{\pm 1, \pm n\right\}$

Mulțimea multiplilor unui număr întreg n este:

$M_n=\left\{ q\in \mathrm{\mathbb{Z}} și \overline{)n}q \right\}$

Exemplu:

$M_6=\left\{0, \pm 6, \pm 12, \pm 18, ...\right\}$

Proprietățile relației de divizibilitate

$1. \forall a\in \mathrm{\mathbb{Z}}, \overline{) a } a și \overline{)-a } a$

$2. \forall a\in \mathrm{\mathbb{Z}}, \overline{)1 } a și \overline{)-1 } a$

$3. \forall a\in \mathrm{\mathbb{Z}}, \overline{)a } 0$

$4. \forall a, b, c\in \mathrm{\mathbb{Z}}: \overline{)a } b, \overline{)b } c\Rightarrow \overline{)a } c$

$$\begin{gathered} 5. \forall a, b, c\in \mathrm{\mathbb{Z}}: \overline{)a } b, \overline{)a } c\Rightarrow \overline{) \overline{)a } b+c \\ \overline{)a } b-c \\ \overline{) a } b·c} \end{gathered}$$