Ridicarea la putere a numerelor întregi

RITICAREA LA PUTERE A NUMERELOR ÎNTREGI

Fie a un număr întreg, prin a la puterea n, înțelegem produsul a ori a ori a de n ori.

a se numește bază și n se numește exponent.

Ca și în cazul numerelor naturale, riticarea la putere a unui număr întreg înseamnă o înmunțire repetată a celuiași număr.

Să facem un exemplu.

Plus trei la puterea a doua va fi egal cu plus trei ori plus trei.

Numărul plus trei se numește bază, iar doi se numește exponent.

Iar rezultatul acestei puteri va fi egal cu plus nouă, adică cu nouă.

Riticarea la putere a numerelor întregi pozitive este similară cu ridicarea la putere a numerelor naturale,

deoarece numerele întregi pozitive pot fi considerate numere naturale.

Să vedem ce se întâmplă când ridicăm la putere un număr negativ.

De exemplu, minus doi la puterea a doua.

Minus doi la a doua înseamnă minus doi ori minus doi.

Minus doi ori minus doi este egal cu plus patru.

Să vedem cât este minus doi la puterea a treia.

Va fi egal cu minus doi ori minus doi ori minus doi.

Minus doi ori minus doi este plus patru înmulțit cu minus doi, care va fi egal cu minus opt.

Să calculăm acum minus doi la puterea a patra.

Va fi egal cu minus doi ori minus doi ori minus doi ori minus doi.

Deoarece înmulțirea este asociativă, putem să înmulțim primii doi factori și ultimii doi.

Minus doi ori minus doi este plus patru înmulțit cu plus patru, iar rezultatul va fi plus șaisprăzece.

Și mai facem încă un exemplu.

Minus doi la puterea cincea va fi egal cu minus doi înmulțit cu el însuși de cinci ori.

Minus doi ori minus doi este plus patru, deci vom scrie egal cu plus patru ori plus patru ori minus doi.

Plus patru ori plus patru este plus șaisprăzece ori minus doi, care va fi egal cu minus treizeci și doi.

Să ne uităm puțin la aceste rezultate.

Observăm că minus doi la a doua și minus doi la a patra este un număr pozitiv.

Mai exact atunci când exponentul este un număr par, rezultatul va fi întotdeauna pozitiv.

Când exponentul este impar, rezultatul va fi negativ.

Observăm că minus doi la a treia este minus opt, iar minus doi la a cincea este minus treizeci și doi.

Și atunci putem să tragem o concluzie.

Un număr negativ de forma minus a ridicat la o putere n va fi egal cu a la puterea n, deci un număr pozitiv dacă n este par, și minus a la puterea n dacă n este impar.

În particular, numărul minus unu la puterea n va fi egal cu unu dacă n este par, și minus unu dacă n este impar.

Să facem și un exemplu.

Minus unu la puterea a zecea va fi egal cu unu deoarece zece este un număr par, iar minus unu la puterea treizeci și trei va fi egal cu minus unu deoarece n, adică treizeci și trei, este un număr impar.

Orice număr a la puterea întâia va fi egal cu a.

De exemplu, în cazul în care a este pozitiv, numărul plus cinci la puterea întâia va fi egal cu plus cinci, adică cu cinci.

Iar dacă numărul este negativ, minus cinci la puterea întâia va fi egal cu minus cinci.

Zero la orice putere n va fi egal cu zero ori zero îl mânții cu el însuși de n ori, care va fi egal mai îndeparte cu zero, deci zero la orice putere n este egal cu zero.

În continuare să vedem câteva reguli de calcul cu puteri.

În cazul numerelor întregi pozitive, avem aceleași reguli valabile ca și la numerele naturale.

Să vedem ce se întâmplă în cazul numerelor întregi negative.

Să luăm un exemplu, minus trei la puterea a doua ori minus trei la puterea a treia.

Dorim să obținem o formulă generală de calcul pentru acest produs, să vedem ce o să se întâmple cu exponenții în cazul unui produs de două puteri cu aceeași bază.

Minus trei la puterea a doua, conform definiție, este minus trei ori minus trei.

Minus trei la treia seamnă minus trei ori minus trei ori minus trei.

Observăm că factorul minus trei apare de cinci ori în acest produs, deci putem scrie egal cu minus trei la puterea a cincea.

Să ne uităm puțin la exponenți. Observăm că exponentul rezultatului este suma dintre cei doi exponenți.

Și atunci putem să scriem o regulă generală de calcul, a la puterea m ori a la puterea n va fi egal cu a la puterea m plus n.

Să mai luăm un alt exemplu.

Minus cinci la patra împărțit la minus cinci la a doua.

Deoarece împărțirea poate fi scrisă și sub forma unei fracții, această împărțire putem să o scriem astfel.

Minus cinci ori minus cinci adică minus cinci la a patra supra minus cinci ori minus cinci adică minus cinci la a doua.

Putem să simplificăm cu minus cinci deoarece el apare și la numărător și la numitor.

Și de asemenea mai putem să mai simplificăm odată cu minus cinci.

Iar rezultatul va fi minus cinci ori minus cinci supra unul pe care nu o să-l mai scriu.

Iar minus cinci ori minus cinci este egal cu minus cinci la puterea a doua.

Observăm că exponentul rezultatului este diferența dintre cei doi exponenți și atunci putem trage următoarea concluzie.

a la puterea m împărțit la a la puterea n este egal cu a la puterea m minus n.

Să vedem ce se întâmplă dacă m este egal cu n.

Să calculăm minus trei la puterea a șaptea împărțit la minus trei la puterea a șaptea.

Conform formule de mai sus, acest lucru va fi egal cu minus trei la puterea șapte minus șapte,

care este egal cu minus trei la puterea zero.

Dar știm că atunci când împărțim un număr la el însuși, rezultatul este unul.

Deci minus trei la puterea zero va fi egal cu unul.

Și atunci putem afirma că orice număr a ridicat la puterea zero va fi egal cu unul.

Să vedem cum se poate scrie puterea unei puteri.

Minus doi la puterea a doua și totul ridicat la puterea a treia.

Minus doi la a doua înseamnă minus doi ori minus doi și totul ridicat la puterea a treia.

A ridica un produs la puterea a treia înseamnă a-l înmulți cu el însuși de trei ori.

Deci vom avea egal cu minus doi ori minus doi, ori minus doi ori minus doi, ori minus doi ori minus doi.

A ridicat un produs, l-am înmulți cu el însuși de trei ori.

Observăm că factorul minus doi apare de șase ori în acest produs.

Și atunci putem să scriem egal cu minus doi la puterea a șasea.

Observăm că exponentul rezultatului este produsul dintre cei doi exponenți.

Și atunci putem să scriem următoarea formulă.

A la puterea m, totul la puterea n va fi egal cu a la puterea m ori n.

Și un ultim exemplu, minus doi ori minus patru, totul ridicat la puterea a doua.

Dorim să obținem o formulă de calcul fără a face calculul din paranteză.

Minus doi ori minus patru ridicat la puterea a doua, înseamnă minus doi ori minus patru, ori minus doi ori minus patru.

Deoarece înmulțirea este comutativă, putem să schimbăm locul acestor factori și să scriem egal cu minus doi ori minus doi, ori minus patru, ori minus patru.

Dar minus doi ori minus doi este minus doi la puterea a doua, iar minus patru ori minus patru este minus patru la puterea a doua.

Observăm așadar că exponentul inițial se distribuie la fiecare factor al produsului.

Și atunci putem să scriem încă o formulă și anume a ori b la puterea m este egal cu a la m ori b la m.

Să rețineți aceste renguri de calcul cu puteri. O să le mai citesc odată.

a la m ori a la m este egal cu a la puterea m plus n.

a la m împărțit la a la n este egal cu a la puterea m minus n.

a ori b totu la puterea m este egal cu a la m ori b la m.

iar a la m ridicat la puterea n este egal cu a la puterea m ori n.

În continuare să facem câteva exerciții. Primul exercițiu, punctul a, plus doi la puterea a treia.

Doi la puterea a treia este egal cu opt.

Cum am spus și mai devreme, ridicarea la puterea numerelor întregi pozitive este similară cu ridicarea la puterea numerelor naturale.

Deci nu voi insista cu exemple de genul acesta. Să facem câteva exemple cu numere negative.

Minus trei la puterea treia.

Deoarece exponentul este impar, atunci când ridicăm un număr negativ la o putere impară, rezultatul este negativ.

Deci punem mai întâi semnul minus, iar trei la treia este 27.

Următorul exercițiu, minus șapte la puterea a doua.

Un număr negativ la putere pară este pozitiv, iar șapte la a doua este 49.

Următorul exercițiu, minus șapte la a doua.

Trebuie să facem distinție între minus șapte la a doua scris în paranteză și minus șapte la a doua scris fără paranteză.

În primul caz, adică la punctul C, se ridică la puterea a doua numărul negativ minus șapte, iar în acest caz rezultatul este pozitiv.

La punctul D se ridică la puterea a doua doar numărul șapte, iar semnul minus se copiază și atunci rezultatul va fi minus 49.

Punctul E, minus patru la puterea a treia.

Un număr negativ la puterea in pară va fi negativ, iar patru la puterea a treia este 64.

Minus opt la puterea a șasea împărțit la minus opt la puterea a patra.

Vom folosi a doua regulă de calcul cu puteri și vom scrie egal cu minus opt la puterea șase minus patru, adică minus opt la a doua, care va fi egal cu plus 64.

Minus cinci ori minus cinci la puterea a doua.

Primul factor minus cinci are exponentul unu. Atunci când nu este scris exponentul unei puteri, se subînțelege că el este unu.

Și atunci vom folosi prima regulă de calcul cu puteri și vom scrie egal cu minus cinci la puterea unu plus doi, adică minus cinci la a treia.

Exponentul fiind din par, punem minus, cinci la a treia este 125.

Și ultimul exemplu, minus trei la puterea șaiseprezece împărțit la minus trei la puterea a patra și totul la puterea a treia.

Va fi egal cu minus trei la puterea șaiseprezece împărțit la minus trei la puterea patru ori trei.

Folosim ultima formulă.

Patru ori trei este doisprezece și egal mai departe cu minus trei la puterea șaiseprezece minus doisprezece, adică minus trei la a patra.

Numărul patru fiind număr par, rezultatul va fi pozitiv, iar trei la puterea patra este 81.