Medii

Media aritmetică și media geometrică.

Voi începe cu media aritmetică.

Prin definiție, media aritmetică a numerelor reale x1, x2, puncte puncte, xn este x1 plus x2 plus puncte puncte plus xn supra n.

Ne propunem să calculăm media aritmetică a numerelor.

Minus 1 supra 6 și 5 supra 6.

Media aritmetică a acestor două numere va fi suma acestora, adică minus 1 supra 6 plus 5 supra 6 și totul supra 2, fiindcă sunt două numere.

Egal mai departe.

Minus 1 supra 6 plus 5 supra 6 este egal cu 4 supra 6 supra 2.

Știm că linia de fracție înseamnă împărțire și atunci vom scrie egal mai departe cu 4 supra 6 împărțit la 2.

Egal cu 4 supra 6 ori 1 supra 2.

Putem să simplificăm pe diagonală cu 2 și obținem 2 supra 6, iar această fracție se mai simplifică cu 2 și obținem 1 supra 3.

Așadar media aritmetică obținută este 1 supra 3.

Dacă avem 3 numere, se adună toate numerele și se împarte la 3.

Atunci când avem mai multe numere reale, iar unele se repetă, adică apar de mai multe ori, este mai convenabil să calculăm media aritmetică ponderată.

Media aritmetică ponderată va avea următoarea definiție.

Dacă x1, x2, xn sunt numere reale, iar p1, p2, pn sunt numere naturale care arată numărul de repetări pentru x1, x2, xn,

atunci media aritmetică ponderată este p1 or x1 plus p2 or x2 plus pn or xn supra p1 plus p2 plus puncte puncte plus pn.

Numerele p1, p2, pn se numesc ponderi.

Ne propunem să calculăm media ponderată a numerelor radical din 18, radical din 2, radical din 18, radical din 18 și radical din 2.

Pentru a calcula media lor vom folosi media aritmetică ponderată.

Ponderea numărului radical din 18 este 3, fiindcă acest număr apare de 3 ori, iar ponderea numărului radical din 2 este 2, fiindcă acest număr se repetă de 2 ori.

Și atunci media ponderată va fi egală cu 3 ori radical din 18, adică înmulțim fiecare număr cu ponderea sa, plus 2 ori radical din 2 supra suma ponderilor, adică 3 plus 2.

Egal mai departe.

Vom scoate factorii de subradical.

Descompunem numărul 18 în factori primi.

18 împărțit la 2 este 9, 9 împărțit la 3 este 3, iar 3 împărțit la 3 este 1.

Și obținem că radical din 18 este 3 radical din 2.

Continuăm aici.

Egal cu 3 ori 3 radical din 2 plus 2 radical din 2 supra 5.

Egal mai departe.

3 ori 3 este 9 radical din 2 plus 2 radical din 2 supra 5.

Egal 9 plus 2 este 11 radical din 2 supra 5.

În continuare să vedem ce înțelegem prin media geometrică.

Fie x un număr rațional pozitiv diferit de 0 și avem următoarea proporție x supra 9 egal cu 4 supra x.

Ne propunem să calculăm valoarea lui x din această relație.

Având această proporție vom folosi proprietatea fundamentală a proporțiilor și anume produsul mezilor este egal cu produsul extremilor.

De aici va rezulta că x ori x este egal cu 9 ori 4.

Dar x ori x înseamnă x la a doua și 9 ori 4 este 36.

Pentru a afla numărul x va trebui să extragem rădăcina pătrată din numărul 36.

Așadar vom scrie că x este egal cu radical din 36.

Fiind un număr pozitiv radical din 36 va fi egal cu 6.

Vom spune că numărul x este media geometrică a numerelor 9 și 4.

Vom da și definiția.

Dacă a și b sunt numere reale pozitive atunci media geometrică care se mai numește și proporțională se calculează după formula radical din a ori b.

Între media aritmetică și media geometrică avem următoarea relație numită inegalitatea mediilor.

Fie a și b două numere reale pozitive și presupunem că a este mai mic sau egal decât b.

Atunci a este mai mic sau egal decât media geometrică a numerelor a și b care la rândul ei este mai mică sau egală decât media aritmetică a numerelor și mai mic sau egal decât b.

Cele două medii sunt cuprinse între cel mai mic număr și cel mai mare număr și mai mult media geometrică este mai mică sau egală decât media aritmetică.

Media geometrică va fi egală cu media aritmetică doar dacă numerele a și b sunt egale.

Să facem un exemplu pentru a vedea dacă se verifică această relație.

Să presupunem că avem un număr a egal cu 2 și numărul b egal cu 32.

Ne propunem să verificăm această relație.

Mai întâi vom calcula media aritmetică a celor două numere.

Aceasta va fi egală cu 2 plus 32 supra 2

egal cu 34 supra 2

egal cu 17

iar media geometrică a celor două numere va fi radical din 2 ori 32

egal cu radical din 64

fiind numere pozitive radical din 64 va fi egal cu 8.

Observăm din aceste două relații că media geometrică este mai mică decât media aritmetică.

Mai mult numărul 2 este mai mic decât 8

8 este mai mic decât 17

și 17 este mai mic decât 32.

Și atunci se verifică această relație.

O să mai scriu o dată.

Numărul a este mai mic sau egal decât media geometrică

mai mic sau egal decât media aritmetică

care este mai mică sau egală decât numărul b.

În continuare o să facem două exerciții.

Primul exercițiu

ne propunem să calculăm media aritmetică a numerelor

x egal cu 3 radical din 3 minus 2

și y egal cu 2 plus 3 radical din 3.

Media aritmetică a celor două numere va fi

suma lor x plus y supra 2

egal, acum înlocuim pe x cu 3 radical din 3 minus 2

și pe y cu 2 plus 3 radical din 3.

Totul supra 2.

Egal mai departe.

Minus 2 plus 2 este 0.

Putem să îi tăiem cu o linie oblică.

Și rămâne 3 radical din 3 plus 3 radical din 3

care este egal cu 6 radical din 3 supra 2.

Putem să simplificăm 6 cu 2.

6 împărțit la 2 este 3

și rezultatul final va fi 3 radical din 3.

Al doilea exercițiu.

La punctul a mic se cere media geometrică a numerelor

radical din 2 și radical din 8.

Media geometrică a două numere este radical din produsul lor.

În acest caz avem radical din radical din 2 ori radical din 8.

Egal mai departe.

Radical din 2 ori radical din 8 este radical din 16.

Egal cu radical.

Radical din 16 este 4, deci obținem radical din 4

care este egal cu 2.

Iar la punctul b se cere să calculăm media geometrică a numerelor.

36 radical din 2

și radical din 2 supra 4.

Media geometrică este radical din produsul celor două numere,

adică 36 radical din 2 ori radical din 2 supra 4.

Egal cu radical din 36 ori

radical din 2 ori radical din 2 este radical din 4 supra 4.

Egal cu radical din 36 ori radical din 4 este 2 supra 4.

Egal.

Putem să simplificăm pe diagonală cu 4.

36 împărțit la 4 este 9.

4 împărțit la 4 este 1, deci obținem radical din 9 ori 2.

Egal în continuare cu radical din 9 ori radical din 2.

Radical din 9 știm că este 3, deci rezultatul final va fi 3 radical din 2.