Înmulțirea și împărțirea numerelor reale

Să facem acum câteva exerciții cu înmulțirea și împărțirea numerelor reale de forma C supra A plus radical din B și a doua formă C supra A minus radical din B.

Și vom începe cu acest exercițiu. Avem aici un produs dintre două fracții, 10 supra radical din 3 și a doua fracție radical din 12 supra 5.

Cum înmulțim două fracții? Foarte simplu, numărători între ei și numitori între ei. Însă, mai înainte, ce trebuie să vedem?

Păi trebuie să observăm dacă putem face sau nu vreo simplificare. Și iată că aici putem simplifica pe 10 și 5 prin 5 și obținem 1 și aici 2.

Mai putem face vreo simplificare? Sigur, avem aici radical din 3 și radical din 12. Însă, o să scriu prima fracție mai întâi să nu încărcăm aici notația.

Deci avem 2 supra radical din 3. Asta am obținut înmulțit cu radical din 12 supra 1.

Acum, fie puteți simplifica direct prin radical din 3, aici obțineți 1 și aici veți obține radical din 4.

Sau puteți face astfel, radical din 12 se scrie, 12 este 4, ori 3 trecând radicalul peste produs, avem radical din 4 înmulțit cu radical din 3, adică 2 radical din 3.

Păi, cum aici avem, chiar o să șterg, 2 radical din 3, iată că putem simplifica foarte ușor pe radical din 3 și radical din 3 cu radical din 3 și obținem aici 1 și 1.

Deci rezultatul cât este, avem 2 ori, 2 adică rezultatul final este 4.

Sau, dacă avem acest exercițiu, avem 1 supra radical din 5 împărțit la radical din 2 supra 18.

Păi, cum se scrie, cum calculăm de fapt împărțirea a două fracții?

Păi, împărțirea devine de fapt înmulțirea dintre de împărțit, deci prima fracție, și inversul împărțitorului, adică inversăm numărătorul cu numitorul și avem fracția 18 supra radical din 2.

Bun, aici putem să facem vreo simplificare?

Nu, atunci trebuie să mulțim numărători între ei și vom obține la numărător 18 și numitori între ei, adică radical din 10.

Acum putem să raționalizăm, amplificăm cu radical din 10 și vom avea 18 radical din 10 supra 10.

Mai putem face chiar și o simplificare, pentru că aici avem 18 și ai 10, simplificăm prin 2 și vom obține 18 împărțit la 2 ne dă 9 radical din 10, 10 împărțit la 2 ne dă 5.

Dar dacă avem acest produs, 1 supra radical din 3 minus 2 înmulțit cu radical din 15 minus 2 radical din 5 totul supra 4.

Înainte de a face produsul, putem face vreo simplificare?

Nu avem nici o simplificare evidentă, însă observăm că aici avem radical din 5 iar aici avem radical din 15, pe care îl putem scrie radical din 5 înmulțit cu radical din 3.

Asta înseamnă că putem să-l dăm factor comun la numărător pe radical din 5.

Și închidem paranteza, supra 4.

Păi iată că fiind aici produs, putem să facem simplificarea, simplificăm acest număr și acesta chiar prin această diferență.

Deci aici o să tăiem la fel și acest număr și o să ne rămână 1 și 1.

Deci rezultatul cât este?

Avem la numărător radical din 5 iar la numitor îl avem pe 4.

Dacă avem acest calcul, 3 supra radical din 7 minus 1 înmulțit cu 12 plus 6 radical din 5 supra 5.

Păi nici aici nu avem vreo simplificare evidentă, însă observăm că putem să dăm factor comun aici pe 6.

Iată, avem aici 6 pe lângă 2 plus radical din 5.

Păi haideți să rescriem, de fapt să calculăm acest produs.

Cât vom obține la numărător?

Păi avem 3 înmulțit cu 6 înmulțit cu 2 plus radical din 5.

Iar la numitor avem produsul 5 pe lângă radical din 7 minus 1.

Păi ce putem face în acest moment?

Putem să amplificăm, să raționalizăm această fracție, adică o vom amplifica cu radical din 7 plus 1.

Și atunci vom avea egal mai departe cu linie de fracție.

Ce vom obține?

Păi la numărător vom avea 3 ori 6, 18 pe lângă 2 plus radical din 5 pe lângă radical din 7 plus 1.

Iar la numitor avem 5 pe lângă radical din 7 la pătrat minus 1 la pătrat.

Și trebuie să facem calculul care apare aici în paranteză.

Deci vom avea, copiem numărătorul.

Ia să vedem, poate reușim chiar să-l copiem, ca să nu-l mai rescriem.

Bun, și aici vom avea 5 înmulțit cu 7 minus 1, 6.

Păi iată că acum putem să facem într-adevăr o simplificare.

18 și 6 prin 6, ne rămâne aici 1 și aici ne rămâne 3.

Deci rezultatul care va fi, notăm egal cu linie de fracție.

Numitorul îl scriem, este 5, iar la numărător avem 3 pe lângă 2 plus radical din 5 pe lângă radical din 7 plus 1.

Sigur, putem să desfacem parantezele, să facem calculul, însă nu e neapărat nevoie.

Dacă avem însă această împărțire, 15 supra-radical din 11 plus 2 împărțit la 3 supra-radical din 11 minus 2.

Păi cum facem împărțirea dintre două fracții?

Împărțirea două fracții e, de fapt, înmulțirea între prima fracție, adică între D împărțit, pe care haide să-l copiem,

și inversul împărțitorului.

Deci inversăm aici numărătorul cu numitorul și vom avea radical din 11 minus 2 supra 3.

Ce simplificări putem face?

Păi, din start, observăm că putem simplifica 15 și 3 prin 3.

Obținem aici 1 și aici 5.

Însă mai putem face vreo altă simplificare?

Că, iată, aici avem aceleași numere radical din 11 și 2, la fel și aici.

Însă aici avem scădere între ele, iar aici avem adunare între ele.

De fapt, aceste două numere sunt numere irraționale diferite.

Și atunci nu ne rămâne decât să facem acest produs.

Și vom obține, egal mai departe cu, avem linia de fracție, cât obținem la numărător?

Păi avem 5 pe lângă radical din 11 minus 2,

iar la numitor avem această sumă radical din 11 plus 2.

Și să ștergem linia de fracție, că e mult prea mare.

În continuare, nu ne rămâne decât să raționalizăm.

Deci vom amplifica această fracție, acest raport, cu cât?

Da, ca la numitor să obținem un număr rațional.

Și va fi egal cu?

La numărător vom avea 5 pe lângă.

Acest număr înmulțit cu el însuși ne dă radical din 11 minus 2 la pătrat,

iar la numitor avem radical din 11 la pătrat minus 2 la a doua.

Și haide să facem calculul.

Trebuie să facem aceste ridicări la putere.

Deci vom avea 5 pe lângă radical din 11 minus 2 la a doua,

și aici ne rămâne 11 minus 4.

Deci va fi egal mai departe cu?

Aici vom obține 7.

Cum mai putem să calculăm numărătorul?

Ce putem face la numărător?

Păi trebuie să aducem la pătrat această diferență.

Atenție, aceasta este forma de scriere a acestui număr irrațional.

Nu mai avem cum să restrângem această diferență.

Prin urmare, cum vom aduce acest număr la pătrat?

Păi foarte simplu, ne vom referi, ne vom folosi de această formulă.

A minus B totul la pătrat este egal cu A pătrat minus 2AB plus B pătrat.

Oricare ar fi A și B numere reale.

Deci vom obține aici 5 pe lângă.

Radical din 11 la pătrat minus 2 înmulțit cu 2, acest 2,

ori radical din 11 plus 2 la a doua.

Și am închis paranteza, prelungim și linia de fracție.

Și vom obține, vom avea aici 5 pe lângă.

Aici obținem 11 minus 4 radical din 11 plus 4 la a doua.

Totul supra 7 egal și vom scrie rezultatul final.

Numitorul 7, 5 pe lângă, 11 cu 4, 15 minus 4 radical din 11.

Și de-abia acum s-a încheiat calculul.