Raționalizarea numitorului

Raționalizarea numitorului unui fracții este operația prin care transformăm o fracție cu numitor irațional într-o fracție cu numitor rațional.

1. Raționalizarea fracțiilor de forma

$\frac{c}{a\sqrt{b}}, a\in {\mathrm{\mathbb{Q}}}_{+}, b\in {{\mathrm{\mathbb{Q}}}^{*}}_{+}$

se face prin amplificarea fracției cu radicalul de la numitor.

$\boxed{ {}^{{}^{\sqrt{b})}}\frac{c}{a\sqrt{b}}=\frac{c\sqrt{b}}{ab} }$

Exemplu:

${}^{\sqrt{5})}\frac{2}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}·\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{3·5}=\frac{2\sqrt{5}}{15}.$

2. Raționalizarea fracțiilor de forma

$\frac{c}{a\pm \sqrt{b}}, a, b\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$

se face prin amplificarea fracției cu expresia conjugată și aplicarea formulei de calcul prescurat:

$\left(a+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{b}\right)=a^2-b.$

$$\begin{gathered} \boxed{ {}^{{}^{a-\sqrt{b})}}\frac{c}{a+\sqrt{b}}=\frac{c\left(a-\sqrt{b}\right)}{\left(a+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{b}\right)}=\frac{c\left(a-\sqrt{b}\right)}{a^2-b} } \\ \boxed{ {}^{{}^{a+\sqrt{b})}}\frac{c}{a-\sqrt{b}}=\frac{c\left(a+\sqrt{b}\right)}{\left(a-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{b}\right)}=\frac{c\left(a+\sqrt{b}\right)}{a^2-b} } \end{gathered}$$

Exemplu:

${}^{2-\sqrt{5})}\frac{4}{2+\sqrt{5}}=\frac{4\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=\frac{4\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=-4\left(2-\sqrt{5}\right)=-8+4\sqrt{5}$