Puterea cu exponent întreg a unui numar real

Fie a un număr real, prin definiție a la puterea n, este produsul a, ori a, ori a, de n ori.

De exemplu, radical din 3 la puterea 2-a va fi egal cu radical din 3, ori radical din 3,

care este egal cu radical din 3-or 3, egal cu radical din 9, egal cu 3.

Radical din 3 este bază, iar 2 se numește exponent.

Un alt exemplu, radical din 2 la puterea 3-a este egal cu radical din 2, înmulțit cu el însuși de 3-ori.

Radical din 2, ori radical din 2, este radical din 4, iar radical din 4 este 2, deci rezultatul va fi 2 radical din 2.

În continuare să deducem câteva reguli de calcul cu puteri.

Fie a și b două numere reale diferite de 0.

Ne propunem să calculăm a la a treia, ori a la a doua.

Mai exact să găsim o regulă generală de calcul atunci când trebuie să înmulțim două puteri cu aceeași bază.

Ne interesează să vedem care va fi exponentul rezultatului.

A la a treia, conform definiției, este a, ori a, ori a, iar a la a doua este a, ori a.

Observăm că factorul a apare de 5-ori în această înmulțire, deci vom scrie egal cu a la a cincea.

Dacă ne uităm acum la exponenți, observăm că exponentul rezultatului este suma celor doi exponenți.

Și atunci putem să tragem următoarea concluzie.

A la puterea m, ori a la puterea n, va fi egal cu a la puterea m plus n.

Un al doilea exemplu, să vedem ce se întâmplă cu exponentul rezultatului în cazul în care avem o împărțire de două puteri cu aceeași bază.

Împărțirea știm că se mai poate scrie și sub formă de fracție.

Și atunci vom scrie a la a treia, supra a la a doua.

Dar a la a treia este a, ori a, ori a, iar a la a doua este a, ori a.

Putem simplifica cu factorul a, deoarece apare atât la numitor, cât și la numărător.

Și obținem rezultatul a la puterea a înduia, care este egal cu a.

Deci exponentul rezultatului este diferența dintre cei doi exponenți.

Și atunci vom scrie următoarea regulă.

a la puterea m împărțit la a la puterea n va fi egal cu a la puterea m minus n.

În cazul în care m este egal cu n, avem a la m împărțit la a la m, care va fi egal cu a la puterea m minus m, conform acestei reguli.

Dar m minus m este zero, deci obținem a la puterea zero.

Însă atunci când împărțim un număr la el însuși, rezultatul este întotdeauna 1.

Și atunci putem să tragem următoarea concluzie.

Orice număr real a ridicat la puterea zero va fi 1.

În cazul în care m este mai mic decât n, avem următorul exemplu.

a la a doua împărțit la a la a treia va fi egal, conform acestei reguli de mai sus, cu a la puterea 2 minus 3, adică a la puterea minus 1.

Însă a la a doua împărțit la a la a treia se poate scrie la fel sub formă de fracție și obținem a ori a supra a ori a ori a.

Se simplifică cu a, la numărător rămâne 1, iar la numitor avem a.

Putem să egalăm aceste două relații și să tragem următoarea concluzie, a la puterea minus 1 este egal cu 1 supra a.

Să mai facem un exemplu, a la a doua împărțit la a la a patra.

Va fi egal cu a la puterea 2 minus 4, adică a la puterea minus 2.

Însă a la a doua împărțit la a la a patra se poate scrie sub formă de fracție astfel a ori a supra a ori a ori a.

Putem să simplificăm din nou cu a, la numărător rămâne 1, iar la numitor avem a ori a care este egal cu a la a doua.

De aici deducem că a la puterea minus 2 este egal cu 1 supra a la a doua.

Și tot așa în continuare vom deduce că a la puterea minus n va fi egal cu 1 supra a la n.

De exemplu, 10 la puterea minus 2 va fi egal cu 1 supra 10 la puterea a doua, adică 1 supra 100.

10 la puterea minus 4 va fi egal cu 1 supra 10 la puterea a patra, care este egal în continuare cu 1 supra 10.000.

Puterile cu exponent negativ au fost introduse pentru a scrie mai ușor și pentru a avea o privire de ansamblu asupra numerelor foarte mici.

De exemplu, diametrul atomului de hidrogen este egal cu 1,06 ori 10 la puterea minus 8 centimetri.

Pentru a ne imagina mărimea diametrului acestui atom, facem următoarea comparație.

Raportul dintre diametrul unui atom și cel al unei mingi de fotbal este același cu raportul dintre diametrul mingii și cel al pământului.

Următoarea regulă pe care dorim să o deducem, 3, a la a doua totul la a treia.

Dorim să vedem ce se întâmplă cu exponentul rezultatului în cazul în care avem puterea unei puteri.

a la a doua, conform definiției, este a ori a totul la puterea a treia.

a ori a la a treia înseamnă acest produs înmulțit cu el însuși de 3 ori.

Putem să scriem fără paranteze și obținem a la puterea șasea.

Dacă ne uităm la exponentul rezultatului, observăm că el este produsul dintre cei două exponenți.

Și atunci vom scrie următoarea formulă, a la m, totul la puterea n, este egal cu a la puterea m ori n.

A patra regulă, a la a treia ori b la a treia.

Să vedem cum se poate scrie produsul a două puteri cu același exponent.

a la a treia este egal cu a ori a ori a, iar b la a treia este b ori b ori b.

Putem să desfacem parantezele și să rearanjăm termenii deoarece înmulțirea este asociativă și comutativă

și atunci putem să scriem astfel a ori b înmulțit cu a ori b înmulțit cu a ori b.

Acest lucru va fi egal, conform definiție puterilor, cu a ori b la puterea a treia.

Observăm așadar că produsul a două puteri cu același exponent va fi egal cu puterea produsului.

În general, un număr negativ minus a la puterea n va fi egal cu a la n dacă n este un număr par

și minus a la n dacă n este un număr impar.

De exemplu, minus 2 supra 3 la puterea a doua va fi egal cu 4 supra 9 pentru că 2 este un exponent par

iar atunci când ridicăm un număr negativ la o putere pară, rezultatul va fi pozitiv

iar numărul minus 2 supra 3 ridicat la puterea a treia va fi egal cu minus 8 supra 27

pentru că 3 este un exponent impar și semnul minus se păstrează și la rezultat.

2 la 3 este 8, iar 3 la 3 este 27.

Și o ultimă regulă de calcul cu puteri.

Dacă avem o fracție ridicată la o putere, de exemplu, a supra b la puterea a treia,

va fi egal cu a supra b, ori a supra b, ori a supra b.

Știm că atunci când înmulțim 3 fracții, se înmulțesc numărătorii între ei și numitorii între ei.

a ori a ori a este a la a treia, iar b ori b ori b este b la a treia.

În general, putem deduce această regulă a supra b la orice putere n

va fi egal cu a la n supra b la n.

Deci, exponentul se distribuie și la numărător și la numitor.

În continuare vom face câteva exerciți în care vom aplica aceste reguli de calcul cu puteri.

În primul exercițiu, radical din șapte la puterea opta împărțit la radical din șapte la puterea șasea.

Va fi egal cu radical din șapte la puterea opt minus șase.

Am văzut mai devreme că exponenții se scad în cazul în care avem de împărțit două puteri cu aceeași bază.

Opt minus șase este doi, deci obținem radical din șapte la puterea a doua,

care este egal cu radical din șapte ori șapte,

egal cu radical din patruzeci și nouă,

egal cu șapte.

În general rețineți că orice radical ridicat la puterea a doua este acel număr de subradical,

pentru că ridicarea la putere și extragerea rădăcinii pătrate sunt două operații inverse care se anulează una pe cealaltă.

Al doilea exercițiu, 1 supra 10 la puterea a doua ori 1 supra 10 la puterea a treia.

Când înmulțim două puteri cu aceeași bază, exponenții se adună,

deci obținem 1 supra 10 la puterea a cincea,

care va fi egal cu 1 la cincea, care este 1,

supra 10 la cincea,

dar în loc să scriem 1 supra 100 de mii, este mai simplu să scriem egal cu 10 la puterea minus cinci.

3

5 supra 3 la puterea minus 1.

Atunci când avem o putere negativă, rezultatul este 1 supra acel număr,

1 supra 5 supra 3.

Linea de fracție înseamnă împărțire, deci vom scrie 1 împărțit la 5 supra 3,

care este egal în continuare cu 1 ori 3 supra 5,

egal cu 3 supra 5.

În general, orice fracție la puterea minus 1 este inversa fracției respective.

4

minus 3 supra 4 la puterea minus 1.

O să omitem această etapă de mai devreme și vom scrie direct fracția inversată,

însă semnul acesteia se păstrează, deci rezultatul va fi minus 4 supra 3.

5

3 supra radical din 2 la puterea a doua,

ori radical din 2 supra 6 la puterea a doua.

Având în vedere că avem același exponent, putem să scriem acest produs astfel,

3 supra radical din 2, ori radical din 2 supra 6, totul la puterea a doua.

În paranteză putem să facem niște simplificări.

3 și 6 se simplifică cu 3.

6 împărțit la 3 este 2.

Și pe cealaltă diagonală putem să simplificăm radicalii.

Simplificăm cu radical din 2 și obținem 1.

În paranteză ne rămâne 1 supra 2.

Și ridicam la puterea a doua, care este egal cu 1 supra 4.

Și ultimul exercițiu.

6

Radical din 5 la 6-a,

împărțit la radical din 5 la 8-a.

A fi egal cu radical din 5 la puterea 6-8.

Egal cu radical din 5 la puterea minus 2.

Egal cu 1 supra radical din 5 la puterea a doua.

Egal cu 1 supra 5.