Adunarea numerelor reale

În această lecție o să învățăm să adunăm numerele reale.

Adunarea a două numere reale A și B este un număr real C notat cu A plus B,

care se numește suma numerelor A și B.

Adunarea numerelor reale are următoarele proprietăți.

Asociativitatea. Acest lucru înseamnă că într-o sumă putem să asociem termenii diferit,

iar rezultatul rămâne neschimbat.

Comutativitatea. Putem să inversăm locul termenilor, iar rezultatul rămâne același.

0 este element neutru pentru adunare.

Orice număr real A adunat cu 0 va fi acel număr A.

Și orice număr real X are un opus notat cu minus X,

astfel încât X adunat cu minus X să fie 0.

Vom face un exemplu în care o să evidențiem aceste proprietăți ale adunării numerelor reale.

Vom calcula radical din 3 plus 5 plus minus radical din 3.

În prima paranteză o să inversez locul termenilor.

Voi scrie 5 plus radical din 3 plus minus radical din 3.

Adunarea este și asociativă, deci putem să asociem ultimii doi termeni.

Egal cu 5 plus, paranteză dreaptă, radical din 3 plus minus radical din 3.

Egal.

Radical din 3 și minus radical din 3 sunt numere reale opuse,

deci rezultatul adunărilor va fi 0.

Obținem așadar 5 plus 0.

0 este element neutru, deci rezultatul final va fi 5.

După cum observăm, proprietățile adunării numerelor reale sunt aceleași ca și la adunarea numerelor raționale,

trebuie însă să vedem cum putem aduna numerele irraționale. Bine.

Pentru a aduna mai multe numere reale de forma a radical din b, care au același număr subradical,

se adună factorii din fața radicalilor, iar rezultatul se înmulțește cu radicalul.

De exemplu, 3 radical din 5 plus 4 radical din 5 va fi egal cu 3 plus 4 înmulțit cu radical din 5.

Atenție, numerele de subradical nu se adună.

Egal mai departe cu 7 radical din 5.

Vom face câteva adunări.

Primul exercițiu.

Minus 4 plus 6 plus radical din 2.

Minus 4 plus 6 este 2 plus radical din 2.

Având în vedere că radical din 2 este un număr irrațional, acesta are o infinitate de decimale.

De obicei se preferă ca numerele irraționale să fie lăsate sub formă de radical,

dar în cazul în care dorim totuși un rezultat aproximativ,

vom aproxima numărul radical din 2 cu 1,41.

Deci obținem în continuare un rezultat aproximativ egal cu 2 plus 1,41,

care va fi egal cu 3,41.

Dar, după cum spuneam, numerele irraționale se vor lăsa sub formă de radical.

Al doilea exercițiu.

Radical din 5 plus radical din 5.

Coeficientul acestor radicali este 1.

Pentru a aduna cei doi radicali se adună coeficienților.

Vom scrie 1 plus 1, iar numărul irrațional se copiază.

Egal cu 2 radical din 5.

Nu se mai scrie semnul ori între 2 și radical din 5.

Un alt exemplu.

2 radical din 3 plus 5 radical din 3.

Și în acest caz o să adunăm coeficienții 2 plus 5 totul ori radical din 3.

Egal cu 7 radical din 3.

4 minus 3 radical din 2 plus 2 radical din 2

plus 7 radical din 2.

Va fi egal cu minus 3 plus 2 plus 7

totul înmulțit cu radical din 2.

Minus 3 plus 2 este minus 1 plus 7 este 6 radical din 2.

5 minus 5 radical din 7

plus 3 radical din 7 plus 2 radical din 7.

Egal cu minus 5 plus 3 plus 2 radical din 7.

Minus 5 plus 3 este minus 2, iar minus 2 plus 2 este 0.

Obținem 0 radical din 7 care este 0 pentru că 0 înmulțit cu orice număr este 0.

9 radical din 11 plus 5 radical din 11 plus minus 9 radical din 11.

Observăm că în această sumă avem două numere reale opuse, 9 radical din 11 și minus 9 radical din 11.

Atunci când adunăm două numere reale opuse rezultatul este 0.

Deci noi putem să anticipăm că adunând 9 radical din 11 cu minus 9 radical din 11 vom obține 0

și atunci putem să reducem acești termeni, îi vom tăia cu o linie oblică.

Din această sumă mai rămâne doar 5 radical din 11.

7

13 radical din 5

plus radical din 5

plus minus 2 radical din 5.

Egal.

Putem să ne obișnim să facem aceste adunări ale coeficienților în minte fără să mai scriem în paranteză suma acestora.

13 adunat cu 1 este 14 minus 2 este egal cu 12 radical din 5.

Și ultimul exercițiu.

2 radical din 10 plus 4 radical din 5 plus 3 radical din 10 plus 5 radical din 5.

Ați observa că până acum am avut doar exerciții în care apăreau radicali asemenea, adică sub radical am avut același număr.

Însă în acest exercițiu apar radicali diferiți. Avem și radical din 10 și radical din 5.

Într-o astfel de sumă se vor aduna doar radicalii asemenea.

Termenii asemenea vor fi 2 radical din 10 și 3 radical din 10.

Iar ceilalți termeni asemenea sunt 4 radical din 5 și 5 radical din 5.

2 radical din 10 plus 3 radical din 10 este egal cu 5 radical din 10.

Iar 4 radical din 5 plus 5 radical din 5 este egal cu 9 radical din 5.

Rezultatul va rămâne sub această formă deoarece nu putem să adunăm 2 radicali diferiți.