Adunarea și scăderea numerelor reale

Să rezolvăm acum câteva exerciții cu adunarea și scăderea numerelor reale de această formă.

Aici C este un număr real, iar A este un număr rațional, deci avem C supra A plus sau minus radical din B.

Și primul exercițiu, avem radical din 3 supra 1 minus radical din 6 adunat cu 3 supra 2 minus radical din 2 minus 3.

Păi, în primul rând, când avem asemenea rapoarte în care observăm că numitorul și aici și aici este număr irrațional,

mai întâi vom raționaliza, deci primul raport îl vom amplifica cu, având aici 1 minus radical din 6, amplificăm cu 1 plus radical din 6,

iar al doilea raport, avem 2 minus radical din 2, amplificăm cu 2 plus radical din 2 și vom obține,

haide să notăm aici, trecem linia de fracție, avem radical din 3 pe lângă 1 plus radical din 6,

la numitor vom avea 1 minus radical din 6 înmulțit cu 1 plus radical din 6 și să prelungim această linie, adunat mai departe cu,

avem 3 pe lângă 2 plus radical din 2, iar la numitor vom avea produsul dintre 2 minus radical din 2 și 2 plus radical din 2,

cu cât am amplificat aici, minus 3, deci continuăm minus 3, egal cu, haide să notăm aici,

la numitor, la acest numitor ce vom obține, avem așa, 1 la pătrat minus radical din 6 la pătrat, adică 1 minus 6,

păi asta ne dă minus 5, deci haide să ștergem și notăm minus 5 și numărătorul este radical din 3 pe lângă 1 plus radical din 6, adunat cu,

al doilea numitor, cât este? Păi avem aici 2 la a doua minus radical din 2 la a doua, adică 4 minus 2, care ne dă 2, deci venim și ștergem,

scriem aici 2 și vom avea la numărător 3 pe lângă 2 plus radical din 2 minus 3, egal mai departe cu, păi putem aici să aducem la același numitor, chiar acest semn minus putem să-l mutăm în fața liniei de fracție sau în fața numărătorului,

deci putem să-l ștergem de aici și îl trecem aici. Cu cât vom amplifica acum? Păi avem numitorii 5 și 2, aici amplificăm cu 2, aici vom amplifica cu 5 și aici amplificăm cu 10 și vom obține linie de fracție, numitorul este 10,

avem minus 2 radical din 3, pe care îl înmulțim cu 1 plus radical din 6, adunat cu, aici putem să facem calcul 5 ori 3 ne dă 15, pe lângă 2 plus radical din 2 și avem aici minus 3 ori 10 minus 30.

Bun, egal mai departe cu și venim și notăm aici, tot așa mai întâi trecem numitorul, îl cunoaștem, e vorba de 10, cât obținem la numărător? Păi desfacem această paranteză și avem minus 2 radical din 3 ori 1, deci minus 2 radical din 3,

plus, pardon, minus ori plus ne dă minus 2 radical din 3 ori radical din 6, păi 2 ori radical din 3 ori radical din 6, îl putem scrie radical din 3 ori radical din 2, cât ne dă acest produs? Păi obținem 3 aici și vom avea 2 ori 3, adică 6 radical din 2.

Deci haide să ștergem tot și notăm direct rezultatul 6 radical din 2. Adunat cu 15 ori 2 ne dă 30 plus 15 ori radical din 2 și ne-a mai rămas minus 30.

Bun, egal mai departe, cum? Păi aici observăm că avem 30 și minus 30, acești termeni se reduc și ce ne-a rămas? Minus 2 radical din 3, nu mai putem să-l adunăm cu niciun alt termen pentru că nu mai avem radical din 3,

deci minus 2 radical din 3, însă avem aici minus 6 radical din 2 plus 15 radical din 2, de fapt facem 15 minus 6 și rezultatul este plus 9, deci avem plus 9 radical din 2 totul supra 10.

Un alt calcul, 1 supra 5 plus radical din 13 minus 1 supra 5 minus radical din 13 adunat cu radical din 13. Tot așa, mai întâi raționalizăm numitorii acestor 2 rapoarte.

Deci vom amplifica, primul raport îl amplificăm cu cât? Păi avem aici 5 plus radical din 13, deci amplificăm cu 5 minus radical din 13. Aici în schimb vom amplifica cu 5 plus radical din 13 pentru că la numitor avem diferența celor 2 numere.

Bun, și vom avea, haideți chiar să scriem aici, linie de fracție, obținem 5 minus radical din 13, iar la numitor vom avea această sumă, 5 plus radical din 13 înmulțit cu 5 minus radical din 13.

Haideți mai întâi să facem acest calcul. Păi vom obține, vom avea aici la numitor 5 la a doua minus radical din 13 la pătrat. Nu se vede prea bine că am scris radical din 13, deci radical din 13 la pătrat.

Acum vom obține 25 minus 13, da? Și rezultatul cât este ne dă 12. Deci tot ce avem aici, acest produs are ca rezultat pe 12. Cu alte cuvinte îl vom șterge și scriem direct numărul 12. Bun.

Apoi am spus că vom amplifica acest al doilea raport cu această sumă. Păi asta înseamnă că vom avea la numărător suma care este dată, 5 plus radical din 13, iar la numitor ce o să avem?

Păi o să avem de fapt același produs pe care l-am avut și la primul raport. Deci rezultatul pe care îl obținem la numitor e tot 12 plus radical din 13 pe care putem să îl amplificăm direct cu cât?

12 pentru că aceste două rapoarte au numitorul 12. Deci aici trecem 12 și vom obține 12 radical din 13 supra 12. Egal cu. Trecem linia de fracție, copiem numărătorii.

Avem aici 5 minus radical din 13 minus 5 plus radical din 13. Însă am scris corect ce am notat aici? Nu, pentru că avem minus această sumă, deci trebuie să trecem paranteză.

Și acum dacă vom trece paranteză, în momentul în care desfacem paranteza, semnul minus va merge la fiecare termen în parte. Haideți mai întâi să scriem supra 12 și în final vom avea aici numitorul 12, avem 5 minus radical din 13 minus.

Aici v-am spus că semnul minus merge la fiecare termen în parte, deci avem minus 5 plus, pardon, minus înmulțit cu plus ne dă minus radical din 13 plus 12 radical din 13.

Și să notăm și rezultatul, vom avea aici, iată, 5 minus 5 ne dă 0, termenii se reduc, avem minus radical din 13 adunat cu minus radical din 13 ne dă minus 2, chiar o să scriu.

Deci o să ne dea minus 2 radical din 13 plus, cât avem aici, 12 radical din 13 supra 12.

Egal mai departe cu, cât vom obține? Aici ne dă 10 radical din 13 supra 12. Sigur, putem să și simplificăm aici prin 2 și vom obține 5 și 6.

Deci rezultatul va fi 5 radical din 13 supra 6.

Să vedem acum cum vom face această sumă, 4 supra 2 minus radical din 5 adunat cu 12 supra 2 radical din 5 minus radical din 14.

Pentru primul raport observăm că la numitor avem diferența dintre un număr rațional și un număr irrațional, deci e un număr de forma pe care am mai întâlnit-o.

Deci vom amplifica aici cu suma celor două numere, 2 plus radical din 5.

Însă la al doilea raport avem diferența dintre două numere irraționale, 2 radical din 5 și radical din 14.

Într-o asemenea situație, ideea de rezolvare este aceeași ca și aici.

Cu alte cuvinte vom amplifica acest raport cu suma celor doui termeni, adică 2 radical din 5 plus radical din 14.

De ce facem acest lucru?

Păi vom obține la numitor produsul dintre această sumă și această diferență.

Cu alte cuvinte în urma produsului o să obținem pătratele acestor două numere irraționale și astfel nu o să mai avem radical.

Haideți să trecem la treabă.

Acum avem aici linie de fracție, 4 pe lângă 2 plus radical din 5, iar la numitor avem, scriem direct, 2 la a doua minus radical din 5 la pătrat, plus.

Să se vadă mai bine că avem aici plus.

Al doilea raport va fi 12 pe lângă 2 radical din 5 adunat cu radical din 14 și chiar o să ordonăm puțin așa.

Ce vom obține la numitor?

Păi avem acest număr, 2 radical din 5 la pătrat minus radical din 14 la pătrat.

Cât obținem la acest numitor?

Păi vom avea, avem aici de fapt 2 la a doua, adică 4 minus 5, deci rezultatul este minus 1.

Semnul minus putem să îl trecem direct în fața lui 4, deci vom scrie direct că avem de fapt minus 4 pe lângă 2 adunat cu radical din 5, plus.

Cât vom obține la acest numitor?

Păi avem aici 2 la a doua și radical din 5 la a doua, cu alte cuvinte 5 ori 4 ne dă 20 minus 14, adică 6.

Venim și ștergem și vom trece direct că avem linie de fracție, numitorul este 6, iar la numărător 12 pe lângă 2 radical din 5 plus radical din 14.

Aici deja putem să desfacem paranteza, avem minus 8 minus 4 radical din 5 și aici observăm că putem să simplificăm, ce anume?

Păi pe 12 și 6 prin 6, vom avea aici 1 și aici 2 și desfacem această paranteză.

2 ori 2 ne dă 4 radical din 5, deci plus 4 radical din 5 adunat cu avem 2 radical din 14.

Și observăm că acest termen minus 4 radical din 5 cu 4 radical din 5 se reduc și rezultatul este 2 radical din 14, deci ce avem aici?

minus 8. Și cu aceasta am încheiat.