Axa numerelor reale

În această lecție o să reprezentăm pe axă câteva numere reale,

apoi vom face un exercițiu în care vom ordona numerele reale.

O axă a numerelor este o dreaptă pe care fixăm un punct notat cu O și numit origine,

un sens pozitiv indicat de această săgeată și o unitate de măsură.

În acest caz, unitatea de măsură este de 2 cm.

Ne propunem să reprezentăm pe axă numerele minus radical din 2, 0,5, radical din 2,

minus 2,6 în perioadă, minus 0,5 și 5 supra 2.

Observăm că aceste numere reale sunt scrise sub diferite forme.

Avem fracții decimale, fracții ordinare și radicali.

Pentru a le reprezenta mai ușor pe axă, le vom transforma pe toate fracții decimale.

Numărul minus radical din 2 se va aproxima cu valoarea minus 1,41,

radical din 2 va fi aproximativ egal cu 1,41,

iar fracția 5 supra 2 se poate transforma în fracție decimală păcând împărțirea.

5 împărțit la 2 este 2,5.

Și acum să reprezentăm pe axă numărul minus radical din 2.

Pentru a putea reprezenta mai ușor numerele acestea reale, am fixat mai întâi câteva numere întregi.

Minus radical din 2, fiind minus 1,41, va fi situat pe axă între numerele întregi minus 1 și minus 2.

Aici este numărul minus radical din 2 și notez acest punct cu A.

Urmează numărul 0,5. Acesta este egal cu o jumătate de unitate de măsură.

El va fi situat pe axă între 0 și 1, la mijlocul distanței dintre 0 și 1.

Notez punctul acesta cu B. Urmează radical din 2, care este 1,41.

Aici va fi numărul radical din 2. Notez acest punct cu C.

Urmează minus 2,6 în perioadă. Acesta este situat între minus 2 și minus 3.

Notez punctul acesta cu D.

Urmează minus 0,5 între 0 și minus 1.

Urmează punctul E.

Urmează 5 supra 2, care este 2,5, la jumătatea distanței dintre numerele întregi 2 și 3.

Aici va fi fracția 5 supra 2.

Notez acest punct cu F.

Numărul minus radical din 2 se mai numește abscisa punctului A sau coordonata punctului A.

Numărul radical din 2 va fi abscisa punctului C.

Observăm că punctele A și C sunt simetrice față de origine, față de punctul O.

În acest caz vom spune că numerele minus radical din 2 și radical din 2 sunt numere reale opuse.

Deci două numere reale se numesc opuse dacă ele sunt abscisele a două puncte simetrice față de origine.

Observăm că și numerele minus 0,5 și 0,5 sunt numere reale opuse deoarece ele sunt egal depărtate de origine.

Punctele E și B sunt simetrice față de punctul O.

Vom face în continuare un exercițiu.

Ordonați crescător următoarele numere reale.

1,3, minus radical din 3, 5 supra 10, minus 4,25 și minus 3 supra 4.

Avem din nou numere reale scrise sub forme diferite, radical, fracții decimale și fracții ordinare.

O să le transformăm pe toate în fracții decimale.

Numărul irrațional minus radical din 3 se rotunjește la valoarea minus 1,73.

2,3, 5 supra 10 transformată în fracție decimală va fi egal cu 0,5, iar minus 3 supra 4 este minus 0,75.

Pentru a ordona crescători numerele reale o să începem cu cele mai mici, adică cu cele negative.

Avem 3 numere negative, minus radical din 3, minus 4,25 și minus 3 supra 4.

Dintre acestea cel mai mic este minus 4,25.

Urmează în ordine crescătoare minus 1,73, adică minus radical din 3.

Apoi urmează minus 0,75, adică minus 3 supra 4.

Am terminat cu numerele negative, continuăm cu cele pozitive.

Avem fracțiile 0,5 și 1,3 în perioadă.

Dintre acestea cea mai mică este 0,5, adică numărul 5 supra 10.

Iar cel mai mare număr este 1,3 în perioadă.

Aceasta este ordinea crescătoare a numerelor.

Discutăm în continuare despre partea întreagă și partea fracționară a unui număr real.

Partea întreagă a unui număr real X notată cu paranteză dreaptă este cel mai mare număr întreg, mai mic sau egal cu X.

De exemplu, partea întreagă a numărului 3,8 va fi 3, pentru că 3 este cel mai mare număr întreg, mai mic decât 3,8.

Un alt exemplu, partea întreagă a lui minus 3,8 este minus 4, pentru că minus 4 este mai mic decât minus 3,8.

Definim în continuare partea fracționară a unui număr real X. Aceasta se notează cu X între paranteze acolade și ea este diferența dintre numărul X și partea sa întreagă.

De exemplu, partea fracționară a numărului 3,8 este diferența dintre numărul 3,8 și partea sa întreagă, egal cu 3,8 minus 3 și egal cu 0,8.

Iar partea fracționară a numărului minus 3,8 este egală cu minus 3,8 minus partea întreagă a lui minus 3,8, adică minus 4.

Egal cu minus 3,8 plus 4 și egal cu 0,2.