Ordinea efectuării operațiilor cu numere reale

Ordinea efectuării operațiilor cu numere reale

Dacă într-un exercițiu apar operații de ordine diferite, se efectuează mai întâi ridicarea la putere și extragerea rădăcinii pătrate,

apoi efectăm înmulțirile și împărțirile, iar la final adunările și scăderile.

Dacă într-un exercițiu apar și paranteze, vom efectua mai întâi calculul din paranteze.

Primul exercițiu

Pentru a putea efectua aceste calcule, trebuie să scoatem mai întâi factorii de subradicali.

Vom descompune în factori primi numerele 24 și 18.

24 este număr par, se împarte la 2 și obținem 12.

12 împărțit la 2 este 6.

6 împărțit la 2 este 3.

3 împărțit la 3 este 1.

Grupăm factorii câte 2 și observăm că radical din 24 va fi egal cu 2 radical din 6.

Descompunem și numărul 18.

18 împărțit la 2 este 9.

9 împărțit la 3 este 3.

3 împărțit la 3 este 1.

Vom scrie că radical din 18 este 3 radical din 2.

Și acum înlocuim rezultatele obținute în exercițiul inițial.

Egal cu 3 radical din 2 minus radical din 6 plus 2 ori.

În loc de radical din 24 voi scrie 2 radical din 6.

Și în loc de radical din 18 voi scrie 3 radical din 2.

Egal în continuare cu 3 radical din 2 minus radical din 6 plus 4 radical din 6 minus 3 radical din 2.

3 radical din 2 și minus 3 radical din 2, fiind numere opuse, se vor reduce.

Le putem tăia cu o linie oblică.

Și rămâne minus radical din 6 plus 4 radical din 6.

Vom aduna coeficienții acestor radicali.

Minus radical din 6 are coeficientul minus 1, iar minus 1 plus 4 este egal cu 3 și radical din 6 se copiază.

Al doilea exercițiu.

Radical din 10 împărțit la radical din 2 minus radical din 5.

Avem o împărțire și o scădere. O să efectuăm mai întâi împărțirea.

Radical din 10 împărțit la radical din 2 este radical din 5 minus radical din 5 și obținem rezultatul 0.

3 radical din 2 pe lângă radical din 3 plus radical din 2.

Având în vedere că în paranteză nu avem radicali asemenea, aceștia nu se pot aduna,

și atunci vom desface paranteza înmulțind numărul radical din 2 cu fiecare număr în paranteză.

Și obținem radical din 2 ori radical din 3 plus radical din 2 ori radical din 2,

care va fi egal cu radical din 6 plus radical din 4.

4 fiind pătrat perfect se poate extrage radicalul și obținem radical din 6 plus 2.

Următorul exercițiu.

4 radical din 5 pe lângă radical din 2 plus radical din 5 minus 5 minus radical din 10.

Înmulțim numărul radical din 5 cu fiecare număr din paranteză

și avem radical din 5 ori radical din 2 plus radical din 5 ori radical din 5

și restul copiem minus 5 minus radical din 10

egal radical din 5 ori radical din 2 este radical din 10

plus radical din 5 ori radical din 5 este radical din 5 la 2 adică 5

minus 5 minus radical din 10.

Radical din 10 și minus radical din 10 sunt numere reale opuse.

Deci se reduc.

La fel 5 minus 5, deci obținem rezultatul final 0.

Exercițiul numărul 5.

2 radical din 3 plus 3 pe lângă 7 radical din 3 minus 5 radical din 3.

Închidem paranteza, minus 6 radical din 3.

În paranteză avem radical asemenea, deci vom putea efectua această scădere.

Vom scrie egal cu 2 radical din 3 plus 3 ori.

7 radical din 3 minus 5 radical din 3 este 2 radical din 3

minus 6 radical din 3.

Acum efectuăm această înmulțire.

2 radical din 3 plus 6 radical din 3 minus 6 radical din 3.

Se reduce 6 radical din 3 minus 6 radical din 3 pentru că adunându-le obținem rezultatul 0.

Și a mai rămas 2 radical din 3.

Exercițiul numărul 6.

Radical din 2 la puterea 5-a împărțit la radical din 2 la puterea a 4-a minus 2 ori 1 supra radical din 2 la puterea minus 1.

Pentru a împărți aceste două puteri folosim o regulă de calcul cu puteri și anume dacă împărțim două puteri cu aceeași bază exponenții se scad.

Vom obține așadar radical din 2 la puterea 5 minus 4 care este 1 și nu mai scriem exponentul 1

fiindcă orice număr real la puterea 1 este acel număr real.

Mai departe minus 2 ori 1 supra radical din 2 la o putere negativă mai exact la puterea minus 1 înseamnă radical din 2 supra 1.

Cu alte cuvinte inversăm fracția și obținem egal cu radical din 2 minus 2 radical din 2 pentru că nu mai scriem numitorul 1.

Ca să scădem aceștiu doi radical o să scădem coeficienții acestora.

Primul radical are coeficientul 1.

1 minus 2 este minus 1 radical din 2 adică minus radical din 2.

Nu o să mai trecem coeficientul 1.

7

1 supra 5 la puterea minus 1 ori radical din 5 la puterea minus 1 ori radical din 125.

1 supra 5 la puterea minus 1 va fi 5 supra 1.

Inversăm această fracție.

La fel procedăm și aici.

Aici avem fracția radical din 5 supra 1 iar inversând-o obținem 1 supra radical din 5.

Iar aici o să descompunem numărul 125 pentru a scoate factorii de subradical.

125 se împarte la 5 și vom obține rezultatul 25.

25 împărțit la 5 este 5.

5 împărțit la 5 este 1.

Așadar radical din 125 este egal cu 5 radical din 5.

Și aici voi trece 5 radical din 5.

Egal.

5 ori 1 este 5.

1 ori radical din 5 este radical din 5.

Ori 5 radical din 5.

Egal mai departe.

5 ori 5 este 25.

Radical din 5.

Supra radical din 5.

Având în vedere că apare același radical și la numitor și la numărător,

vom simplifica cu radical din 5.

Și rezultatul final este 25.

Următorul exercițiu.

Radical din 6 pe lângă 1 supra radical din 2 plus 1 supra radical din 3.

Vom înmulți numărul radical din 6 cu fiecare număr din paranteză.

Radical din 6 ori 1 este radical din 6 supra radical din 2 plus radical din 6 supra radical din 3.

Egal mai departe.

Radical din fracția 6 supra 2 plus radical din 6 supra 3.

Această regulă am învățat-o în lecțiile anterioare.

Egal mai departe cu radical din 3,

fiindcă 6 în părțila 2 este 3.

Iar 6 în părțila 3 va fi 2.

Deci plus radical din 2.

Și rezultatul va rămâne sub această formă,

fiindcă nu putem să adunăm 2 radicali diferiți.

Exercițiul 9.

5 radical din 2 supra 2 radical din 5 plus 3 supra radical din 10 minus 2 radical din 5 supra 5 radical din 2

plus 3 radical din 5 supra radical din 2.

Observăm că avem o sumă în care apar fracții cu numitori diferiți.

Va trebui să aducem fracțiile la numitor comun.

Dar mai întâi vom raționaliza numitorii.

Prima fracție se amplifică cu radical din 5,

pentru că numărul irrațional de la numitor este radical din 5.

A doua fracție se amplifică cu radical din 10.

A treia fracție cu radical din 2.

Și a patra fracție tot cu radical din 2.

Și obținem egal cu 5 radical din 2 ori radical din 5

supra 2 radical din 5 ori radical din 5 plus

3 radical din 10 supra radical din 10 ori radical din 10 minus

2 radical din 5 ori radical din 2

supra 5 radical din 2 ori radical din 2 plus

3 radical din 5 ori radical din 2

supra radical din 2 ori radical din 2

Egal

Facem înmulțirile

5 radical din 10

supra 2 ori 5 plus

3 radical din 10

supra 10 minus

2 radical din 10

supra 5 ori 2 plus

3 radical din 10

supra 2 Egal

cu 5 radical din 10

supra 10 plus

3 radical din 10

supra 10 minus

2 radical din 10

supra 10 plus

3 radical din 10

supra 2

Numitorul comun al acestor fracții este 10

Va trebui să amplificăm ultima fracție cu 5

Egal

Putem să adunăm primele 3 fracții, fiindcă au toate numitorul 10

Voi scrie o linie de fracție mai lungă

și obținem

5 radical din 10 plus

3 radical din 10

minus 2 radical din 10

totul supra 10 plus

Aici amplificând cu 5 obținem 5 ori 3

adică 15 radical din 10

supra 5 ori 2, care este 10

Egal

Vom efectua aceste calcule de la numărător

5 plus 3, 8

8 minus 2, 6

Deci avem 6 radical din 10

supra 10

plus

15 radical din 10

supra 10

Egal mai departe

21

radical din 10

supra 10

Și ultimul exercițiu

10

Acesta va fi cel mai ușor

0,1

perioadă 6

ori

radical din 0,36

minus 60

supra radical din 12

plus radical din 300

plus radical din 7

pe lângă 1 supra radical din 7

plus radical din 7

închidem paranteza

minus 10 la puterea minus 1

Egal

Voi transforma această fracție decimală periodică

în fracție ordinară

Ea se transformă după regula

16 minus 1

supra 90

Punem atâtea cifre de 9

câte cifre avem la partea periodică

și atâtea cifre de 0

câte avem la partea neperiodică

ori

Voi transforma de asemenea fracția 0,36

în fracție ordinară

păstrând radicalul

Obținem radical din 36

supra 100

minus

Aici raționalizăm numitorul

amplificând fracția cu radical din 12

și obținem 60

radical din 12

supra 12

plus

Aici va trebui să scoatem factorii de sub radical

Putem să descompunem numărul 300 în factor prim

sau mai simplu putem să scriem numărul 300

ca fiind produsul dintre 100 ori 3

100 fiind pătrat perfect

vom putea scoate mai ușor factorii de sub radical

Aici învățesc numărul radical din 7

cu fiecare număr din paranteză

și obținem radical din 7

ori 1 supra radical din 7

plus

radical din 7

ori radical din 7

minus

10 la puterea minus 1

am văzut în lecțiile trecute

că este egal cu 1

supra 10 la întâia

care este 10

egal

16 minus 1

este 15

supra 90

ori

radical dintr-o fracție

este radical

din numărător

supra radical din umitor

minus

60

este un multiplu al numărului 12

și putem să simplificăm această fracție cu 12

60 împărțit la 12 este 5

12 împărțit la 12 este 1

obținem

5 radical din 12

supra 1

plus

aici putem să scriem radical din 100

ori radical din 3

plus

dacă înmulțim numărul radical din 7

cu inversul său

produsul va fi 1

cu alte cuvinte

se simplifică radical din 7

cu radical din 7

și obținem 1

plus

radical din 7

ori radical din 7

este radical din 7 la 2

adică 7

minus

1 supra 10

egal

cu 15 supra 90

aici extragem radicalii

fiindcă avem pătrate perfecte

radical din 36 este 6

radical din 100 este 10

minus

5 radical din 12

plus

100 este pătrat perfect

deci radical din 100 este 10

radical din 3

plus

1 plus 7 este 8

minus

1 supra 10

egal

putem să simplificăm aceste fracții pe diagonală

90 se împarte exact la 6

și câtul obținut va fi 15

iar 6 împărțit la 6 va fi 1

15 se poate simplifica din nou cu 15

și obținem 1

așadar produsul principal

primelor două fracții va fi

1 supra 10

minus

5 radical din 12

plus

10 radical din 3

plus 8

minus

1 supra 10

1 supra 10 și minus 1 supra 10

sunt numere reale opuse

și adunându-le obținem 0

deci le putem reduce

Haideți să scoatem factorii de sub radical

trebuie să descompunem numărul 12 în factor prim

12 împărțit la 2 este 6

6 împărțit la 2 este 3

3 împărțit la 3 este 1

grupăm câte 2

radical din 12

egal 2 radical din 3

și obținem egal cu minus 5 ori

în loc de radical din 12

scriem 2 radical din 3

plus 10 radical din 3

plus 8

egal

minus 5 ori 2 este minus 10 radical din 3

plus 10 radical din 3

plus 8

se reduce minus 10 radical din 3 cu plus 10 radical din 3

și obținem rezultatul final 8