Transcript: Ordinea efectuării operațiilor cu numere reale

Ordinea efectuării operațiilor cu numere reale
Dacă într-un exercițiu apar operații de ordine diferite, se efectuează mai întâi ridicarea la putere și extragerea rădăcinii pătrate,
apoi efectăm înmulțirile și împărțirile, iar la final adunările și scăderile.
Dacă într-un exercițiu apar și paranteze, vom efectua mai întâi calculul din paranteze.
Primul exercițiu
Pentru a putea efectua aceste calcule, trebuie să scoatem mai întâi factorii de subradicali.
Vom descompune în factori primi numerele 24 și 18.
24 este număr par, se împarte la 2 și obținem 12.
12 împărțit la 2 este 6.
6 împărțit la 2 este 3.
3 împărțit la 3 este 1.
Grupăm factorii câte 2 și observăm că radical din 24 va fi egal cu 2 radical din 6.
Descompunem și numărul 18.
18 împărțit la 2 este 9.
9 împărțit la 3 este 3.
3 împărțit la 3 este 1.
Vom scrie că radical din 18 este 3 radical din 2.
Și acum înlocuim rezultatele obținute în exercițiul inițial.
Egal cu 3 radical din 2 minus radical din 6 plus 2 ori.
În loc de radical din 24 voi scrie 2 radical din 6.
Și în loc de radical din 18 voi scrie 3 radical din 2.
Egal în continuare cu 3 radical din 2 minus radical din 6 plus 4 radical din 6 minus 3 radical din 2.
3 radical din 2 și minus 3 radical din 2, fiind numere opuse, se vor reduce.
Le putem tăia cu o linie oblică.
Și rămâne minus radical din 6 plus 4 radical din 6.
Vom aduna coeficienții acestor radicali.
Minus radical din 6 are coeficientul minus 1, iar minus 1 plus 4 este egal cu 3 și radical din 6 se copiază.
Al doilea exercițiu.
Radical din 10 împărțit la radical din 2 minus radical din 5.
Avem o împărțire și o scădere. O să efectuăm mai întâi împărțirea.
Radical din 10 împărțit la radical din 2 este radical din 5 minus radical din 5 și obținem rezultatul 0.
3 radical din 2 pe lângă radical din 3 plus radical din 2.
Având în vedere că în paranteză nu avem radicali asemenea, aceștia nu se pot aduna,
și atunci vom desface paranteza înmulțind numărul radical din 2 cu fiecare număr în paranteză.
Și obținem radical din 2 ori radical din 3 plus radical din 2 ori radical din 2,
care va fi egal cu radical din 6 plus radical din 4.
4 fiind pătrat perfect se poate extrage radicalul și obținem radical din 6 plus 2.
Următorul exercițiu.
4 radical din 5 pe lângă radical din 2 plus radical din 5 minus 5 minus radical din 10.
Înmulțim numărul radical din 5 cu fiecare număr din paranteză
și avem radical din 5 ori radical din 2 plus radical din 5 ori radical din 5
și restul copiem minus 5 minus radical din 10
egal radical din 5 ori radical din 2 este radical din 10
plus radical din 5 ori radical din 5 este radical din 5 la 2 adică 5
minus 5 minus radical din 10.
Radical din 10 și minus radical din 10 sunt numere reale opuse.
Deci se reduc.
La fel 5 minus 5, deci obținem rezultatul final 0.
Exercițiul numărul 5.
2 radical din 3 plus 3 pe lângă 7 radical din 3 minus 5 radical din 3.
Închidem paranteza, minus 6 radical din 3.
În paranteză avem radical asemenea, deci vom putea efectua această scădere.
Vom scrie egal cu 2 radical din 3 plus 3 ori.
7 radical din 3 minus 5 radical din 3 este 2 radical din 3
minus 6 radical din 3.
Acum efectuăm această înmulțire.
2 radical din 3 plus 6 radical din 3 minus 6 radical din 3.
Se reduce 6 radical din 3 minus 6 radical din 3 pentru că adunându-le obținem rezultatul 0.
Și a mai rămas 2 radical din 3.
Exercițiul numărul 6.
Radical din 2 la puterea 5-a împărțit la radical din 2 la puterea a 4-a minus 2 ori 1 supra radical din 2 la puterea minus 1.
Pentru a împărți aceste două puteri folosim o regulă de calcul cu puteri și anume dacă împărțim două puteri cu aceeași bază exponenții se scad.
Vom obține așadar radical din 2 la puterea 5 minus 4 care este 1 și nu mai scriem exponentul 1
fiindcă orice număr real la puterea 1 este acel număr real.
Mai departe minus 2 ori 1 supra radical din 2 la o putere negativă mai exact la puterea minus 1 înseamnă radical din 2 supra 1.
Cu alte cuvinte inversăm fracția și obținem egal cu radical din 2 minus 2 radical din 2 pentru că nu mai scriem numitorul 1.
Ca să scădem aceștiu doi radical o să scădem coeficienții acestora.
Primul radical are coeficientul 1.
1 minus 2 este minus 1 radical din 2 adică minus radical din 2.
Nu o să mai trecem coeficientul 1.
7
1 supra 5 la puterea minus 1 ori radical din 5 la puterea minus 1 ori radical din 125.
1 supra 5 la puterea minus 1 va fi 5 supra 1.
Inversăm această fracție.
La fel procedăm și aici.
Aici avem fracția radical din 5 supra 1 iar inversând-o obținem 1 supra radical din 5.
Iar aici o să descompunem numărul 125 pentru a scoate factorii de subradical.
125 se împarte la 5 și vom obține rezultatul 25.
25 împărțit la 5 este 5.
5 împărțit la 5 este 1.
Așadar radical din 125 este egal cu 5 radical din 5.
Și aici voi trece 5 radical din 5.
Egal.
5 ori 1 este 5.
1 ori radical din 5 este radical din 5.
Ori 5 radical din 5.
Egal mai departe.
5 ori 5 este 25.
Radical din 5.
Supra radical din 5.
Având în vedere că apare același radical și la numitor și la numărător,
vom simplifica cu radical din 5.
Și rezultatul final este 25.
Următorul exercițiu.
Radical din 6 pe lângă 1 supra radical din 2 plus 1 supra radical din 3.
Vom înmulți numărul radical din 6 cu fiecare număr din paranteză.
Radical din 6 ori 1 este radical din 6 supra radical din 2 plus radical din 6 supra radical din 3.
Egal mai departe.
Radical din fracția 6 supra 2 plus radical din 6 supra 3.
Această regulă am învățat-o în lecțiile anterioare.
Egal mai departe cu radical din 3,
fiindcă 6 în părțila 2 este 3.
Iar 6 în părțila 3 va fi 2.
Deci plus radical din 2.
Și rezultatul va rămâne sub această formă,
fiindcă nu putem să adunăm 2 radicali diferiți.
Exercițiul 9.
5 radical din 2 supra 2 radical din 5 plus 3 supra radical din 10 minus 2 radical din 5 supra 5 radical din 2
plus 3 radical din 5 supra radical din 2.
Observăm că avem o sumă în care apar fracții cu numitori diferiți.
Va trebui să aducem fracțiile la numitor comun.
Dar mai întâi vom raționaliza numitorii.
Prima fracție se amplifică cu radical din 5,
pentru că numărul irrațional de la numitor este radical din 5.
A doua fracție se amplifică cu radical din 10.
A treia fracție cu radical din 2.
Și a patra fracție tot cu radical din 2.
Și obținem egal cu 5 radical din 2 ori radical din 5
supra 2 radical din 5 ori radical din 5 plus
3 radical din 10 supra radical din 10 ori radical din 10 minus
2 radical din 5 ori radical din 2
supra 5 radical din 2 ori radical din 2 plus
3 radical din 5 ori radical din 2
supra radical din 2 ori radical din 2
Egal
Facem înmulțirile
5 radical din 10
supra 2 ori 5 plus
3 radical din 10
supra 10 minus
2 radical din 10
supra 5 ori 2 plus
3 radical din 10
supra 2 Egal
cu 5 radical din 10
supra 10 plus
3 radical din 10
supra 10 minus
2 radical din 10
supra 10 plus
3 radical din 10
supra 2
Numitorul comun al acestor fracții este 10
Va trebui să amplificăm ultima fracție cu 5
Egal
Putem să adunăm primele 3 fracții, fiindcă au toate numitorul 10
Voi scrie o linie de fracție mai lungă
și obținem
5 radical din 10 plus
3 radical din 10
minus 2 radical din 10
totul supra 10 plus
Aici amplificând cu 5 obținem 5 ori 3
adică 15 radical din 10
supra 5 ori 2, care este 10
Egal
Vom efectua aceste calcule de la numărător
5 plus 3, 8
8 minus 2, 6
Deci avem 6 radical din 10
supra 10
plus
15 radical din 10
supra 10
Egal mai departe
21
radical din 10
supra 10
Și ultimul exercițiu
10
Acesta va fi cel mai ușor
0,1
perioadă 6
ori
radical din 0,36
minus 60
supra radical din 12
plus radical din 300
plus radical din 7
pe lângă 1 supra radical din 7
plus radical din 7
închidem paranteza
minus 10 la puterea minus 1
Egal
Voi transforma această fracție decimală periodică
în fracție ordinară
Ea se transformă după regula
16 minus 1
supra 90
Punem atâtea cifre de 9
câte cifre avem la partea periodică
și atâtea cifre de 0
câte avem la partea neperiodică
ori
Voi transforma de asemenea fracția 0,36
în fracție ordinară
păstrând radicalul
Obținem radical din 36
supra 100
minus
Aici raționalizăm numitorul
amplificând fracția cu radical din 12
și obținem 60
radical din 12
supra 12
plus
Aici va trebui să scoatem factorii de sub radical
Putem să descompunem numărul 300 în factor prim
sau mai simplu putem să scriem numărul 300
ca fiind produsul dintre 100 ori 3
100 fiind pătrat perfect
vom putea scoate mai ușor factorii de sub radical
Aici învățesc numărul radical din 7
cu fiecare număr din paranteză
și obținem radical din 7
ori 1 supra radical din 7
plus
radical din 7
ori radical din 7
minus
10 la puterea minus 1
am văzut în lecțiile trecute
că este egal cu 1
supra 10 la întâia
care este 10
egal
16 minus 1
este 15
supra 90
ori
radical dintr-o fracție
este radical
din numărător
supra radical din umitor
minus
60
este un multiplu al numărului 12
și putem să simplificăm această fracție cu 12
60 împărțit la 12 este 5
12 împărțit la 12 este 1
obținem
5 radical din 12
supra 1
plus
aici putem să scriem radical din 100
ori radical din 3
plus
dacă înmulțim numărul radical din 7
cu inversul său
produsul va fi 1
cu alte cuvinte
se simplifică radical din 7
cu radical din 7
și obținem 1
plus
radical din 7
ori radical din 7
este radical din 7 la 2
adică 7
minus
1 supra 10
egal
cu 15 supra 90
aici extragem radicalii
fiindcă avem pătrate perfecte
radical din 36 este 6
radical din 100 este 10
minus
5 radical din 12
plus
100 este pătrat perfect
deci radical din 100 este 10
radical din 3
plus
1 plus 7 este 8
minus
1 supra 10
egal
putem să simplificăm aceste fracții pe diagonală
90 se împarte exact la 6
și câtul obținut va fi 15
iar 6 împărțit la 6 va fi 1
15 se poate simplifica din nou cu 15
și obținem 1
așadar produsul principal
primelor două fracții va fi
1 supra 10
minus
5 radical din 12
plus
10 radical din 3
plus 8
minus
1 supra 10
1 supra 10 și minus 1 supra 10
sunt numere reale opuse
și adunându-le obținem 0
deci le putem reduce
Haideți să scoatem factorii de sub radical
trebuie să descompunem numărul 12 în factor prim
12 împărțit la 2 este 6
6 împărțit la 2 este 3
3 împărțit la 3 este 1
grupăm câte 2
radical din 12
egal 2 radical din 3
și obținem egal cu minus 5 ori
în loc de radical din 12
scriem 2 radical din 3
plus 10 radical din 3
plus 8
egal
minus 5 ori 2 este minus 10 radical din 3
plus 10 radical din 3
plus 8
se reduce minus 10 radical din 3 cu plus 10 radical din 3
și obținem rezultatul final 8