Ridicarea la putere a rapoartelor de numere reale

Să rezolvăm acum câteva exerciții folosind ridicarea la putere a numerelor reale.

Și vrem să vedem cum facem acest calcul 1 supra radical din 2 totul la puterea a 3-a.

Păi, haideți să ne amintim că atunci când am discutat despre numere raționale,

când aveam a supra b totul la puterea n, unde a și b sunt numere raționale,

atunci era egal cu a la n supra b la n.

Deci, aducem la exponentul n și numărătorul și numitorul.

Ei bine, absolut aceeași regulă are loc și pentru numere reale.

Deci, putem să notăm că această regulă are loc și dacă a și b sunt numere reale.

Evident, b trebuie să fie n-ul, iar n este un număr natural.

Deci, să aplicăm această regulă și atunci vom avea linie de fracție.

Ridicăm la exponentul 3 și numărătorul și numitorul.

Avem 1 la 3-a supra radical din 2 la 3-a.

Aici obținem 1.

Radical din 2 la 3-a, putem să notăm radical din 2 la a doua ori.

Radical din 2 la 1-a, cu alte cuvinte, obținem 2 radical din 2.

Deci, haideți să ștergem aici și o să trecem și numitorul.

Dacă vrem acum să calculăm o putere cu aceeași bază, însă exponentul să fie negativ.

De exemplu, 1 supra radical din 2, însă acum la minus 3.

Tot de la numere raționale, haideți să ne amintim că dacă avem a, un număr rațional,

la minus n, unde n este un număr natural diferit de 0, atunci este egal cu linie de fracție 1 supra a la exponentul n.

Atunci, pe baza acestei reguli, dacă numărul a este scris ca o fracție, pentru că observăm aici, aici avem de fapt un raport.

Deci, dacă în loc de a avem, să notăm, c supra b, totul la minus n, cu cât este egal?

Păi, folosim regula care apare aici. Avem 1 supra, deci notăm linie de fracție 1, iar la numitor ce am trecut?

Păi, am trecut numărul care apare aici la exponentul n acum, deci nu la minus n.

Păi, la fel procedăm și aici. Trecem numărul care apare, adică c supra b, c supra b, totul la n, nu la minus n.

Deci, am respectat regula care este dată aici.

Bun, momentan discutăm tot despre numere raționale, c și b numere raționale.

Cum facem acest calcul?

Păi, e foarte ușor. Avem linie de fracție 1 supra, aici ducem exponentul n și la numărător și la numitor.

Deci, vom avea c la n supra b la n și linia principală de fracție este cea care se află în dreptul egalului.

Deci, aceasta, ce facem cu ea?

Pentru că avem fracții suprapuse, o vom scrie ca operație de împărțire.

Deci, egal mai departe cu 1 împărțit la numitor.

Păi, numitorul este această fracție, c la n supra b la n.

Egal mai departe cu 1 înmulțit cu, inversăm acum numărătorul cu numitorul, adică b la n supra c la n.

Deci, rezultatul este b la n supra c la n.

Ce am obținut?

Iată, ce avem aici, adică c supra b totul la minus n este egal de fapt cu, obținem b supra c totul la n.

Deci să notăm, b supra c totul la n, adică, chiar o să scriem și această formă ca să ne învățăm, b la n supra c la n.

Bun, cu alte cuvinte, haideți să facem unul așa fel încât această a doua regulă să se vadă bine.

Când avem un asemenea raport la un exponent negativ, observăm că de fapt inversăm numărătorul cu numitorul, avem b supra c totul la n.

Aceste reguli au rog și în cazul numerelor reale.

Deci dacă a, b și c sunt numere reale, evident toate diferite de zero pentru că observăm că ele apar și la numitor, iar n este un număr natural și el diferit de zero.

Și atunci, haideți să facem acest calcul, 1 supra radical din 2 la minus 3.

Vom folosi această regulă, inversăm numărătorul cu numitorul și exponentul devine număr pozitiv.

Deci, linie de fracție, radical din 2 supra 1, am inversat numărătorul cu numitorul, totul la puterea a treia.

Egal cu, avem radical din 2 la a treia, supra 1 la a treia, aici obținem 1, de fapt ne dă 2 radical din 2.

Haideți să mai facem câteva exerciți în care să aplicăm aceste reguli, 5 supra radical din 3, totul la a patra.

Avem aici un exponent pozitiv, deci nu schimbăm numărătorul cu numitorul, pur și simplu ridicăm la puterea a patra și pe 5 și pe radical din 3.

Deci avem 5 la a patra, supra radical din 3 la a patra și vom obține, 5 la a patra ne dă 625 radical din 3 la a patra,

al putem scrie radical din 3 la a doua, totul la a doua, conform regulilor de calcul cu puteri pentru numere reale și vom avea aici 3 la a doua, adică 9.

Apoi avem 7 supra radical din 12 la minus 1, având un exponent număr negativ inversăm numărătorul cu numitorul, exact ca în această regulă și vom avea linie de fracție radical din 12 supra 7

și ar trebui să scriem aici totul la puterea a întâia, însă nu e niciun mai nevoie, știm că obținem radical din 12 supra 7.

8 supra radical din 5 la minus 2, din nou exponent negativ, acum inversăm numărătorul cu numitorul, cum am făcut mai sus.

Radical din 5 supra 8 totul la a doua și vom avea linie de fracție, acum ridicăm la puterea a doua pe radical din 5 și pe 8 și vom avea, e un calcul simplu, 5 supra 64.

În continuare vom aplica regule de calcul cu puteri, dacă vreți explicații detaliate pentru aceste reguli puteți să urmăriți lecția de la clasa a 7 și să rezolvăm 2 supra radical din 3 totul la a doua înmulțit cu 2 supra radical din 3 totul la a treia.

Avem aici un produs de două puteri care au aceeași bază, cu alte cuvinte vom aplica această regulă, a la m înmulțit cu a la n este egal cu a la m plus n.

Deci copiem baza care este 2 supra radical din 3, avem aceeași bază și adunăm exponenții 2 plus 3, egal mai departe cu linie de fracție 2 supra radical din 3 totul la a cincea, deci vom avea 2 la a cincea supra radical din 3 la a cincea, egal cu,

la numărător avem 32, iar la numitor putem să scriem astfel radical din 3 la a patra o radical din 3, aici dincă obținem nouă radical din 3, acum dacă vrem să fim riguroși amplificăm aici cu radical din 3 și vom obține 32 radical din 3

Haideți să prelungim linia de fracție, deci 32 radical din 3 supra nouă ori 3, adică obținem 27 la numitor.

9 supra radical din 7 la 8 împărțit la 9 supra radical din 7 la 10, avem acum două puteri care au aceeași bază, între ele avem împărțire, care e regula a la m împărțit la a la n este egal cu a la m minus n,

deci vom copia baza care este nouă supra radical din 7 totul la, scădem exponenții adică 8 minus 10 și vom obține nouă supra radical din 7 totul la minus 2, cum procedăm acum?

Fiind un exponent negativ inversăm numărătorul cu numitorul adică radical din 7 supra nouă totul la a doua și haideți să scriem direct radical din 7 la pătrat ne dă 7 nouă la pătrat înseamnă 81 deci 7 supra 81

1 supra radical din 5 la a doua totul la a treia, cu alte cuvinte avem această regulă a la m totul la n ne dă de fapt a la m or n înmulțim cei doi exponenți deci venim aici și notăm că avem

1 supra radical din 5 totul la 2 ori 3, deci va fi egal mai departe cu 1 supra radical din 5 totul la a șasea și vom obține avem 1 la a șasea care ne dă 1 și radical din 5 la a șasea,

cum putem să calculăm foarte rapid această putere? Păi pe șase putem să îl scriem 2 ori 3 deci avem radical din 5 la a doua totul la a treia și e mai potrivit e mai bine să scriem așa decât radical din 5 la a treia totul la a doua pentru că având aici exponentul 2 radicalul dispare deci ne rămâne 5 la a treia care ne dă 125 deci venim și notăm

1 supra 125 alt calcul 1 supra radical din 3 totul la a doua înmulțit cu radical din 27 supra 5 totul la a doua aici nu avem aceeași bază însă ce avem? Același exponent și folosim această regulă când avem un produs de două sau mai multe numere reale și acel produs e ridicat la un

moment atunci ridicăm fiecare factor al produsului la exponentul respectiv adică a la n înmulțit cu b la n și în exerciții uneori ni se dă această formă și ne este de folos aceasta deci vrem să ajungem la această formă alteori cum e la noi e invers ni se dă această formă și e mai simplu să scriem acest calcul folosind această formă adică 1 supra radical din 3 vom înmulți cele două baze

1 supra radical din 3 înmulțit cu radical din 27 supra 5 totul la a doua pentru că observăm că prin înmulțire putem să facem simplificări radical din 3 cu radical din 27 se simplifică prin radical din 3 ne rămâne aici 1 și aici ne rămâne radical din 9 adică 3 și vom avea 3

supra 5 totul la a doua adică 9 supra 25 4 supra radical din 6 la a treia împărțit la 8 supra radical din 6 tot la a treia aceea situație ca mai sus avem același exponent și doar că între putere avem acum operație de împărțire avem și această regulă a împărțit la b totul la n este egal cu a

la n împărțit la b la n mi se dă această formă și vrem să ajungem la aceasta calculăm avem 4 supra radical din 6 împărțit la 8 supra radical din 6 totul la ce putere la puterea comună care este 3 și vom avea aici împărțirea o vom scrie ca înmulțire inversând această fracție adică radical din 6 supra 8

totul la a treia și cât ne dă vom scrie aici simplificăm radical din 6 și radical din 6 prin el însuși ne dă aici 1 și 1 4 și oprim 4 ne dă 1 și 2 deci vom obține 1 supra 2 totul la a treia adică 1 pe 8