Operații cu intervale de numere reale

Să vedem acum ce operații putem face cu intervalele de numere reale.

Și haide să ne amintim ce este un interval.

Avem aici intervalul minus 2, 3 deschis la stânga și închis la dreapta.

Păi un interval este de fapt o mulțime de numere reale.

Fiind o mulțime înseamnă că putem să facem și cu intervale operațiile pe care le-am învățat la mulțimi.

Și avem acest exercițiu.

Vrem să găsim toate numerele reale care sunt mai mici sau egale cu 3 și strict mai mari ca minus 1.

Pentru aceasta ne vom ajuta și de axa numerelor. Iată.

Și am reprezentat aici și unitatea de măsură. Bun.

Vrem să găsim acele numere care sunt în același timp mai mici sau egale cu 3 și strict mai mari ca minus 1.

Păi haideți să reprezentăm pe axă mulțimea acestor numere.

Care sunt numerele mai mici sau egale cu 3?

Și iată. Avem aici numărul 0, 1, 2, 3 este aici.

Numerele mai mici sau egale cu 3 sunt acestea.

Deci vom reprezenta. Aici avem minus infinit și aici 3.

X poate să ia și valoarea 3. Deci de fapt ce am obținut?

Avem un interval nemărginit închis la dreapta.

Avem intervalul minus infinit 3. Bun.

Acum, X trebuie să fie în același timp mai mare strict ca minus 1.

Să-l așezăm pe axă pe minus 1 și să vedem care sunt numerele strict mai mari ca minus 1.

Aici este 0, aici îl avem pe minus 1. Bun.

Numerele strict mai mari ca minus 1 sunt acestea.

Începem de la minus 1 către plus infinit.

Deci haideți să notăm aici plus infinit.

Tot așa am obținut un interval nemărginit.

Însă acum observăm că X nu poate să ia valoarea minus 1.

Deci avem un interval deschis la acest capăt.

Intervalul minus 1 plus infinit.

Păi, numerele reale pe care noi le căutăm trebuie să facă parte din acest interval,

dar și din acesta. Iată, cuvântul și ne arată că între aceste două mulți

ce operație trebuie să facem?

Operația de intersecție.

Intersecția acestor două mulțimi ne va da numerele reale

care fac parte din ambele intervale.

Și haideți să vedem.

Care este intersecția acestor două intervale?

Păi, unde avem pe axă ambele culori, adică și albastru și galben.

Iată, în această zonă.

Aici sunt numerele care fac parte și din acest interval, dar și din acesta.

Și atunci, haideți să notăm.

Avem capetele minus 1 și 3.

Cum este la minus 1?

Păi, minus 1 face parte din acest interval.

Se vede, da?

Însă, minus 1 nu face parte din intervalul reprezentat cu galben.

Avem deschis la minus 1.

Deci, trecem aici interval deschis.

Iar numărul 3 face parte din acest interval.

Avem paranteză pătrată.

Și e clar că face parte și din această mulțime.

Deci, aici punem paranteză pătrată.

De fapt, am respectat parantezele care apar aici.

Avem intervalul deschis, la stânga închis, la dreapta, minus 1, 3.

Să găsim acum toate numerele reale,

care sunt mai mari sau egale cu minus 2 și stric, mai mici ca 6.

Și ele să fie și mai mari sau egale cu 1 și mai mici sau egale cu 7.

Și ne ajutăm și de axa numerelor.

Deci, căutăm numerele reale care verifică ambele relații.

Aici, x trebuie să fie mai mare sau egal cu minus 2 și stric, mai mic ca 6.

Ce avem?

Avem un interval de numere reale, minus 2, 6.

Cum x ia și valoarea minus 2,

înseamnă că avem un interval închis la minus 2 și deschis la 6.

x nu poate să ia valoarea 6.

Aici, x este mai mare sau egal cu 1 și mai mic sau egal cu 7.

Deci, avem intervalul închis, 1, 7.

Bun, cuvântul și.

Ce ne arată?

Ne arată că numerele pe care le căutăm trebuie să facă parte din ambele intervale.

Deci, aici trebuie să intersectăm aceste două intervale.

Cu alte cuvinte, vom face intersectia acestor două mulțimi.

Să vedem acum să trasăm prima mulțime.

Deci, primul interval, minus 2, 6.

Unde e minus 2?

Avem aici minus 1, minus 2.

1, 2, 3, 4, 5, 6 este aici.

Și să trasăm acest interval, minus 2, 6.

Bun.

La minus 2 avem paranteză pătrată.

Este un interval închis la stânga și deschis la dreapta.

Intervalul 1, 7.

Să schimbăm și culorile.

Avem aici 1.

Dacă aici este 6, înseamnă că aici este 7.

Și să trasăm acest, să reprezentăm acest interval.

Bun, avem un interval închis, deci trecem și pe desen.

Care sunt acum numerele reale care verificăm, care fac parte din ambele mulțimi?

Păi, unde avem ambele culori?

Iată, în această zonă.

Și ce capete avem?

Pentru că am obținut tot un interval.

Deci, egal mai departe cu avem 1 și 6.

La 1 avem un interval închis, iar la 6 este interval deschis.

Pentru că, iată, 6 face parte din această mulțime, din acest interval, însă nu face parte din acesta.

De aceea aici am trecut paranteză rotundă.

Deci, am obținut intervalul 1, 6 închis la stânga, deschis la dreapta.

Următorul exemplu.

Să găsim acum toate numerele reale care verifică aceste două relații simultan.

Asta ne arată cuvântul și că trebuie să fie îndeplinite ambele relații.

Deci, x trebuie să fie mai mare strict ca minus 2 și mai mic sau egal cu 1.

Și el trebuie să fie și mai mare sau egal cu 1 și mai mic sau egal cu 4.

Păi, dacă x trebuie să fie în același timp mai mic sau egal cu 1, dar și mai mare sau egal cu 1, ce înseamnă asta?

Înseamnă că x nu poate să ia decât o valoare, x este egal cu 1.

Sigur, acest lucru poate fi foarte ușor observat și folosindu-ne de intersecția intervalelor.

Iată, avem aici intervalul minus 2, 1, deschis la minus 2 și închis la 1.

Și avem aici intervalul închis 1, 4.

Cuvântul și ne arată că trebuie să facem intersecția acestor două intervale.

Și haide să trecem.

Mai întâi, minus 2, 1, aici e minus 1, aici este minus 2, aici este 1.

Deci, haide să trasăm acest interval.

Bun.

Avem aici deschis, iar aici este închis, 1, 4.

Păi, pe 1 deja l-am trecut, 2, 3, 4 îl trecem aici și să trasăm și acest interval.

Avem aici un interval închis.

Păi, ce observăm folosindu-ne chiar de acest desen?

E ușor de văzut că numărul 1 face parte din acest interval, dar tot 1 face parte și din acest interval.

Deci, singurul număr care face parte din ambele intervale este 1.

Venim și notăm egal cu mulțimea formată din elementul 1.

Iată că, în cazul intersecției unor intervale, putem să obținem chiar și mulțimi finite.

Sau putem să avem acest exemplu.

Iată, trebuie să găsim numerele reale care verifică faptul că x este stric mai mare ca minus 2 și mai mic sau egal cu 1,

și în același timp x este stric mai mare ca 1 și mai mic sau egal cu 4.

Păi, ce observăm?

x este mai mic sau egal cu 1 și în același timp și stric mai mare ca 1.

Se poate așa ceva?

Nu.

Aici nu avem soluții, deci putem să notăm că x aparține mulțimii vide.

Dacă ne folosim de intervale, iată, avem intervalul minus 2, 1 exact cum era mai sus, însă aici intervalul s-a schimbat.

Nu mai avem un interval închis, ci el este un interval deschis la stânga.

E clar și din desen că 1 aparține acestui interval, da, avem aici interval închis, însă 1 nu mai aparține și acestui interval.

Deci, intersecția celor două intervale este mulțimea vidă.

Deci, iată, două exemple în care intersecția intervalelor ne-a dat aici o mulțime finită și aici mulțime chiar vidă.

Sau putem să avem acest tip de exercițiu, să determinăm toate numerele reale, astfel încât x să fie strict mai mare ca 3 sau x să fie mai mare sau egal cu minus 2.

Păi, cuvântul sau, ce înseamnă?

Înseamnă că x trebuie să aparțină cel puțin uneia dintre aceste două mulțimii, deci aici vom vorbi de reuniune de intervale.

Dacă x este strict mai mare ca 3, ce interval avem?

Păi, haideți să îl trecem pe 3, avem aici 1, 2, 3.

Numerele mai mari ca 3 sunt poziționate în această parte a axei numerelor.

Deci, x trebuie să fie strict mai mare ca 3, deci obținem un interval nemărginit și deschis la acest capăt.

Avem 3 plus infinit. Bun, notăm aici plus infinit.

x să fie mai mare sau egal cu minus 2, păi îl trecem pe minus 2 aici.

Mai mare sau egal cu minus 2 înseamnă că pornim de la minus 2 și mergem către plus infinit.

Tot așa avem un interval nemărginit, iar acum el este închis la acest capăt.

Intervalul minus 2 plus infinit.

Și să vedem ce obținem.

Deci, noi vrem acele numere reale care aparțin cel puțin uneia dintre aceste două mulțiuni.

Păi, unde pe desen avem măcar o culoare, cel puțin o culoare?

Păi, iată, avem aici, dar avem și aici. Sigur, aici sunt două culori.

Noi știm că vrem să avem cel puțin una, deci și această parte e bună.

Păi, ce obținem? Tot acest interval, minus 2 plus infinit.

Deci, reuniunea acestor două intervale este minus 2 plus infinit.

Era și normal să obținem așa.

De ce anume? Pentru că acest interval este inclus în acesta.

Se vede foarte ușor și pe desen.

Alt exemplu.

Să găsim toate numerele reale.

Pentru care? X este mai mare sau egal cu minus 5 și stric mai mic decât 3?

Sau, X este mai mare stric ca minus 1 și mai mic stric decât 4?

Păi, ce interval avem aici?

Avem minus 5, 3 închis la acest capăt, deschis la acesta.

Cuvântul sau înseamnă că trebuie să facem reuniune pentru între cele două intervale.

Aici avem intervalul deschis, minus 1, 4.

Haideți să le reprezentăm pe axă.

Avem minus 5, 3.

Minus 1, minus 2.

Minus 3, minus 4.

Minus 5 este aici.

Avem 1, 2, 3.

Acesta este intervalul minus 5, 3.

Aici avem închis și aici este deschis.

Minus 1, 4.

Să schimbăm și culoarea.

Aici e minus 1, aici este 4.

Și să-l trasăm.

Minus 1, 4.

Interval deschis.

Bun.

Noi facem reuniune între aceste două intervale.

Deci, vrem să vedem care sunt numerele reale, care sunt în cel puțin unul din aceste două intervale.

Unde avem cel puțin o culoare.

Mă refer la albastru sau la roz.

Păi, iată. Aici avem albastru.

Deci, acest interval ne convine.

Aici avem ambele culori.

Ne convine și acesta.

Aici avem roz. E bun și acesta.

Și atât.

De fapt, ce obținem?

Păi, avem un interval cu capetele minus 5 și 4.

Egal cu minus 5, 4.

Respectăm parantezele.

Aici avem paranteză pătrată.

Deci, avem interval închis la stânga și deschis la dreapta.

Am obținut acest interval.

Sau putem să avem acest tip de exercițiu.

Vrem să reunim intervalul deschis minus 1, 1 cu acest interval.

Păi, iată. Aici avem intervalul minus 1, 1 și aici intervalul 2, 6.

Reuniunea acestor două intervale ne dă chiar intervalul acesta reunit cu acesta.

Prin reuniunea lor nu se obține acum un al treilea interval.

De aceea rezultatul rămâne scris sub această formă.

Sau mai putem să întâlnim un alt tip de exercițiu.

Din acest interval minus 5, 2 pe care iată l-am reprezentat și pe axă,

să scădem două elemente, cele două elemente din această mulțime, 0 și 1.

Păi, iată. Aici este 0 și aici este 1.

Dacă din acest interval scoatem aceste două numere,

atunci ce ne rămâne putem să scriem sub formă de reuniune de intervale.

Vom obține, avem aici, de la minus 5 la 0 avem un interval,

deci minus 5, 0. Evident, la 0 vom trece deschis pentru că l-am scos pe 0 din această mulțime.

Apoi avem intervalul deschis 0, 1, deci reunit cu acest interval deschis 0, 1,

ce conține toate numerele cuprinse între 0 și 1, fără să le luăm în calcul pe 0 sau pe 1.

Și mai avem acest interval deschis 1, 2.