Sisteme de ecuații omogene

Sistemele omogene sunt sisteme în care cele două polinoame conțin doar monoame de același grad. Sistemele omogene au forma generală:

$(S) : \{\begin{cases} a_{1} x^{2} + b_{1} x y + c_{1} y^{2} = d_{1} \\ a_{2} x^{2} + b_{2} x y + c_{2} y^{2} = d_{2} \end{cases}$

Metoda de rezolvare a sistemelor omogene

$C A Z 1 . d_{1} \neq 0 ș i d_{2} \neq 0 .$

Se realizează o combinație a celor două ecuații astfel încât prin adunarea lor să obținem termenul liber egal cu zero.

$\{\begin{cases} a_{1} x^{2} + b_{1} x y + c_{1} y^{2} = d_{1} \cdot α \neq 0 \\ a_{2} x^{2} + b_{2} x y + c_{2} y^{2} = d_{2} \cdot β \neq 0 \end{cases}$

Se adună cele două ecuații, iar ecuația astfel obținută devine a doua ecuație a sistemului. Prima ecuație se copiază. Obținem astfel un sistem echivalent cu sistemul (S), de forma:

$(S `) : \{\begin{cases} a_{1} x^{2} + b_{1} x y + c_{1} y^{2} = d_{1} \\ a_{3} x^{2} + b_{3} x y + c_{3} y^{2} = 0 \end{cases}$

A doua ecuație devine;

$a_{3} x^{2} + b_{3} x y + c_{3} y^{2} = 0 : x^{2} (x \neq 0) \Rightarrow a_{3} + b_{3} \frac{y}{x} + c_{3} {(\frac{y}{x})}^{2} = 0 N o t . \frac{y}{x} = t \Rightarrow a_{3} + b_{3} t + c_{3} t^{2} = 0$

Rezolvăm ecuația de gradul doi obținută.

Dacă nu există soluții reale, atunci sistemul dat nu are soluție.
Dacă avem soluții reale se revine la notația făcută.

$a) △ > 0 \Rightarrow \exists t_{1}, t_{2} \in ℝ, t_{1} \neq t_{2} : \frac{y}{x} = t_{1} \Rightarrow y = t_{1} x ș i \frac{y}{x} = t_{2} \Rightarrow y = t_{2} x b) △ = 0 \Rightarrow \exists t_{1}, t_{2} \in ℝ, t_{1} = t_{2} = t : \frac{y}{x} = t \Rightarrow y = t x$

În ambele situații se continuă cu rezolvarea sistemelor de mai jos (sisteme formate dintr-o ecuație de gradul întâi și o ecuație de gradul doi):

$a) \{\begin{cases} y = t_{1} x \\ a_{1} x^{2} + b_{1} x y + c_{1} y^{2} = d_{1} \end{cases} ș i \{\begin{cases} y = t_{2} x \\ a_{1} x^{2} + b_{1} x y + c_{1} y^{2} = d_{1} \end{cases} b) \{\begin{cases} y = t x \\ a_{1} x^{2} + b_{1} x y + c_{1} y^{2} = d_{1} \end{cases}$

$C A Z 2 . d_{1} = 0 s a u d_{2} = 0 .$

În acest caz obținem un sistem de forma (S') care se rezolvă după algoritmul prezentat mai sus.