Sisteme de ecuații omogene

În această lecție ne vom opri asupra sistemelor de ecuații omogene.

Aceasta se constituie ca o continuare naturală a lecțiilor precedente,

lecții în care am supus atenției voastre ecuația de gradul al doilea

și sisteme constituite cu ecuații de gradul al doilea.

Spun asta întrucât sistemele omogene se mai definesc și ca sisteme

ale căror rezultate sau coloana rezultat, cum îi spunem,

sau coloana termenilor liberte, ce nu, este 0 în întregime.

Un astfel de sistem este de forma, notat S pe mine,

a1x pătrat plus b1xy plus c1y pătrat egal cu d1,

respectiv a doua ecuație, vedeți, tot de gradul al doilea,

a2x pătrat plus b2xy plus c2y pătrat egal cu d2.

Sistemul S, vă spuneam, l-am notat cu S acest sistem,

se numește omogen deoarece atât primul cât și cel de-al doilea polinom al sistemului

conțin doar monoame de același grad.

Când spun polinom, mă refer la partea stângă.

Dacă vorbesc de egalitate, vorbesc, practic, de ecuație,

așa cum vă spuneam, în cazul meu, ecuații de gradul al doilea.

Monoamele a1x pătrat și a2x pătrat au același grad 2,

la fel și monoamele b1xy, respectiv b2xy.

Gradul întâi are x-ul, gradul întâi are y-ul,

astfel că, prin înmulțire, ele vor duce la același grad 2.

Și c1y pătrat, respectiv c2y pătrat,

au, în egală măsură, gradul al doilea.

Presupunem, pentru început, că termenii liberi a ecuațiilor sistemului

sunt diferiți de 0, adică d1 și d2.

Aceștia sunt termenii liberi.

În aceste condiții există numerele reale alfa și beta

diferite de 0, astfel încât alfa d1 plus beta d2 egal cu 0.

De exemplu, dacă alfa ar fi egal cu 1, evident, e diferit de 0,

beta ar fi minus d1 supra d2,

care, în mod evident, este diferit de 0,

în condițiile în care, așa cum vă spuneam, am presupus că d1, respectiv d2,

sunt diferite de 0.

Algoritmul de rezolvare, acest algoritm, este, practic, o dispunere pe pași

a modalității de rezolvare a sistemelor de ecuații omogene,

sisteme pe care, în această lecție, vi le supun atenție.

Se înmulțește prima ecuație a sistemului cu alfa.

De ce? Ca să obțin alfa d1.

Se înmulțește a doua ecuație a sistemului cu beta.

De ce? Ca să obțin beta d2.

Încă o dată vă arăt.

Prima ecuație a sistemului are termen liber d1.

Deci, când îl înmulțesc cu alfa, voi obține alfa d1.

A doua ecuație a sistemului are termen liber d2.

Când îl înmulțesc cu beta, voi obține beta d2.

Și atunci, inevitabil,

etapa următoare sau pasul următor de urmat

este ca ecuațiile echivalente obținute să se adune

ca să obținem această relație de care comentam.

Ecuația obținută la pasul trecut devine a doua ecuație a sistemului,

prima ecuație a sistemului fiind copiată.

Se obține astfel un sistem echivalent cu sistemul inițial dat,

sistemul notat de noi S.

Astfel, așa cum vă spuneam, se înmulțește cu alfa, se înmulțește cu beta.

Alfa înmulțit cu această ecuație

se înmulțește cu toți termenii ecuației,

practic monoamele conținute în ecuație.

Și atunci am alfa a1x²

plus alfa b1xy

plus alfa c1y²

egal, așa cum spuneam, alfa d1

pe același principiu și beta.

După cum spuneam, acestea trebuiesc adunate.

În acest caz, prima ecuație, așa cum am spus,

se copiază, da?

a1x² b1xy plus c1y²

egal cu d1.

Cea de-a doua ecuație, spuneam, devine

ecuația echivalentă

obținută prin adunarea celor două ecuații.

Astfel, coefficientul x² va fi

alfa a1 plus beta a2,

coefficientul xy va fi

alfa b1 plus beta b2,

respectiv, coefficientul y² va fi

alfa c1 plus beta c2.

Pentru o cât mai bună vizualizare

și înțelegere a algorimului,

voi nota în continuare coeficienții comentații

cu a3, b3, respectiv c3.

Astfel, sistemul nostru devine

sistemul echivalent notat de mine cu S'

și anume a1x² b1xy c1y²

egal cu d1,

respectiv, după notație,

a3x² b3xy

respectiv c3y².

Ce mă avantajează în toată povestea asta

este că, la acest moment, am obținut

rezultatul

ecuației 2 a sistemului 0

și aceasta îmi permite să trec la următoarea

etapă a rezolvării sistemului.

Astfel că, în condițiile în care am presupus

de la început că d1 este diferit de 0,

x egal cu 0, respectiv, y egal cu 0,

nu poate să fie soluția sistemului.

Astfel, putem presupune în continuare

că x este diferit de 0.

În aceste condiții, pot trece la împărțirea

ecuației 2, cea la care am obținut rezultatul 0,

așa cum mi-am și propus,

prin x². Astfel obțin

a3 coefficientul,

x² supra x²

plus b3 coefficientul xy

și atunci xy supra x²

respectiv c3y² supra x²

egal cu 0 supra x².

Ecoația nou obținută este a3

plus b3ypx plus c3ypx

totul la pătrat. Observați gradele, da?

Sunt 2 în ambele cazuri,

pentru care pot să scriu ca fracție

totul la a doua.

În aceste condiții vom nota

y supra x egal cu t,

t fiind o valoare reală, și

ecoația mea să devină c3

t pătrat plus b3

t plus a3 egal cu 0.

Aceasta este o ecoație de gradul al doilea cu coi

cinci de ani, ecoație ce poate fi

rezolvată fără discunzii.

După rezolvarea ecoației se pot obține

trei categorii de rădăcini,

după cum bine cunoașteți, și anume

a, pot să am rădăcini reale și distinte,

deci t1 diferit de t2 real,

pot să am rădăcini reale și egale, adică

t1 egal cu t2 reale,

respectiv rădăcini complexe, evident,

nu sunt reale.

Atunci când vorbim de situațiile a și b,

situații în care t1 și t2

sunt reale, revenim la notația

făcută, notația de aici, cea în care

y supra x era egal cu t, în cazul

c, când nu am rădăcini reale,

sistemul nu admite soluții reale și atunci

nu va face subiectul lecției

în cauza. Atunci când

ecuația, așa cum spuneam, are

rădăcini reale, se revine la substituție

după caz. În cazul a mic,

da, y

pe x devine t1 și atunci

în primă fază y va fi t1 x

și y pe x egal cu t2

în caz în care y va fi t2

x. În cazul b, când vorbeam

de rădăcini egale, y pe x egal cu

t1 sau t2, tot aia e,

înțelegând din asta că y va deveni t1 x.

În ambele situații

în care, așa cum spuneam, rădăcinile sunt reale,

se continuă rezolvarea sistemului

S, sistemul inițial, cu

pentru situația S1, y

egal cu t1 x, deci pe situația

asta, și a doua ecoație a sistemului

este, de fapt, prima și foarte important

a doua situație, când y pe x

era t2, deci y egal cu t2 x

și, așa cum spuneam, prima ecoație

a sistemului devine, în acest moment, a doua

ecoație a sistemului, a1 x pătrat plus b1

xy plus c1 y pătrat

egal cu d1. Pe situația b,

S1 este y egal cu t1 x

și prima ecoație a sistemului.

Astfel,

după ce am revenit la

substituție și am obținut aceste sisteme

S1, S2,

înțeleg că găsesc sisteme

ce conțin o ecoație de gradul 1 și una de gradul

al 2. Astfel de sisteme se pot rezolva

în condițiile în care, în lecția precedentă,

au fost discutate.

La începutul acestei lecții, și mai clar,

înaintea descrierii algoritmului de rezolvare,

am presupus că d1 și d2 sunt nenuri.

Vă arătam eu, sau vă exprimam, că d1 diferit de 0,

respectiv d2 diferit de 0.

Trebuie specificat că, în situația în care

d1 sau d2 sunt nuri,

sistemul S, sistemul inițial,

va avea forma S'. În acest caz,

algoritmul de rezolvare este cel expus în lecție

de la momentul în care s-a obținut forma echivalentă

a sistemului S.

Pentru o mai bună înțelegere a algoritmului de rezolvare,

propun în continuare

câteva exemple și, mai clar, două exemple.

Astfel, exemplul 1. Să se rezolve

sistemul de ecuații.

x² plus 3xy plus y²

egal cu minus 2, respectiv

xy plus y² egal cu 4.

Deci, așa cum vedeți, ambele ecuații sunt

de gradul al doilea. În egală măsură,

ar trebui să observați în această situație

că d1 teoretic este minus 2,

d2 teoretic este 4, ambele variabile

fiind diferite de 0.

Pentru rezolvarea acestui sistem

este necesar să parcurgem

vașii aferenței algoritmului mai sus prezentate.

Așa cum spuneam, valoarea

d1 teoretică este minus 2,

valoarea d2 teoretică este 4.

În acest caz, se mulțește ecuația 1

a sistemului cu 2 și se adună la cea de-a doua ecuație.

Astfel, ecuația 1 a sistemului

devine 2x pătrat

plus 6xy plus 2y pătrat

egal cu minus 4.

Spuneam că cele două ecuații se vor aduna

obținându-se astfel, 2x pătrat

ar fi plus 0, nu am x pătrat aici,

plus 7xy

plus 3y pătrat

egal cu 0.

Ecuația 1 obținută anterior se rezolvă după cum urmează.

Trebuia să împărțim la x pătrat.

Astfel, ecuația 2x pătrat plus 7xy plus 3y pătrat

egal cu 0

devine 2x pătrat supra x pătrat

plus 7xy supra x pătrat

plus 3y pătrat supra x pătrat.

Astfel,

3y supra x totul la pătrat

plus 7y supra x

plus 2 egal cu 0.

Pentru rezolvarea ecuației obținute, este indicat să notăm

acel y pe x egal cu t, t fiind o valoare reală.

Astfel, obținem

ecuația 3t pătrat plus 7t

plus 2 egal cu 0.

Delta

de pătrat minus 4ac

calculat 25

este pozitiv, din urmare

t1 și t2 sunt diferiți.

Folosind formula minus b plus minus radical din delta supra 2a

prin simpla înlocuire obținem

t1 egal cu minus 2

respectiv t2 egal cu minus 1 supra 3.

Așa cum spuneam, confort teorii

după obținerea valorilor reale t1 și t2

este obligatoriu

să revenim la notația făcută.

Astfel, notația făcută

era y pe x egal cu t.

Astfel, y pe x va fi egal cu minus 2

deci prima soluție obținută

respectiv y pe x egal cu minus 1

supra 3. Spuneam, cea de-a doua ecuație

a sistemului devine practic

o ecuație a sistemului, în cazul meu

ecuația a doua

și anume xy plus y pătrat egal cu 4

respectiv în a doua situație

xy plus y pătrat egal cu 4.

Astfel, y egal cu minus 2x

xy plus y pătrat egal cu 4

x în loc de y

minus 2x plus

în loc de y minus 2x de data aceasta la pătrat

egal cu 4. Și anume

minus 2x pătrat

orice la puterea a doua are semnul plus

indiferent de semn, deci 4x pătrat egal cu 4

înțelegând 2x pătrat egal cu 4

ceea ce, fără doar și poate, duce

la obținerea soluției x egal cu plus

minus radical din 2.

Prin simpla înlocuire se determină

și y la acest moment, obținând doar x.

Astfel că y va fi minus 2

plus minus radical din 2.

Prima soluție a sistemului este y egal cu

minus 2 radical din 2 pentru x

egal cu radical din 2 și y egal cu

2 radical din 2. Cel de-al doilea

sistem, sistemul notat de mine cu b

a doua ecoație xy plus y

pătrat egal cu 4, așa cum spuneam

prin substituție, deci înlocuirea efectiva

lui x cu minus 3y

ajunge la relația y pătrat

egal cu minus 2. Soluțiile în acest

caz nu sunt reale, pentru că în R

nu poți să obții

o valoare negativă pentru ce va ridicat

la pătrat. Sistemul în cazul nostru

va avea doar soluțiile

x egal cu radical din 2 cu y egal cu

minus 2 radical din 2 și x egal

cu minus radical din 2 cu y egal cu

2 radical din 2, soluții reale

ale sistemului.

În continuare, un al doilea exemplu

pe care vi-l propun atenție este

2x pătrat plus 3xy plus y

pătrat egal cu 0, respectiv

xy plus y pătrat egal cu

0. În acest caz

d1 și d2 sunt nuli. Acest

fapt face ca sistemul să fie mai ușor de rezolvat

și nu mai este cazul

sau nu mai este necesar să mulțim ecoații

cu constante nenule, astfel încât

după aceea să adunăm și să obținem

acei termeni liberi nuli.

Astfel, în cazul nostru, putem trece

direct la algoritmul de rezolvare

de la etapa în care

termenul liber ar fi fost obținut 0 prin calcul.

Împărțim așa cum

bine știți, prin x pătrat, obținem

2x pătrat supra x pătrat, 3xy

supra x pătrat, y pătrat supra x pătrat

egal cu 0. După simplificare

se obține 2 plus 3

lângă y pe x

plus y pe x totul la fel. Obținem ecoația

t pătrat plus 3t plus 2

egal cu 0. Ecoația aici este rezolvată.

Delta obținut este pozitiv. Iar înțeleg

t1, t2 reale diferite.

Astfel, t1 va fi minus 2

respectiv t2 minus 1. Așa cum

am reținut. Revenim la notație.

Cazul 1 va fi cel în care

y supra x egal cu minus 2

Cazul 2 va fi acela în care y supra x

va fi egal cu minus 1.

Cea de-a doua, ecoația sistemului xy plus

y pătrat egal cu 0

devine și este în continuare a doua

ecoație a sistemului. În aceeași ordine

de idei, sistemul a mic, sistemul

b mic, sisteme ce urmează

a fi calculate separat.

Astfel, sistemul a

este sistemul

y egal cu minus 2x. Prima ecoație

xy plus y pătrat egal cu 0

substituția făcută

și anume x în loc de y minus 2x

plus minus 2x totul la pătrat egal cu 0

obținem astfel 2x pătrat

egal cu 0. Moment în care

fără discuții, x-ul ar trebui să fie

0. Dar atunci când x-ul

este 0, nu se poate accepta

ca soluție, deoarece fracția

y pe x nu ar avea sens. Gândiți-vă

să aveți ceva pe 0.

Pentru care x egal cu 0 obținut din calcul

nu este acceptat sau nu poate fi

soluție a sistemului.

Sistemul b, sistemul în care y

egal cu minus x, respectiv xy plus

y pătrat egal cu 0, prin acea

metodă de substituție, deci prin înlocuirea

lui y egal cu minus x în cea de-a doua

ecuație, conduce la o relație

adevărată într-o infinitate

de cazuri sau o așa numită

identitate adevărată.

Moment în care 0 egal cu 0

spuneam identitate adevărată, atrage de la sine

că sistemul admite o

infinitate de soluții reale

de formă x egal cu k

iar y egal cu minus

k.

Deci, soluție infinită

a sistemului va fi x egal cu k, y egal cu

minus k, unde k este o valoare

reală.