Ecuații exponențiale

O ecuație exponențială este o ecuație care are necunoscută la exponent.

În rezolvarea ecuațiilor exponențiale vom ține cont de faptul că funcția exponențială este injectivă

și astfel două puteri egale cu aceeași bază vor avea exponenții egali.

Prima ecuație, 7 la puterea 2x plus 9, egal cu 7 la minus 5.

Vom egala exponenții și obținem 2x plus 9, egal cu minus 5.

2x egal cu minus 14, x egal cu minus 7.

Soluția ecuației este mulțimea formată din elementul minus 7.

Următoarea ecuație exponențială, 3 la puterea x pătrat înmulțit cu 1 supra 3 la 2x, egal cu 27.

Când avem puteri cu baze diferite, încercăm să le aducem la aceeași bază.

3 la x pătrat ori 1 supra 3 este egal cu 3 la minus 1

și pentru că avem aici 2x, vom avea 3 la minus 2x, egal.

27 se poate scrie 3 la a treia.

Aici folosim proprietăți ale puterilor.

Atunci când înmulțim două puteri cu aceeași bază, exponenții se adună.

Vom avea 3 la x pătrat minus 2x, egal cu 3 la a treia.

Acum egalăm exponenții, x la a doua minus 2x, egal cu 3.

Obținem ecuația de gradul al doilea, x la a doua minus 2x minus 3, egal cu 0.

Delta este egal cu 4 minus 4 ori minus 3, egal cu 16.

x1 este 2 plus 4 supra 2 și egal cu 3

și x2 este egal cu 2 minus 4 supra 2, egal cu minus 1.

Soluția acestei ecuații este mulțimea formată din elementele 3 și minus 1.

Următoarea ecuație exponențială

8 la puterea radical din x plus 2, egal cu 16 ori 2 la puterea 2 radical din x plus 2.

Având în vedere că necunoscuta este subradical de ori din par,

va trebui să punem condiții de existență.

Vom pune condiția ca x plus 2 să fie mai mare sau egal cu 0.

Radicalii de ori din par există doar din valori pozitive.

Obținem x mai mare sau egal cu minus 2.

Așadar, domeniul de existență acestei ecuații va fi intervalul minus 2 plus infinit.

După ce obținem soluția, va trebui să verificăm

dacă această soluție aparține intervalului minus 2 plus infinit.

O să-l scriem pe 8 și pe 16 ca puteri ale lui 2.

8 este 2 la a 3-a și totul la puterea radical din x plus 2,

egal 16 este 2 la a 4-a înmulțit cu 2 la puterea 2 radical din x plus 2.

2 la puterea 3 radical din x plus 2,

egal cu 2 la puterea 4 plus 2 radical din x plus 2.

Avem două puteri cu aceeași bază.

Egalăm exponenții.

3 radical din x plus 2,

egal cu 4 plus 2 radical din x plus 2.

Trecem acest radical în primul membru.

3 radical din x plus 2 minus 2 radical din x plus 2 va fi radical din x plus 2,

egal cu 4.

Ridicăm egalitatea la pătrat

și obținem x plus 2 egal cu 16,

de unde x este egal cu 14.

Această valoare aparține domeniului de existență.

În consecință, soluția este numărul 14.

Următoare ecuație exponențială.

2 la puterea 2x plus 1 minus 3 ori 2 la x plus 1 egal cu 0.

2 la puterea 2x plus 1 se poate scrie 2 ori 2 la 2x minus 3 ori 2 la x plus 1 egal cu 0.

2 ori 2 la puterea 2x se poate scrie 2 la x totul la a doua minus 3 ori 2 la x plus 1 egal cu 0.

În continuare vom face o substituție.

Vom nota 2 la x cu t.

Obținem 2t pătrat minus 3t plus 1 egal cu 0.

Am obținut astfel o ecuație de gradul al doilea cunecunoscutate.

Delta este egal cu 9 minus 4 ori 2 și egal cu 1.

T1 este egal cu 3 plus 1 supra 4 egal cu 1.

T2 este egal cu 3 minus 1 supra 4 egal cu 1 pe 2.

Revenim la notația făcută și avem 2 la x egal cu 1.

Obținem 2 la x egal 1 se poate scrie 2 la 0.

În consecință x egal cu 0.

Aceasta este prima soluție.

Și 2 la x egal cu 1 pe 2.

Avem 2 la x egal cu 2 la minus 1 pentru că 1 pe 2 este 2 la minus 1.

Egalăm exponenții și obținem x egal cu minus 1.

Soluția ecuației exponențiale este mulțimea formată din elementele 0 și minus 1.

Următoarea ecuație exponențială.

Nu întotdeauna putem face substituție în forma în care este dată ecuația inițial.

Așadar uneori este nevoie să facem câțiva pași intermediari.

Pentru această ecuație exponențială vom împărți ambii membri a egalității cu 9 la x.

Același rezultat se obține și dacă împărțim egalitatea cu 6 la x sau cu 4 la x.

Ideea este să eliminăm una din exponențiale și apoi să facem o substituție.

Vom avea 6 supra 9 totul la x plus 3 ori 4 pe 9 totul la x egal cu 2.

6 pe 9 este egal cu 2 supra 3 pentru că am simplificat cu 3.

2 pe 3 la x plus 3 ori.

4 pe 9 este 2 pe 3 totul la a doua.

Și pentru că mai avem aici un x, vom avea 2 pe 3 la 2x egal cu 2.

Vom face următoarea substituție.

Notăm 2 supra 3 la x cu t.

Obținem din nou o ecuație de gradul al doilea.

3t pătrat plus t minus 2 egal cu 0.

Delta este egal cu 1 minus 4 ori 3 ori minus 2

și egal cu 25.

t1 egal cu minus 1 plus 5 supra 6

egal cu 2 pe 3

iar t2 este egal cu minus 1 minus 5 supra 6

egal cu minus 1.

Dacă 2 supra 3 la x este egal cu t

înseamnă că t trebuie obligatoriu să fie strict mai mare ca 0

pentru că exponențiala ia doar valori pozitive.

Așadar, dintre cele două soluții pe care le-am obținut,

vom reține doar soluția pozitivă.

Revenim la notația inițială și avem 2 pe 3

la x egal cu 2 pe 3

de unde se obține x egal cu 1.

Aceasta este soluția ecuației exponențiale.

Următoarea ecuație

Avem ecuația 2 la puterea 2x

ori 3 la x minus 2 ori 5 la x plus 1 egal cu 9.

Observăm că aici nu putem aduce puterile la aceeași bază

și atunci logaritmăm ambii membri a ecuației

într-o bază convenabilă.

De exemplu, putem logaritma în baza 10

și vom avea logaritm decimal

din 2 la 2x

ori 3 la x minus 2

ori 5 la x plus 1

egal cu logaritm decimal din 9.

Vă reamintesc câteva proprietăți ale logaritmilor.

Dacă avem logaritm decimal din a la n

acesta va fi egal cu n logaritm decimal din a

deci exponentul trece în fața logaritmului

iar logaritmul unui produs

logaritm decimal din a ori b ori c

va fi egal cu suma logaritmilor

logaritm decimal din a plus logaritm decimal din b

plus logaritm decimal din c.

De asemenea, dacă avem o diferență de forma

logaritm decimal din a minus logaritm decimal din b

aceasta se poate restringe sub forma logaritm

din a supra b.

Aceste trei formule le vom aplica în continuare.

Așa cum spuneam, avem logaritmul unui produs

care se poate scrie sub forma unei sume de logaritm

și avem logaritm decimal din 2 la 2x

plus logaritm decimal din 3 la x minus 2

plus logaritm decimal din 5 la x plus 1

egal cu logaritm decimal din 9.

Exponentul se scrie în fața logaritmului

2x logaritm decimal din 2

plus x minus 2 logaritm decimal din 3

plus x plus 1 logaritm decimal din 5

egal cu logaritm decimal din 9.

Vom desface aici parantezele.

Avem 2x logaritm decimal din 2

plus x logaritm din 3 minus 2 logaritm din 3

plus x logaritm decimal din 5

plus x logaritm decimal din 5

egal cu logaritm decimal din 9.

În continuare subliniem termenii care îl conțin pe x

pentru a-l da factor comun

și vom avea x pe lângă.

2x logaritm decimal din 2 plus x logaritm decimal din 3

plus x logaritm decimal din 5

este egal cu logaritm decimal din 9

plus 2 logaritm decimal din 3 minus x logaritm decimal din 5

2x logaritm decimal din 2

este egal cu logaritm decimal din 2 la a doua

adică logaritm decimal din 4

2x logaritm decimal din 3

este egal cu logaritm decimal din 3 la a doua

adică logaritm decimal din 9

vom avea x ori logaritm decimal

aici restrângem suma logaritmilor sub forma logaritmului unui produs

4 ori 3 este 12 ori 5 este 60 egal

logaritm din 9 plus logaritm din 9 este egal cu logaritm din 9 ori 9

adică logaritm din 81

și pentru că avem în continuare minus logaritm din 5 aplicăm această formulă

și obținem logaritm decimal din 81 supra 5

de aici se obține x egal cu logaritm decimal din 81 pe 5

supra logaritm decimal din 60

aceasta este soluția ecuației exponențiale

și ultima ecuație

3 la x minus 2 supra 7 la x egal cu 19 supra 7

pentru a rezolva acest tip de ecuații exponențiale

vom ghici soluția și apoi demonstrăm unicitatea acestea

pe baza injectivității funcției exponențiale

așadar haideți să dăm valorul x

pentru a verifica care dintre acestea va fi soluție a ecuației date

dacă x este egal cu 0

orice număr ridicat la puterea 0 este 1

avem 1 minus 1

egal cu 19 supra 7, fals

dacă x este egal cu 1

avem 3 minus 2 pe 7

egal cu 19 supra 7

amplificăm cu 7

3 ori 7, 21

minus 2, 19 pe 7

am obținut astfel că x egal cu 1

este soluția ecuației date

și acum putem demonstra unicitatea acesteia

pe baza injectivității acestei funcții

notăm funcția aceasta cu f de x

fie f de x

egal cu 3 la x minus

2 pe 7

la puterea x

aceasta este o funcție strict crescătoare

dacă notez cu g de x

funcția 3 la puterea x

aceasta este o funcție

exponențială cu baza supraunitară

deci este strict crescătoare

dacă notez cu h de x

funcția minus

2 supra 7 la x

2 supra 7 la x

este funcție exponențială

cu baza subunitară și este o funcție

strict descrescătoare

însă atunci când înmulțim

această funcție strict descrescătoare

cu un număr negativ

se obține o funcție strict crescătoare

întotdeauna înmulțirea

unei funcții monotone

cu un număr negativ

va schimba monotonia

dacă funcțiile g și h

sunt strict crescătoare

înseamnă că funcția f de x

fiind suma funcțiilor

g de x și h de x

va fi și această o funcție

strict crescătoare

iar o funcție strict monotonă

este injectivă

rezultă f injectivă

înseamnă că soluția pe care

am obținut-o x

egal cu 1

este soluție unică