Inecuații de gradul II

Forma generală a inecuațiilor de gradul doi este:

$a x^{2} + b x + c > 0 a x^{2} + b x + c \geq 0 a x^{2} + b x + c < 0 a x^{2} + b x + c ⩽ 0, u n d e a, b, c \in ℝ, a \neq 0 .$

Rezolvarea inecuațiilor de gradul doi este o consecință imediată a semnului funcțiilor de gradul doi. Fie

$f : ℝ \to ℝ, f (x) = a x^{2} + b x + c = 0, a, b, c \in ℝ, a \neq 0 .$

Semnul funcției de gradul doi se stabilește în funcție de semnul discriminantului și semnul lui a, astfel:

$1 . △ > 0 \Rightarrow \exists x_{1}, x_{2} \in ℝ, x_{1} < x_{2}$

Funcția f are semnul lui a în afara rădăcinilor și semn contrar lui a între rădăcini. În consecință,

$∙ f a r e s e m n u l l u i a p e (- \infty, x_{1}) \cup (x_{2}, + \infty) ∙ f a r e s e m n c o n t r a r l u i a p e (x_{1}, x_{2}) .$

$2 . △ = 0 \Rightarrow \exists x_{1}, x_{2} \in ℝ, x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}$

Funcția f are semnul lui a pe $ℝ - \{- \frac{b}{2 a}\} .$

$3 . △ < 0 \Rightarrow n u e x i s t ă r ă d ă c i n i r e a l e$

Funcția f are semnul lui a pe $ℝ .$

se rezolvă ecuația de gradul doi corespunzătoare inecuației date;
se evidențiază semnul lui a;
se stabilește în care dintre situațiile teoretice ne aflăm în raport cu delta;
se stabilește mulțimea soluțiilor inecuației.