Inecuații de gradul II

În această lecție ne vom opri asupra inequațiilor de gradul al doilea. Forma generală a acestor tipuri de inequații este ax pătrat plus bx plus c mai mare decât 0, mai mare sau egal decât 0, mai mic decât 0, respectiv mai mic sau egal decât 0, cu, evident, a, b și c, coeficienți reale.

Rezolvarea inequațiilor de gradul al doilea este o consecință imediată a studiului semnului funcției de gradul al doilea. Astfel, pentru o funcție de gradul doi, fdx egal cu ax pătrat plus bx plus c, cu a, b și c real, se distingeau următoarele situații teoretice.

Prima situație. Atunci când delta era pozitiv, fdx va avea sau avea semnul lui a pe intervalul minus infinit x1 reunit cu x2 plus infinit. Respectiv, fdx are semn contrar lui a pe intervalul x1, x2.

Mai mult decât atât, la vremea respectivă, vă explicam că în exteriorul rădăcinilor vorbim de semnul lui a, iar în interiorul rădăcinilor vorbim de semnul contrar lui a.

A doua situație teoretică. Delta era egal cu 0. În cazul acesta, fdx avea semnul lui a. Pentru a pozitiv, fdx era mai mare sau egal ca 0. Vă reamintesc că ținea apă cum ne exprimăm și atingea axa într-un singur punct, acela fiind rădăcina x1 care coincidea cu x2.

Dacă a era negativ, fdx era mai mic sau egal decât 0. Atunci când delta este negativ, nu avem rădăcii reale, adică nu atingea axa, nu intersecta deloc axa OX, pentru care fdx avea semnul lui a.

Astfel că pentru a pozitiv, fdx era strict mai mare decât 0. Vă spuneam, nu atingea axa OX. Respectiv, pentru a negativ, fdx era negativ.

În aceste condiții, o inequatie de gradul al doilea poate fi rezolvată astfel. În prima etapă se rezolvă equația de gradul 2, corespunzătoare inequăției date. În a doua etapă se evidențiază semnul lui a pentru că acesta este hotărător.

În a alege ce dorim să alegem în raport cu inequăția ce ne este dată spre rezolvare, se stabilește în care din situațiile teoretice ne aflăm în raport cu delta. Vă spuneam, putem să fim în situația A când delta era pozitiv, când delta era egal cu 0, situația B, respectiv situația C când delta era mai mic decât 0.

În ultima etapă se stabilește care este mulțimea soluțiilor inequății în raport de semnul pe care inequăția îl are, respectiv mai mare, mai mic, mai mic sau egal, respectiv mai mare sau egal.

Un exemplu și anume ax pătrat plus bx plus c mai mare sau egal cu 0. Spuneam, prima etapă este să scoatem equația corespunzătoare inequăției date. Dacă delta este pozitiv, x1 diferit de x2 real.

În situația în care A ar fi pozitiv, deci are plus, între rădăcini am semnul minus, în afara rădăcinilor am semnul plus. În cazul în care A este negativ, deci clar are semnul minus, între rădăcini am semn contrar, adică plus, în afara rădăcinilor am semnul lui A, în cazul meu minus.

Cum? In equația noastră conține mai mare sau egal? Înseamnă că mă va interesa semnul plus. Și atunci, dacă A este pozitiv, mă interesează aici, deci x va aparține în afara rădăcinilor.

Pentru care x aparține minus infinit x1 reunit cu x2 plus infinit. Observați că intervalul este închis datorită egalului. Dacă A este negativ, sunt pe situația A negativ. Cum mă interesa plus? Mă interesa aici. Și atunci vorbim între rădăcini. Deci x va aparține lui x1, x2.

Pe situația B, teoretică, aș avea delta egal cu 0. Înțeleg din asta că x1 egal cu x2. Dacă A este pozitiv, am semnul plus. Dacă A este negativ, înțeleg minus. Va avea și în equația semnul minus.

În equația, în cazul meu, așa cum spuneam, e cu mai mare sau egal, mă interesează în egală măsură plusul și atunci mă va interesa această situație pentru A pozitiv, adică x aparține lui r. Dacă A este negativ, x-ul nu aparține lui r decât în situația în care vorbim de x1.

Ultima situație teoretică. Dacă delta este mai mic decât 0 și, evident, nu are soluții reale, dacă A este pozitiv, atunci am semnul plus. Dacă A este negativ, atunci am semnul minus.

În equație are mai mare sau egal. Asta înseamnă că mă interesează plusul, deci mă va interesa situația 1 discutată, astfel că, dacă A este pozitiv, vorbim de x real. Dacă A este negativ, x nu aparține lui r.

Practic, nu am soluții reale. De ce? Pentru că mă interesează plus și pe A negativ nu am decât minus. Pentru o mai bună înțelegere a modalității de rezolvare, propun în continuare câteva exemple.

1. Să se rezolve inequația x pătrat minus 3x plus 2 mai mare ca 0. În prima etapă se scoate ecuația aferentă în ecuație ideală. Astfel, x pătrat minus 3x plus 2 egal cu 0.

2. Delta calculat, valoarea lui este 1, este pozitivă, rătăcinile sunt reale și distinte, motiv pentru care, din calcul, x1 îmi dă 1, x2 îmi dă 2.

3. Pentru a egal cu 1, înțeleg că semnul lui A, deci A coeficientului x pătrat, este plus. Asta înseamnă că pe intervalul 1-2, adică între rădăcini, va avea semn contrar lui A, cum el este plus, va avea minus.

4. Pe intervalul minus infinit 1, reunit cu 2 plus infinit, avem semnul lui A, în cazul nostru plus. În ecuația data are semnul mai mare, după cum se vede aici.

5. În sensul acesta, mă va interesa semnul plus. Și atunci mă uit la ce am gândit pe parcursul rezolvării. Plus am pe situația în care sunt în afara rădăcinii.

Concluzia clară este că x aparține lui minus infinit 1, reunit cu 2 plus infinit. Observați intervale deschise, întrucât am mai mare strid. Dacă aș fi avut și egal, aveam interval închis la 1, interval închis la 2.

6. Matematic, redactarea acestei rezolvări se face astfel. x pătra minus 3x plus 2 mai mare ca 0, ecuația de gradul 2, delta e 1, așa cum l-am calculat, x1 respectiv x2, determinați 1 respectiv 2.

7. Pentru că a e egal cu 1, e mai mare ca 0, deci are semnul plus. Pentru că inequația mea conține mai mare, înseamnă că mă va intersa tot plus. Plus și plus înseamnă același semn. Deci, la același semn, vorbim în afara rădăcinilor, în condițiile în care delta este mai mare ca 0.

8. Astfel, soluția problemei mele este x aparțin intervalului minus infinit 1 reunit cu 2 plus infinit.

9. Un al doilea exemplu pe care vi-l propun atenție este 2x pătrat plus x mai mic sau egal decât 1. Se trece unul în partea cealaltă cu semn schimbat, deci în partea stângă, înțelegând de aici că voi avea 2x pătrat plus x minus 1 mai mic sau egal decât 0.

10. În acest caz, ecuația de gradul al doilea ce urmează a fi rezolvată e 2x pătrat plus x minus 1 egal 0. Delta este 1 plus 8, e 4, ori minus 1, ori 2, deci e plus 8. Delta este 9. Iar spun, delta pozitiv. Rădăcinile sunt reale și distinte, conform calculului minus 1, respectiv 1 pe 2.

11. În acest moment, gândesc, a e 2, deci e pozitiv. Înțeleg că am semnul plus. In ecuația noastră este 2x pătrat plus x minus 1 mai mic sau egal decât 0. Dacă văd mai mic sau egal, înțeleg că mă interesează semnul minus.

Și atunci, plus și minus sunt semne diferite sau semne contrare. Înțeleg din faptul că delta este mai mare ca 0 că semne contrare am în interiorul rădăcinilor.

Concluzia clară este că x aparține intervalului minus 1, 1 pe 2. Iarvin și spun că, din cauza faptului că am și egal, intervalul nostru este închis. Dacă aș fi avut strict, intervalul soluțiilor ar fi fost deschis.

Un al treilea și ultim exemplu este să se rezolve în ecuația x minus 1 la pătrat mai mare decât 2x minus 3. Confort formulei de calcul prescurtat, obțin x pătrat minus 2x plus 1 mai mare decât 2x minus 3.

Se trec termenii din dreapta în stânga cu evident semn schimbat și obțin x pătrat minus 4x, deci minus 2x minus 2x trece cu semn schimbat plus 4, adică 1 minus 3 trece cu semn schimbat plus 3, deci plus 4 mai mare decât 0.

Ecoația corespunzătoare va fi x pătrat minus 4x plus 4 egal 0. Ecoație pe care, dacă o rezolvăm cu delta, obțin delta egal cu 0 sau pot să observ formula de calcul prescurtat și anume x minus 2 la pătrat egal cu 0.

Faptul ce atrage de la sine că x1 egal cu x2 egal cu 2, în condițiile acestea a este egal cu 1, este mai mare ca 0, deci are plus.

X pătrat minus 4x plus 4 mai mare decât 0, iar mă interesează partea pozitivă, avem aceleași semne, avem delta egal cu 0 și foarte important, semnul de această dată este strict mai mare.

Ceea ce înseamnă că valoarea 2, care este soluție a ecoației x pătrat minus 4x plus 4, nu face decât să ducă la egalitate, ori pe mine nu mă interesează egal.

Inecoația mea nu conține mai mare sau egal. În aceste condiții, x aparține lui R, mai puțin valoarea 2. O altă modalitate de rezolvare a inecoațiilor de gradul al doilea este următoare.

Fie ax pătrat plus bx plus c, mai mare ca 0, mai mare sau egal ca 0, mai mic ca 0 sau mai mic sau egal ca 0. În prima etapă se notează cu fdx termenul stâng al inecoației, în cazul meu fdx egal cu ax pătrat plus bx plus c.

Se realizează tabelul de variație, practic tabelul de semn, dacă vă aduceți aminte, al funcției fdx și, în ultimă etapă, se alege mulțimea soluțiilor în ecoație dată.

Astfel, pentru delta pozitiv, tabelul de variație este, atunci când am delta pozitiv, spuneam că am x1 diferit de x2 real. În aceste condiții, x1, x2, unde funcția mea va avea valoarea 0,

în exterior am semnul lui a, în interior semn contrar lui a. Atunci când delta este egal cu 0, tabelul de variație este următorul. Reținem iar că x1 egal cu x2 real este singura valoare în care funcția fdx este 0.

În rest, am semnul lui a. Pentru delta negativ, tabelul de variație este dat de următorul tabel, înțelegând de aici că nu am soluții reale.

Ceea ce va atrage de la sine este că fdx va avea semnul lui a. Exemplu 1. Să se rezolve în ecoația x2 minus 3x plus 2 mai mare ca 0. Observați, este exemplul 1 pe care vi l-am dat anterior.

De această dată îl voi rezolva utilizând cea de-a doua modalitate de rezolvare pe care v-am spus-o atenție. Și așa cum spuneam, în primă etapă notez cu fdx partea stângă sau termenul stâng al inequației, în cazul meu x2 minus 3x plus 2, așa cum aveam confort calculului delta ne dădea 1, x1 era egal cu 1, x2 egal cu 2.

Tabelul de variație în aceste condiții, rădăcinile, în aceste rădăcini valoarea funcției este 0. În afara rădăcinilor vorbim de semnul lui a, a-ul este 1, deci e pozitiv, în sensul ăsta are plus.

În interiorul rădăcinilor semnul contrar lui a, deci aici vorbim de semn contrar lui a. În aceste condiții pe mine mă interesează partea pozitivă, deci plusul, și atunci plus am de la minus infinit la 1 reunit cu 2 plus infinit.

Semnul este strict, intervalul este deschis. Cel datorile exemplu pe care l-am făcut cu prima metodă va fi și aici tratat, astfel că să se rezolve în ecuația 2x pătrat plus x mai mic sau egal cu 1.

Se trece 1 în partea stângă, astfel că obțin 2x pătrat plus x minus 1 mai mic sau egal cu 0. Notez funcția fdx egal cu 2x pătrat plus x minus 1. Delta calculat era 9, rădăcinile determinate erau minus 1, respectiv 1 pe 2.

În acest caz stabilul de variație în minus 1 și în 1 pe 2 fdx ia valoarea 0. Aul este 2, deci este pozitiv, adică are plus, semn contrar lui a între rădăcini, semnul lui a în afara rădăcinii.

În acest caz însă vorbim de mai mic sau egal, adică mă interesează partea cu minus, partea cu minus fiind în interior. Astfel soluția în ecuație este x a parții intervalului minus 1, 1 pe 2, iar bine și spun închis, întrucât in egalitatea mea sau în ecuația mea conține semnul mai mic sau egal.

Al treilea și ultimul exemplu. Să se rezolve în ecuația x minus 1 la pătrat mai mare decât 2x minus 3, fdx este x pătrat minus 4x plus 4, delta obținut era 0, rădăcinile erau egale, evident, și egale cu 2.

Tabelul de variație, singura rădăcină, în această rădăcină vorbim de fdx egal cu 0, în rest avem semnul lui a, a-ul este 1, este pozitiv deci are plus, semnul lui a, semnul lui a.

Mă interesează în acest moment mai mare strict, deci mă interesează și egal cu 0, aspect care atrage de la sine că soluția va fi r mai puțin acest 2 în care fdx-ul meu ar face 0.