Sisteme de inecuații de gradul II

Această lecție este rezervată sistemelor de inequații de gradul al doilea.

Este o lecție ce se constituie, ca o bună continuare a lecției precedente,

lecție în care discutam despre inequații de gradul al doilea.

Prin sistem de inequații de gradul doi se înțelege sistemul de inequații

în care cel puțin una din inequații este de gradul al doilea,

iar celelalte inequații ce compun sistemul sunt de gradul întâi sau doi.

Pentru rezolvarea unui astfel de sistem este necesar să se rezolve fiecare din inequațiile sistemului,

indiferent de gradul acestora.

Inequațiile rezolvate conduc la mulțimi de soluții mk cu k de la 1 la n,

unde n reprezintă numărul de inequații,

iar în a treia etapă, și practic ultima, se determina soluția sistemului

ca intersecție a soluțiilor mk mai sus determinate.

Un exemplu pe care vi-l propun atenției este să se rezolve sistemul de inequații.

Prima inequație, 2x plus 1 mai mare decât 3x minus 1.

Cea de-a doua inequație, x pătrat plus 2x minus 3 mai mare sau egal cu 0.

Respectiv a treia inequație, x plus 5 mai mare sau egal decât 4x plus 3.

Prima inequație, după cum observați, este o inequație de gradul întâi.

Pentru aceasta, dacă vă mai aduceți aminte din lecția în care am discutat despre inequații de gradul întâi,

se separau recunoscutele cu x în stânga, iar termenii liberi, termenii ce nu conțineau x, în dreapta.

Astfel, 2x minus 3x trece cu semn schimbat, minus 1 era deja în partea dreaptă,

iar 1 va trece cu semn schimbat, deci minus 1.

Astfel, 2x minus 3x egal cu minus x mai mare decât minus 2.

Vă reamintesc că atunci când variabila avea semnul minus, înmulțeam inequația cu minus 1

și odată cu schimbarea semnului se schimba și sensul.

Astfel, x va fi mai mic decât 2.

Prima mulțime a soluțiilor, practic pentru prima inequație a sistemului, este minus infinit 2.

A doua inequație a sistemului este x pătrat plus 2x minus 3, mai mare sau egal cu 0.

Este inequație de gradul al doilea.

Notăm cu f de x, x pătrat plus 2x minus 3.

Delta în acest caz este 4, doi la a doua, minus 4, adică plus 12, egal cu 16.

Motiv pentru care, acesta fiind pozitiv, pot să spun că rădăcinile sunt reale și distincte de valori minus 3, respectiv 1, conform calculului.

Tabelul de variație, sau tabelul de semn, cum îi spuneam, este prezentat în continuare.

Astfel că rădăcinile minus 3, respectiv 1, rădăcini în care f de x are valoarea 0,

între rădăcini semn contrarului A, A-ul în acest moment este 1, este pozitiv, deci are semnul plus,

spuneam, între rădăcini semn contrarului A, în afara rădăcinilor semnului A.

În acest caz, inequația mea conține mai mare sau egal decât 0, ceea ce înseamnă că mă interesează plus.

În această situație, M2, deci mulțimea soluțiilor pentru cea de-a doua inequație,

va fi minus infinit minus 3, aici am plus, reunit cu 1 plus infinit, aici am plus.

Interval închis la minus 3, respectiv 1, întrucât inegalitatea mea conține și egal.

Cea de-a treia inequație a sistemului, x plus 5, mai mare sau egal decât 4, x plus 3.

Se separă, așa cum am spus, necunoscutele în stânga, respectiv termenii liberi în dreapta,

astfel că x minus 4x, mai mare sau egal decât 3, 5, trece cu semn schimbat, minus 5,

se mulțește cu minus 1, cum ne-am obișnuit, obținând astfel 3x mai mic sau egal decât 2.

x în aceste condiții va fi mai mic sau egal decât 2 supra 3.

Cea de-a treia mulțime a soluțiilor, pentru, evident, a treia inequație a sistemului,

va fi minus infinit 2x3. Așa cum am spus în partea teoretică,

pentru determinarea soluției sistemului, cele trei mulțime de soluții vor fi intersectate.

Astfel, mulțimea m notată de mine e mulțimea soluțiilor sistemului dat,

așa cum spuneam, se obține din intersecția celor trei mulțime de soluții,

așa cum vedeți pe axa reprezentată de mine,

avem valorile minus 3, 1, din cauza lui M2,

2x3, din cauza lui M3, respectiv 2, din cauza lui M1.

0 l-am pus doar ca să realizați voi că

în stânga lui vorbim de valori negative, iar în dreapta de valori pozitive.

Astfel că M2 este reprezentat cu galben,

minus infinit, minus 3, 1, plus infinit,

M3 este reprezentat de mine cu albastru,

respectiv cu verde, M1.

Mulțimea soluțiilor sistemului dat este dată de zona în care

voi avea atât galben, cât și verde, cât și albastru.

După cum observați aici, minus infinit, minus 3.

Deci M este egal cu minus infinit, minus 3, închis la 3,

din cauza lui M2, care reprezintă de fapt soluția

sistemului de inequații date.

Un al doilea exemplu pe care îl supun atenției voastre este

x pătrat plus 2x plus 3 mai mare ca 0, prima inequație,

x pătrat minus 2x minus 3 mai mare sau egal ca 0, cea de-a doua inequație a sistemului,

respectiv 2x plus 1 mai mic decât 2 minus x.

Prima inequație a sistemului, x pătrat plus 2x plus 3 mai mare ca 0,

este inequație de gradul al doilea.

Confort primei metode de rezolvare a inequațiilor de gradul al doilea,

se scotea ecuația de gradul al doilea, corespunzătoare inequației date.

Astfel, delta este egal cu 4 minus 12,

era 4ac, 4-1-3, care e egal cu minus 8.

Acesta este negativ, înțelegând din asta că nu am soluții reale.

Deci, dacă delta e negativ, A-ul are valoarea 1, este pozitiv.

In equația mea, x pătrat plus 2x plus 3 mai mare decât 0,

vorbim aici de plus, vorbim aici de plus, aceleași semne.

Înțeleg că, pentru delta negativ, vorbim de semnul lui A,

motiv pentru care soluția inequației noastre este x aparțină lui R.

Cea de-a doua inequație este x pătrat minus 2x minus 3 mai mare sau egal decât 0.

În aceste condiții, scot ecuația x pătrat minus 2x minus 3 egal cu 0,

delta de această dată este 16, este pozitiv, am rădăcini reale și distinte,

care, din calcul obținute, sunt minus 1, respectiv 3.

Astfel, delta este negativ, A este pozitiv, au fiind 1.

În equația mea, x pătrat minus 2x minus 3 are semnul mai mare sau egal decât 0.

Mai mare înseamnă plus, mai mare sau egal înseamnă plus,

aceleași semne, dacă e același semn, vorbim în afara rădăcinilor,

în condițiile în care delta este mai mare decât 0.

Drept pentru care soluția acestei inequații este x aparține intervalului

minus infinit minus 1 reunit cu 3 plus infinit.

Cea de-a treia inequație a sistemului, 2x plus 1 mai mic decât 2 minus x.

Separăm, drept pentru care am 2x plus x mai mic decât 2,

bine, unul cu semn schimbat.

Înțeleg de aici 3x mai mic decât 1, x va fi mai mic decât 1 pe 3.

Înțeleg de aici că soluția cea de-a treia inequație a sistemului este minus infinit 1 pe 3.

În concluzie, M1, soluția primei inequații, este R.

M2 este minus infinit minus 1 reunit cu 3 plus infinit.

Soluția cea de-a treia inequație este minus infinit 1 pe 3.

V-am reprezentat din nou, pe axa reală, cele 3 mulțimi de soluții.

Cu galben am reprezentat M2, da?

Iar cu verde am reprezentat M3, R-ul fiind de la minus infinit la plus infinit.

Comun, celor 3 mulțimi de soluții, este, așa cum se vizualizează, minus infinit minus 1.

Al treilea și ultimul exemplu aferent acestei lecții este x²-3x mai mare decât minus 2, prima inequație a sistemului,

respectiv x² plus x mai mic s-a egal decât 12, a doua inequație a sistemului.

În acest caz, observați că am dat exemplu de un sistem ce conține doar inequații de gradul al doilea.

Resolvarea, în mod evident, este aceeași, așa cum am învățat.

Astfel că, prima inequație, x²-3x mai mare decât minus 2, asta înseamnă x²-3x plus 2 mai mare ca 0,

equația corespunzătoare în equație x²-3x plus 2 egal cu 0, delta este 9 minus 4 ori 1 ori 2, deci minus 8 egal cu 1, este pozitiv,

rădăcinile sunt reale și distincte, calculate cu minus b, adică 3 plus minus radical din delta, adică 1 supra 2a, 2 ori 1, deci 2.

În cazul acesta, x1 va fi egal cu 3 minus 1, 2 supra 2, 1, x2 va fi egal cu 3 plus 1 supra 2, deci 4 pe 2, 2.

În aceste condiții, am a egal cu 1, coeficientul x² egal cu 1 este pozitiv, deci are plus,

x²-3x plus 2 este mai mare decât 0, mă va interesa tot plus și delta pozitiv.

Pe delta pozitiv cu a pozitiv, în interiorul rădăcinilor am semn contrarului a, deci minus, în exterior semnului a, deci plus.

Cum mă interesează plus? În mod evident, soluția acestei inequații este x aparținându-i minus infinit 1 reunit cu 2 plus infinit,

iar spun deschis, pentru că nu am și egal, este mai mare strict.

Cea de-a doua inequație a sistemului, x² plus x mai mic sau egal decât 12,

rezultă de aici că x² plus x minus 12 mai mic sau egal ca 0,

ecuația corespunzătoare x² plus x minus 12 egal cu 0,

delta în acest caz va fi 1 plus 48, adică 49, pozitiv și de această dată, rădăcinile sunt reale și distincte,

minus b înseamnă minus 1, plus minus radical din delta, adică 7, supra 2a, deci supra 2,

caz în care x1 va fi minus 1 minus 7, deci minus 8 supra 2 minus 4,

x2 va fi minus 1 plus 7, deci 6 supra 2, 3.

În acest caz discutăm despre a egal cu 1, deci coeficientul x² este 1, este pozitiv, deci are plus,

x² plus x minus 12 este mai mic sau egal decât 0, înțeleg de aici că mă interesează partea negativă,

cum delta este pozitiv, mă va interesa în interiorul rădăcinilor,

pentru că acolo am semn contrar lui a, care în acest caz este pozitiv.

Astfel, soluția celei de-a doua în ecuații este minus 4, 3 închis, întrucât inegalitatea conține și egal.

Am notat cu m1 soluția primei în ecuații, cu m2 soluția celei de-a doua în ecuații.

În mod evident, pentru obținerea soluției finale sau soluția sistemului dat,

va fi intersecția sau se va face intersecția lui m1 cu m2.

Astfel, minus 4, 1 reunit cu 2, 3.

Soluția obținută se poate vizualiza și pe reprezentarea grafică realizată și anume,

minus infinit 1, respectiv 2 plus infinit, adică m1, este reprezentat cu galben,

iar minus 4, 3, adică m2, este reprezentat cu albastru.

Zona în care acestea două se intersectează, sau mai clar zonele în care acestea două se intersectează,

sunt minus 4, 1, respectiv 2, 3.

La 1 și la 2 aveam interval deschis, la 4 și la 3 aveam interval închis.