Inecuații în Z

O inegalitate de forma x mai mare decât 2, unde x este un număr întreg, se numește inequație.

Orice număr care substitui variabile x, transformă inegalitatea într-o propoziție adevărată se numește soluție a inequației.

De exemplu, numărul 3 este o soluție a inequației, deoarece 3 este mai mare decât 2.

Să vedem ce se întâmplă cu această inegalitate dacă adunăm în fiecare membru numărul pozitiv 4.

Obținem 3 plus 4 mai mare decât 2 plus 4, adică 7 mai mare decât 6.

Observăm că atunci când adunăm un număr pozitiv la ambii membri ai inegalității, semnul inegalității se păstrează.

Pornim de la aceeași inegalitate, 3 mai mare decât 2, să scădem numărul 4 din fiecare membru și obținem 3 minus 4 mai mare decât 2 minus 4,

deoarece minus 1 este mai mare decât minus 2.

Așadar, observăm că și dacă scădem numărul 4, semnul inegalității se păstrează.

Să vedem ce se întâmplă cu această inegalitate dacă o înmulțim cu numărul 4, membru cu membru.

3 ori 4 este mai mare decât 2 ori 4, adică 12 este mai mare decât 8.

Observăm că semnul inegalității se păstrează atunci când o înmulțim cu un număr pozitiv.

Să vedem ce se întâmplă dacă înmulțim această inegalitate cu numărul negativ minus 4.

3 ori minus 4, deocamdată nu scriu semnul pentru că vreau să fac calculele, și 2 ori minus 4.

3 ori minus 4 este minus 12, 2 ori minus 4 este minus 8.

Minus 12 este mai mic decât minus 8.

Observăm că atunci când înmulțim o inegalitate cu un număr negativ, semnul inegalității se schimbă.

Această regulă este valabilă și atunci când împărțim o inegalitate cu un număr negativ.

În continuare să rezolvăm câteva inequații.

Prima inequație, x plus 3 mai mic decât 0, unde x este un număr întreg.

A rezolva o inequație înseamnă a-i găsi mulțimea soluțiilor.

Ca și la ecuații, rezolvarea inequațiilor se reduce la găsirea unui șir de transformări echivalente,

astfel încât să se ajungă la o inegalitate destul de simplă pentru a se putea citi soluțiile.

Vom proceda ca și la ecuații. Vom elimina numărul 3 din membrul stâng.

Scădem așadar numărul 3 din fiecare membru al inegalității.

Dacă scădem numărul 3, semnul inequației se păstrează și obținem x plus 3 minus 3 mai mic decât 0 minus 3.

x va fi mai mic decât minus 3.

Soluția este formată din numerele întregi minus 6, minus 5, minus 4,

unde prin puncte puncte se înțelege că acest șir se continuă cu numerele întregi minus 7, minus 8, minus 9 și așa mai departe.

Deci avem o infinitate de soluții.

Și atunci, în general la inequații, soluția se va scrie sub următoarea formă,

S egal mulțimea formată din acele numere întregi x cu proprietatea că x este mai mic decât minus 3.

A doua inequație, 5x minus 2 mai mic sau egal decât minus 7.

Vom aduna numărul pozitiv 2 la fiecare membru al inequației și obținem 5x minus 2 plus 2 este 0,

mai mic sau egal decât minus 7 plus 2.

5x mai mic sau egal decât minus 5.

Ca să eliminăm coeficientul x, vom împărți la 5.

Și obținem x mai mic sau egal decât minus 5 împărțit la 5.

x mai mic sau egal decât minus 1.

Soluția este formată din acele numere întregi x cu proprietatea că x este mai mic sau egal decât minus 1.

Continuăm cu a treia inequație, minus 2 pe lângă 1 minus 3x mai mic decât minus 8.

Ca să desfacem această paranteză, folosim distributivitatea înmulțirii față de scădere.

Așadar, va trebui să înmulțim numărul minus 2 cu fiecare număr din paranteză.

Și obținem minus 2 ori 1 minus minus 2 ori 3x mai mic decât minus 8.

Aici facem mai întâi înmulțirea minus 2 ori 3 care este minus 6x mai mic decât minus 8.

Minus minus se transformă în plus și obținem minus 2 plus 6x mai mic decât minus 8.

Se elimină acest număr minus 2 din membrul stâng astfel încât să rămână doar termenul ce conține necunoscuta x.

Pentru aceasta va trebui să adunăm numărul 2 la fiecare membru al inequației.

Minus 2 plus 2 va fi 0 și obținem în membrul stâng 6x mai mic decât minus 8 plus 2.

6x va fi mai mic decât minus 6.

Împărțim la 6 și obținem x mai mic decât minus 6 împărțit la 6.

x mai mic decât minus 1.

Soluția este formată din acele numere întregi x cu proprietatea că x este mai mic decât minus 1.

A patra, inequație.

Modul de x sau valoare absolută alu x mai mică sau egală decât 4.

Haideți să reprezentăm pe o axă câteva numere întregi.

Mai întâi fixăm originea căreia îi asociem numărul 0

și apoi o să punem în ordine numerele 1, 2, 3 și 4

și opusele lor, minus 1, minus 2, minus 3 și minus 4.

Să vedem care sunt numerele întregi care au valoare absolută mai mică sau egală decât 4.

Mai întâi observăm că numerele 0, 1, 2, 3 și 4 verifică această inegalitate

deoarece toate au valoare absolută mai mică sau egală decât 4.

Valoarea absolută alu 4 este chiar 4 și se verifică această inegalitate.

Dar observăm că și numărul minus 1 are valoare absolută mai mică sau egală decât 4

deoarece modul de minus 1 este 1.

La fel modul de minus 2 este 2, deci și minus 2 verifică această inegalitate.

Același lucru se respectă și pentru numerele minus 3 și minus 4.

Deci x poate să ia valori între minus 4 și 4

și atunci vom scrie minus 4 mai mic sau egal decât x mai mic sau egal decât 4.

Soluția este mânțimea formată din numerele întregi minus 4, minus 3, minus 2, minus 1, 0, 1, 2, 3 și 4.

Și ultima inequatie, valoarea absolută alu x plus 2 mai mică sau egală decât 3.

Dacă în cazul anterior x trebuia să fie cuprins între minus 4 și 4,

în acest caz x plus 2 trebuie să fie cuprins între minus 3 și 3.

Să scriem această inegalitate minus 3 mai mic sau egal decât x plus 2 mai mic sau egal decât 3.

Ca să obținem numărul x între semnele inequatie va trebui să scădem numărul 2 din fiecare membru al acestei inequatie.

Și obținem minus 3 minus 2 mai mic sau egal decât x mai mic sau egal decât 3 minus 2.

Minus 5 mai mic sau egal decât x mai mic sau egal decât 1.

Soluția este mânțimea formată din numerele întregi minus 5, minus 4, minus 3, minus 2, minus 1, 0 și 1.

Multumesc pentru vizionare!