Ecuații logaritmice

Ecoațiile logaritmice sunt ecuații care conține cunoscuta ca argument sau ca bază a logaritmului.

În rezolvarea ecuațiilor logaritmice vom ține cont de următoarele aspecte.

Dacă avem o ecuație de forma logaritm în baza f de x din g de x egal cu b,

atunci pe baza definiției logaritmului această ecuație se va scrie f de x la puterea b este egal cu g de x.

Vom pune de asemenea și condiții de existență pentru această ecuație.

Un logaritm există dacă baza logaritmului este număr strict pozitiv și diferit de unul,

iar argumentul logaritmului trebuie să fie de asemenea un număr strict pozitiv.

Așadar vom pune condiția ca f de x să fie mai mare ca 0, f de x diferit de 1 și g de x mai mare ca 0.

Putem întâlni și ecuații în care avem o egalitate de 2 logaritmi cu aceeași bază.

Logaritmul în baza a din f de x egal cu logaritmul în baza a din g de x.

Atunci pe baza injectivității funcției logaritmice putem elimina logaritmii și obținem o egalitate de forma f de x egal cu g de x.

Și în această situație vom pune condițiile de existență pentru această ecuație.

Baza logaritmului, numărul a trebuie să fie strict pozitiv, a diferit de 1, f de x mai mare ca 0 și g de x mai mare ca 0.

La unele ecuații vom folosi anumite substituții sau proprietăți ale logaritmilor și apoi aducem ecuațiile la una dintre cele două forme.

Să rezolvăm o primă ecuație.

Avem ecuația logaritm 10-l din x-3 egal cu logaritm 10-l din 5.

Vom pune mai întâi condițiile de existență pentru această ecuație.

Baza logaritmului este 10, așadar singura condiție ce trebuie pusă este ca x-3 să fie mai mare ca 0.

Rezolvăm această inequație și obținem x mai mare ca 3.

În consecință, domeniul de existență pentru această ecuație este intervalul 3 plus infinit.

Având în vedere că funcția logaritmică este injectivă, putem elimina logaritmii și obținem relația x-3 egal cu 5.

x este egal cu 8.

8 aparține acestui interval, așadar soluția ecuației va fi numărul 8.

Următoarea ecuație.

Vom pune mai întâi condițiile de existență pentru această ecuație.

Baza logaritmului trebuie să fie număr strict pozitiv și diferit de 1, așadar x-2 mai mare ca 0,

x-2 diferit de 1 și argumentul logaritmului x-2x-6 trebuie de asemenea să fie un număr strict pozitiv.

Acestea sunt condițiile de existență pentru această ecuație.

Acum putem să rezolvăm aceste inequații și la final să obținem domeniul de existență prin intersecția soluțiilor

și apoi să trecem la rezolvarea ecuației sau o altă metodă ar fi să rezolvăm mai întâi ecuația și la final să vedem dacă soluția obținută verifică toate condițiile de existență.

Eu zic că a doua metodă e mult mai rapidă, așa că vom trece direct la rezolvarea ecuației.

Din definiția logaritmului avem că x-2 ridicat la puterea întâia, o să scriem așa ca să se vadă mai clar, este egal cu x-2x-6.

Trecem totul într-un membru și avem x-2x-6-x plus 2 este egal cu 0.

x-3x-4 egal cu 0.

Delta este b-9-4ac, 4 ori 1 ori minus 4, 9 plus 16, 25.

x-1 este 3 plus 5 supra 2, 8 pe 2, 4.

x-2 este egal cu 3 minus 5 supra 2, minus 2 supra 2 este egal cu minus 1.

Verificăm acum prin calcul direct dacă ambele soluții obținute verifică condițiile de existență.

4 minus 2 este mai mare ca 0, adevărat.

4 minus 2 este diferit de 1, adevărat.

4 la a doua este 16, minus 8.

8 minus 6, 2.

2 este mai mare ca 0, adevărat.

Următoarea soluție obținută este minus 1.

Observăm că minus 1 minus 2 nu este mai mare decât 0, așadar această soluție nu verifică condițiile de existență.

În consecință, singura soluție acceptată este numărul 4.

A treia ecuație, logaritm în baza 2 din x-1 plus logaritm în baza 2 din x-3 este egal cu 3.

Vom scrie condițiile de existență pentru această ecuație.

Argumentul primului logaritm, x-1, trebuie să fie mai mare ca 0 și, de asemenea, și x-3 trebuie să fie mai mare ca 0.

Dacă intersectăm cele două soluții obținute, se poate vedea foarte ușor că domeniul de existență este intervalul 3 plus infinit.

Trecem acum la rezolvarea ecuației.

Vom folosi una din proprietățile logaritmilor.

Are loc următoarea formulă.

Logaritm în baza a dintr-o expresie b plus logaritm în baza a din c se poate restrânge sub forma logaritm în baza a din b ori c.

Aplicăm această formulă aici și vom obține logaritm în baza a 2 din x-1 pe lângă x-3 este egal cu 3.

Acum aplicăm definiția logaritmului și avem că x-1 pe lângă x-3 este egal cu 2 la puterea a 3-a.

Acum desfacem parantezele.

Avem x pătrat, minus 3x minus x ne dă minus 4x plus 3 este egal cu 8.

Obținem ecuația de gradul al doilea, x la a doua minus 4x minus 5 este egal cu 0.

Delta este 16 minus 4 ori minus 5.

16 plus 20 este 36.

x-1 este egal cu 4 plus 6 supra 2.

10 pe 2 este 5.

x-2 egal cu 4 minus 6 supra 2.

Minus 2 pe 2 este minus 1.

Numărul 5 îndeplinește ambele condiții de existență, însă numărul minus 1 nu îndeplinește condițiile pentru că minus 1 minus 1 ne dă minus 2.

Minus 2 nu este mai mare ca 0.

Așadar numărul minus 1 nu verifică condițiile de existență.

În consecință, soluția acestei ecuații este numărul 5.

A patra ecuație, 2 logaritm în baza 5 din x plus logaritm în baza x din 5 este egal cu 3.

Vom scrie condițiile de existență pentru această ecuație.

Având în vedere că x apare atât ca bază cât și ca argument al logaritmului,

vom pune condiția ca x să fie mai mare ca 0 și x diferit de 1.

Observăm că avem logaritm în baze diferite și încercăm să-i aducem la aceeași bază.

Pentru aceasta vom folosi o altă proprietate a logaritmilor.

Are loc următoarea formulă logaritm în baza a din b este egal cu 1 supra logaritm în baza b din a.

Astfel logaritm în baza 5 din x se poate scrie 1 supra logaritm în baza x din 5.

Revenim la ecuație și avem 2 înmulțit cu 1 supra logaritm în baza x din 5 plus logaritm în baza x din 5 este egal cu 3.

Acum vom face următoarea substituție.

Vom nota logaritmul în baza x din 5 cu t.

Obținem astfel următoarea ecuație 2 supra t plus t este egal cu 3.

Înmulțim cu t și avem 2 plus t pătrat egal cu 3t.

Trecem totul într-un membru și obținem ecuația t pătrat minus 3t plus 2 este egal cu 0.

Delta este 9 minus 4 ori 2, 1.

T1 este 3 plus 1 supra 2 și egal cu 2.

Iar T2 este egal cu 3 minus 1 supra 2 și egal cu 1.

Revenim la notația făcută și avem că logaritm în baza x din 5 este egal cu 2.

De unde obținem ecuația x la a doua egal cu 5.

x este egal cu radical din 5.

Nu luăm în calcul și soluția minus radical din 5 întrucât x trebuie să fie număr strict pozitiv.

Și cealaltă posibilitate logaritm în baza x din 5 egal cu 1.

De unde obținem că x la întâia egal cu 5.

Deci x este egal cu 5.

Am obținut soluțiile radical din 5 și 5 și observăm că ambele verifică condițiile de existență.

Așadar soluția ecuației este mulțimea formată din elementele radical din 5 și 5.

Și ultima ecuație.

Avem logaritm pătrat în baza radical din 7 din x minus 5 logaritm în baza radical din 7 din x plus 4 este egal cu 0.

Pentru început vom pune condiția ca x să fie mai mare ca 0.

Logaritm pătrat în baza radical din 7 din x este notația folosită pentru logaritm în baza radical din 7 din x totul la pătrat.

Deci putem să scriem ecuația și sub forma aceasta.

Minus 5 logaritm în baza radical din 7 din x plus 4 egal cu 0.

Vom face iarăși o substituție.

Vom nota logaritm în baza radical din 7 din x cu t.

Obținem t pătrat minus 5t plus 4 egal cu 0.

Delta este 25 minus 4 ori 4 egal cu 9.

T1 este 5 plus 3 supra 2 și egal cu 4.

T2 este egal cu 5 minus 3 supra 2 și egal cu 1.

Revenim la notația făcută.

Și avem logaritm în baza radical din 7 din x egal cu 4.

De unde x este egal cu radical din 7 la 4.

Radical din 7 la 4 se poate scrie radical din 7 la 2 și totul la 2.

Așadar x este egal cu 49.

Iar pentru cealaltă soluție obținută avem logaritm în baza radical din 7 din x egal cu 1.

De unde obținem că x este egal cu radical din 7.

Am obținut soluțiile x egal cu 49, x egal cu radical din 7.

Ambele verifică condiția de existență.

În consecință soluția este mulțimea formată din numerele 49 și radical din 7.