Tipuri de ecuații

Vom rezolva acum câteva tipuri de ecuații destul de desîntâlnite și haideți să ne amintim că, într-o secvență anterioară, am discutat despre ecuații de această formă.

7 adunat cu x este egal cu 30. Vrem să îl determinăm pe x. Varianta rapidă de rezolvare, care era? Spuneam că vrem să îl obținem doar pe x în această parte a egalului.

Și asta înseamnă că vrem să îl trecem pe 7 peste egal cu semn schimbat. Bun însă, care este semnul lui 7? Păi, adunarea știm că este o operație comutativă, deci 7 plus x e același lucru cu x plus 7 egal cu 30.

Și din această scriere e clar că semnul lui 7 este plus, deci trecându-l peste egal vom avea minus. Acum, să știți că nu e neapărat nevoie să scriem invers, adică x plus 7 în loc de 7 plus x, pentru că e ușor de reținut.

Dacă în fața unui număr nu apare niciun semn, atunci considerăm că el are de fapt semnul plus. De ce nu se scrie și acest semn plus? Pentru că am încărcat foarte mult notația.

Deci renunțăm, păstrăm prima formă și acum haide să rezolvăm. Am spus că îl vom trece pe 7 peste egal cu semn schimbat. Dacă îl mutăm pe 7, ia să vedem, îl luăm pe 7 de aici, ce observăm? Că ne rămâne plus x.

Dar, cum am spus, ca să nu încărcăm notația, acest plus capătă acum calitatea de semn și nu de operație și o să ne rămână de fapt x.

Deci venim și notăm, x va fi egal cu 30 și apoi ce am mutat? Am avut plus 7, deci aici vom avea minus 7 și notăm că x este egal cu 23. Bun și am încheiat.

Acum, care era rezolvarea riguroasă? Păi 7 plus x egal 30, cum să facem în așa fel încât în această parte a egalului să ne rămână doar x? Păi dacă avem 7 plus x, înseamnă că din această sumă trebuie să îl scădem pe 7.

Și vom avea, trecem mai întâi ce era 7 plus x minus 7, da? Egal mai departe cu 30 și din 30 scădem la fel pe 7 ca să rămână aici egalitate.

Aici e clar că ne rămâne x egal cu 30 minus 7 adică 23. Oricare variantă de rezolvare este corectă, depinde care vi se potrivește mai bine, pe care o înțelegeți mai bine sau care vă place.

Am mai discutat și despre ecuații de acest tip. 5 înmulțit cu x este egal cu 85 sau altfel spus x înmulțit cu 5 egal cu 85. Ambele sunt echivalente, înmulțirea știm că e comutativă ca și adunarea.

Cum rezolvăm? Trebuie să îl determinăm pe x, deci de având aici 5 ori x trebuie să împărțim această relație la 5 și vom avea, notăm x egal cu 85 împărțit la 5 și rezultatul este 17. Bun.

Să rezolvăm acum o ecuație aparent mai complicată și anume 4 înmulțit cu x adunat cu 12 egal cu 48. Ce operații avem? Avem operație de înmulțire și operație de adunare.

Cu alte cuvinte necunoscută se înmulțește cu 4 și la acest produs trebuie să adunăm 12. Păi asta înseamnă că nu putem să îl separăm din prima pe 4 de x ci mai întâi trebuie să vedem cât este produsul 4 ori x.

Prin urmare, din această relație ce vom face? Vom scădea numărul 12, deci trecem aici o bară verticală și trecem minus 12 și vom obține ce am avut aici? 4 ori x plus 12 minus 12 egal mai departe cu 48 din care evident îl scădem pe 12.

Acum 12 minus 12 ne dă 0, deci aici o să ne rămână 4 ori x egal cu 48 minus 12, 36.

Deja e ușor să îl determinăm pe x egal cu 36 împărțit la 4, asta înseamnă că x este egal cu 9 și astfel am determinat și valoarea necunoscutei pentru această ecuație.

Deci am avut o ecuație de acest tip, un număr adunat cu necunoscuta sau invers necunoscuta adunată cu un număr pentru că adunarea e operație comutativă, apoi al doilea tip a fost acesta în care între necunoscută și număr aveam operație de înmulțire și aici am combinat cele două.

Să vedem acum ce se întâmplă când între necunoscută și număr avem operație de scădere și avem ecuația x minus 3 egal cu 41, deci avem situația în care avem necunoscuta minus un număr.

De vreme ce aici ne apare x minus 3 înseamnă că pentru a-l obține pe x trebuie să adunăm 3 în această egalitate, deci trecem aici plus 3 și vom avea x minus 3 la care îl adunăm pe 3 egal cu 41 plus 3.

Dacă din x scădem 3 și apoi adunăm tot 3 e clar că vom obține aici x egal cu 41 plus 3 adică 44, deci un asemenea tip de ecuație în care avem necunoscuta minus un număr e foarte ușor de rezolvat.

Ce se întâmplă însă când avem situația inversă adică avem număr minus necunoscută și să luăm acest exemplu 12 minus x egal 9.

Păi dacă citim ecuația astfel 12 minus ce număr ne dă 9 atunci e ușor de văzut de găsit faptul că avem numărul 3, 12 minus 3 ne dă 9, deci x egal cu 3.

Însă cum rezolvăm sistematic o asemenea ecuație pentru că e posibil ca numerele pe care le întâlnim aici să fie mult mai mari și să nu ne putem da seama direct de răspuns?

Ei bine, cum l-am obținut de fapt pe 3? Ce ne deranjează pe noi? Ne deranjează faptul că în fața lui x avem operație de scădere sau altfel spus avem semnul minus.

Păi ca să nu ne mai apară semnul minus vom aduna în această ecuație chiar necunoscută, deci trecem aici plus x și vom obține ce avem în această parte a egalului adică 12 minus x la care l-adunăm pe x egal mai departe cu 9 plus x.

Păi dacă din 12 scădem x și apoi adunăm tot x înseamnă că aici ne rămâne 12 egal cu 9 plus x sau poate că vă e mai simplu de urmărit dacă scriem astfel 9 plus x este egal cu 12.

Nu am făcut nimic altceva decât să inversăm membrii egalului și acum haide să mutăm această ecuație.

Bun și acum o vom rezolva 9 plus x egal 12 asta înseamnă că x este egal cu 12 minus 9 deci x este egal cu 3 iată exact ce am obținut și prima dată.

Deci foarte mare atenție când vorbim de acest tip de ecuație în care avem un număr minus necunoscută deci 12 minus x egal 9 răspunsul se obține făcând următoarea operație 12 minus 9 iată exact ce am avut aici.

Dacă această metodă de rezolvare vi s-a părut a fi ceva mai complicată atunci putem să rezolvăm o asemenea ecuație și astfel și să luăm un alt exemplu 57 minus x egal cu 18 din nou avem un număr minus necunoscută.

Tot așa vrem să nu ne mai apară semnul minus în fața lui x și atunci pentru aceasta îl trecem pe x peste egal cu semn schimbat și vom avea dacă aici pe minus x îl trecem în această partea egalului ne va rămâne 57 deci 57 egal cu 18 și aici vom obține plus x.

Sau altfel spus 18 plus x trecem direct este egal cu cât mai cu 57 și x este egal cu 57 minus 18 adică x ne dă 39 deci iată am folosit o altă rezolvare pentru același tip de ecuație de la 57 minus x egal 18.

Am ajuns la x egal cu 57 minus 18 și astfel se obține răspunsul pe care chiar o să-l și încadrăm.

Un alt tip de ecuație este similar cu acesta însă în loc de operația de scădere avem operația de împărțire și voi lăsa doar ultima ecuație.

Deci acum o să avem acest tip număr împărțit la necunoscut de exemplu 28 împărțit la x egal cu 7.

Păi dacă citim ecuația astfel 28 împărțit la ce număr ne dă 7 atunci e ușor să ne dăm seama că vorbim de numărul 4 x egal cu 4.

Cum îl determinăm însă pe 4?

Păi 4 se obține din împărțirea lui 28 la 7.

Deci x egal de fapt cu 28 împărțit la 7 și astfel obținem că x egal cu 4.

Din această cauza am spus că cele două tipuri de ecuații sunt foarte similare.

Iată când aveam un număr minus necunoscut a 57 minus x egal 18 ca să determinăm pe x am făcut această scădere 57 minus 18 exact cum am notat aici.

Când avem însă împărțire e aceeași regulă doar că în loc de scădere avem împărțire.

28 împărțit la x egal 7 x se scrie egal de fapt cu 28 împărțit la 7 exact ca aici.

Un alt exemplu 65 împărțit la z este egal cu 5.

Păi acum z este egal cu 65 împărțit la 5 adică z este egal cu 13.

Deci să fim foarte atenți și la acest tip de ecuație în care avem un număr împărțit la necunoscută.

Cele două tipuri se aseamănă foarte mult diferența este că aici avem scădere și aici avem operație de împărțire.

Dacă avem însă nu acest tip de ecuație număr împărțit la necunoscută ci invers necunoscuta împărțită la un număr.

De exemplu x împărțit la 8 egal 9.

Păi de vreme ce aici ne apare x împărțit la 8 ca să obținem pe x e clar că această ecuație trebuie înmulțită chiar cu 8.

Pentru că x împărțit la 8 ori 8 ne dă de fapt pe x care se scrie 9 ori 8.

Deci putem să trecem că x este egal cu 72.

Iată că acest tip de ecuație foarte ușor de rezolvat.

Un ultim exemplu să spunem că avem x împărțit la 12 egal cu 11.

Atunci x va fi egal cu 11 ori 12 adică ne dă 132.

Ultimul tip de ecuație pe care vreau să discutăm este acesta în care avem puteri.

Și haide să dăm un exemplu x la treia este egal cu 4 la treia.

Vorbim de o egalitate de două puteri și puterile au exponenții egali.

Avem aici exponentul 3 la fel și aici.

În această situație înseamnă că și bazele sunt egale deci rezultă că x este egal cu 4.

Alt exemplu y la 2015 este egal cu aici putem să trecem orice număr dorim 37 de exemplu tot la 2015.

Din nou avem egalitate de puteri care au exponenții egali.

Asta înseamnă că și bazele sunt egale deci y este egal cu 37.

Dacă însă nu avem acum o egalitate adică avem o egalitate de puteri însă nu mai au același nu mai au exponenții egali ci bazele egale.

De exemplu 5 la z este egal cu 5 la 239.

Și în această situație având bazele egale și avem egalitate de puteri înseamnă că exponenții sunt acum egali deci z este egal cu 239.

Sau alt exemplu 3 la t plus 1 este egal cu 3 la a noua.

Sau aici putem să trecem orice exponenț dorim cum avem din nou aceea situație ca mai sus avem baze egale egalitate între puterii deci și exponenții sunt egali.

Asta înseamnă că t plus 1 este egal cu 9 de unde rezultă că t este egal cu 8.

Acestea au fost de fapt ultimele două tipuri de ecuații pe care am vrut să le discutăm și o zic că sunt destul de simple și ușor de înțeles dar și de reținut.