Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor

Să ne ocupăm în continuare de câteva probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor și începem cu această problemă.

Care este numărul din care, dacă scădem 15, obținem 41?

Păi mai întâi și mai întâi trebuie să stabilim care este necunoscuta și să o notăm.

Care este numărul din care, cu alte cuvinte, acest număr de care se spune aici în problemă e numărul căutat,

haide să-l notăm cu X.

Deci care este acel număr X din care, dacă scădem 15, deci haide să scriem,

deci din X scădem 15 și ce se petrece?

Obținem, cu alte cuvinte, egal 41.

Deci venim și notăm X minus 15 egal 41.

Bun și iată, deja am făcut și următorul pas și anume am transcris în limbaj matematic informațiile problemei.

Ce am obținut? Avem o ecuație simplă, vrem să-l determinăm pe X.

Cum avem X minus 15, vom aduna 15 la această relație ca să-l obținem pe X.

Și vom avea așa, haideți să scriem cu altă culoare să ne rămână cu albastru ecuația,

deci X minus 15 plus 15, ce avem aici, este egal cu 41 la care îl adunăm pe 15.

Dacă din X scădem 15, apoi adunăm același număr 15, e clar că vom obține X este egal cu 5, 10 și 6.

Bun, acum dacă vrem putem să facem și proba, adică verificarea.

Vedem dacă înlocuindu-l pe X cu 56 în această ecuație vom obține o relație adevărată.

Păi haideți să vedem, 56 minus 15 ne dă oare 41?

Păi dacă facem această diferență obținem că 41 este într-adevăr egal cu 41, deci avem o relație adevărată.

Cu alte cuvinte, valoarea găsită este cea corectă.

Deci X egal cu 56.

Haideți să vedem acum o altă problemă.

Dublul numărului X mărit cu 34 dă ca rezultat 108. Cât este X?

Mai întâi am spus că vom stabili necunoscuta și o să o și notăm.

Însă deja e clar că necunoscuta este notată cu litera X.

Și acum, transcriem în limbaj matematic informațiile problemei.

Dublul numărului X, ce înseamnă asta?

Păi, dublul numărului X înseamnă de fapt 2 înmulțit cu X.

Acesta e dublul numărului X.

Mărit cu 34, cu alte cuvinte, pe 2X trebuie să îl mărim cu 34.

Ce înseamnă asta?

Înseamnă că la 2X trebuie să adunăm 34.

Deci, 2X mărit cu 34 dă ca rezultat, cu alte cuvinte, egal 108.

Și trebuie să îl determinăm pe X.

Acum, fie notăm acea bară verticală și vom nota aici minus 34, pentru că, așa cum am spus și la ecuații,

nu putem să îl separăm de la început pe 2X pentru că între ele avem o operație de înmulțire.

Însă putem să îl separăm de 2X pe 34.

Deci, fie notăm așa minus 34,

fie, dacă vreți să facem metoda mai scurtă, atunci spunem că îl trecem pe 34 peste egal cu semn schimbat.

Și aici o să ne rămână 2X.

Deci, haideți să notăm.

2X egal cu, pentru că pe 34 îl trecem peste egal, deci egal cu 108.

Aici am avut plus 34, peste vom avea minus 34.

Deci, 2X ne va da, facem diferența 74.

Acum, ca să îl obținem pe X, trebuie să împărțim la 2 această relație.

Deci, notăm direct X egal cu 74 împărțit la 2.

Și vom obține că X egal cu 37.

Acum, haideți să facem și proba.

Cu alte cuvinte să vedem dacă, prin înlocuirea lui X cu 37, în această ecuație vom obține o relație adefărată.

Deci, haideți să notăm aici, facem proba.

Cu alte cuvinte.

2 înmulțit cu, în loc de X scriem 37, adunat cu 34, ne dă oare cât este aici 108?

Păi, haideți să facem calculul.

Aici vom obține 74 adunat cu 34.

Să vedem dacă, într-adevăr, ne dă 108.

Și obținem 108.

Deci, 108 egal 108.

Cu alte cuvinte, avem o relație adefărată.

Asta înseamnă că X este egal cu 37.

Altă problemă.

Mimi cumpără 3 reviste de geografie și primește 73 de lei rest la o bancnotă de 100 de lei.

Cât costă o revistă, știind că prețurile lor sunt egale?

Mai întâi, haideți să identificăm necunoscuta sau necunoscutele.

Deci, pe noi ne interesează cât costă o revistă.

Dar, ce știm noi?

Știm că Mimi cumpără 3 reviste și toate cele 3 reviste au prețurile egale.

Atunci, haideți să notăm cu X prețul fiecarei reviste în parte.

Pentru că, repet, ele au prețuri egale.

Și, atunci, să citim.

Știm că Mimi cumpără 3 reviste.

Păi, cât plătește ea dacă X e prețul unei singure reviste?

Ea plătește pe tot ce cumpără 3 ori X, prețul celor 3 reviste.

Și primește 73 de lei rest la o bancnotă de 100.

Deci, ea dă vânzătorului 100 de lei.

Plătește revistele și primește care este 73 de lei.

Cum notăm acest lucru?

100 minus prețul revistelor ne dă restul, adică 73.

Și atunci, avem o ecuație din care îl obținem pe X.

Nu putem să-l separăm de la început pe 3 de X, că avem înmulțire între ele.

Și ce ne mai deranjează?

Păi, ne mai deranjează faptul că în fața lui 3 ori X avem operația de scădere, avem semnul minus.

Atunci, haideți să-l trecem pe 3 ori X peste egal cu semn schimbat și vom avea așa.

Aici, ce o să ne rămână?

Păi, haideți să vedem. Dacă 3 ori X dispare, ne rămâne 100.

Deci, vom avea 100 este egal cu 73 adunat cu 3 ori X, pentru că îl trecem peste egal.

Aici a avut semnul minus, aici va avea plus, deci plus 3 înmulțit cu X.

Acum, vrem să-l obținem într-o parte a egalului doar pe 3 ori X.

Deci, și pe 73 putem să-l trecem peste egal cu semn schimbat.

Însă, ce semn are 73?

Păi, am spus și altădată că dacă în fața unui număr nu este niciun semn, considerăm că el are semnul plus.

Uite, am făcut un plus mic aici.

Deci, peste va avea semnul minus și vom avea așa 100, din care îl scădem pe 73 și ne rămâne aici 3 ori X.

Facem calculul și 100 minus 73 ne dă 27.

Deci, avem 27 egal cu 3 înmulțit cu X.

Sau, altfel spus, putem mai întâi să scriem acest membru al egalității.

3 ori X este egal cu 27.

E același lucru.

Cu alte cuvinte, X ne dă 27 împărțit la 3, deci X este 9.

Cu alte cuvinte, Mimi plătește 9 lei pentru fiecare revistă în parte.

Deci, 9 lei costă fiecare revistă.

Putem, evident, să facem și proba.

Să vedem, 3 în 100 minus 3 înmulțit cu 9 ne dă, oare, 73?

Păi, 100 minus 27 ne dă, într-adevăr, 73.

Avem aici egalitate, deci o relație adevărată.

Un număr este cu 48 mai mic decât altul, iar suma lor este 152.

Să determinăm, să aflăm cele două numere.

Deci, trebuie să găsim două numere.

Haideți să le notăm.

Le putem nota cu X și Y sau A și B, cum dorim.

Haideți să le spunem A și B.

Un număr, haideți să-l notăm pe acesta cu A, este cu 48 mai mic decât altul, adică decât B.

Cum notăm acest lucru?

Și anume, faptul că A este cu 48 mai mic decât B.

Păi, dacă din B scădem 48, pentru că ne apare aici cu 48 mai mic, înseamnă că obținem un număr cu 48 mai mic decât B.

Deci, acest număr, B minus 48, este, de fapt, egal cu A.

Putem să notăm A egal cu B minus 48.

Și mai știm că suma celor două numere este 152.

Păi, să notăm.

A adunat cu B ne dă 152.

Folosindu-ne de aceste două relații, trebuie să-l determinăm și pe A și pe B.

Cum facem acest lucru?

Păi, ideea este următoarea.

Vrem să ajungem la o ecuație care să conțină o singură necunoscută.

Fie necunoscută A, fie necunoscută B.

Putem să facem acest lucru?

Păi, haideți să vedem.

Aici îl avem pe A exprimat în funcție de B.

A este egal, de fapt, cu B minus 48.

Atunci, în a doua relație, putem să-l înlocuim pe A cu această diferență? Sigur.

Deci, B minus 48, această diferență, o vom scrie în loc de A.

Și ce o să rezulte?

Păi, vom avea așa.

B minus 48, ce am notat aici, este, de fapt, egal cu A.

Adunat apoi, deci plus acest B, ne dă 152.

Și am obținut o ecuație cu necunoscuta B.

Haide să-l găsim pe B.

Câți de B avem mai întâi?

Avem B adunat cu B, deci 2 înmulțit cu B.

Minus 48 ne dă 152.

Trebuie să adunăm în această relație pe 48, pentru că vrem mai întâi să obținem produsul 2 ori B.

Sau, haide să-l trecem pe 48 direct, peste egal, și vom avea așa, 2 înmulțit cu B.

Deci, 2 ori B este egal cu ce aveam aici, 152, adunat cu ce am trecut peste,

deci plus 48, pentru că aici avem minus 48.

Deci, 2 înmulțit cu B ne dă, facem suma, obținem aici 200.

E ușor de văzut că B este 200 împărțit la 2, cu alte cuvinte, B ne dă 100.

Cum îl obținem acum pe A?

De ce rezultă?

Fie folosim prima relație, fie a doua.

În loc de B vom scrie numărul 100.

Dacă folosim prima relație, avem că A este egal cu 100, din care îl scădem pe 48.

Cu alte cuvinte, A ne dă 52.

Putem să facem și verificarea.

Ia să vedem, numărul A este, adică numărul 52, este cu 48 mai mic decât B, adică decât 100.

Sigur, 52 e cu 48 mai mic decât 100, că doar așa l-am obținut.

Și suma A plus B, adică 52 cu 100, ne dă 152?

Ne dă.

Asta înseamnă că cele două numere căutate sunt 52 și 100.