Funcții surjective

Vom considera o funcție reprezentată printr-o diagramă care asociază unor elevi media anuală la finalul clasei a 10-a.

Astfel, Vlad are media 8,50, Radu are media 9,70, Maria are media 10 și Oana are media 10.

Mulțimea B se numește codomeniul funcției sau mulțimea în care funcția ia valori.

Trebuie să facem distinția între mulțimea în care funcția ia valori și mulțimea valorilor funcției.

În exemplul de față, imaginea funcției sau mulțimea valorilor funcției este mulțimea formată din numerele 8,50, 9,70 și 10.

Numerele minus 2 și 100 nu fac parte din imaginea funcției întrucât ele nu pot fi mediile unor elevi.

În general, imaginea unei funcții este inclusă în codomeniu, dar există și funcții pentru care imaginea coincide cu codomeniul.

Aceste elemente din B, care nu sunt imaginele niciunui argument din A, vor face diferența dintre o funcție surjectivă și o funcție nesurjectivă.

Astfel, o funcție f definită pe A cu valori în B este surjectivă sau surjecție dacă pentru orice element y din B există un x din A astfel încât f de x egal cu y.

Mai putem spune că o funcție f este surjectivă dacă f de a sau imaginea funcției coincide cu codomeniul.

În exemplul de față, această funcție nu este surjectivă.

Haideți să vedem în continuare un exemplu de funcție surjectivă.

Să considerăm funcția f definită pe R cu valori în R f de x egal cu 3x plus 5.

Trebuie să verificăm dacă pentru orice y număr real există un x din R astfel încât f de x să fie egal cu y.

A studia surjectivitatea unei funcții înseamnă a rezolva ecuația f de x egal cu y.

Dacă această ecuație are cel puțin o soluție, atunci funcția este surjectivă.

În caz contrar, funcția nu este surjectivă.

Așadar, va trebui să rezolvăm ecuația 3x plus 5 egal cu y.

Obținem x egal cu y minus 5 supra 3.

Dacă y este număr real ales în mod arbitrar, atunci și y minus 5 supra 3 va fi număr real.

În consecință, această funcție este surjectivă.

Putem să facem și o scurtă verificare pentru a vedea dacă această valoare obținută

este într-adevăr soluție a ecuației f de x egal cu y.

Și atunci vom calcula f de x.

Avem f de y minus 5 supra 3.

Înlocuim această valoare în formula de mai sus și obținem 3 ori y minus 5 supra 3 plus 5.

Se simplifică 3, y minus 5 plus 5 este egal cu y.

Am arătat așadar că pentru orice y număr real există un x din R, astfel încât f de x este egal cu y.

Atunci când studiem surjectivitatea unei funcții, este foarte important să verificăm dacă soluția obținută

face parte din domeniul de definiție.

Iată un alt exemplu.

Să considerăm funcția f definită pe mulțimea numerelor întregi cu valori în mulțimea numerelor întregi f de x egal cu 3x plus 5.

Am ales o funcție care are aceeași formulă ca și mai sus, însă domeniul și codomeniul este mulțimea numerelor întregi.

Dacă rezolvăm ecuația 3x plus 5 egal cu y, obținem x egal cu y minus 5 supra 3.

Trebuie să verificăm dacă oricare ar fi y, număr întreg ales în mod arbitrar, valoarea y minus 5 supra 3 este număr întreg.

Să luăm câteva exemple.

Dacă y este 5, atunci x este 5 minus 5 supra 3, adică 0.

Într-adevăr, x este număr întreg.

Dacă aleg însă y egal cu 0, atunci x va fi minus 5 supra 3, dar această valoare nu este număr întreg.

În consecință, nu pentru orice y din z ales în mod arbitrar, această ecuație are soluție în z.

În consecință, funcția aceasta nu este surjectivă.

Există și o metodă grafică prin care putem studia surjectivitatea,

și anume, dacă orice paralelă la axa OX dusă prin punctele codomeniului taie graficul în cel puțin un punct,

adică ecuația f de x egal cu y are cel puțin o soluție, atunci funcția este surjectivă.

Haideți să vedem un exemplu.

Se cere să studiem surjectivitatea funcției de mai jos folosind metoda grafică.

Avem f definită pe R cu valori în R, f de x egal cu 2x minus 1 dacă x este mai mic decât 0,

și minus x plus 3 dacă x este mai mare sau egal cu 0.

Vom reprezenta grafic această funcție.

Mai întâi vom face un tabel de valori.

Avem x de la minus infinit la plus infinit.

La stânga lui 0, funcția va avea valoarea 2x 0 minus 1, adică minus 1.

Să mai alegem și o altă valoare mai mică decât 0, de exemplu minus 1.

2x minus 1 este minus 2, minus 1 minus 3.

La dreapta lui 0, funcția va fi 3.

Și să mai alegem o altă valoare pentru x mai mare ca 0, de exemplu 1.

Minus 1 plus 3 va fi 2.

Să reprezentăm într-un sistem de axe aceste puncte.

Pentru x egal cu 0, y este minus 1.

Pentru x egal cu minus 1, y este minus 3.

Să ducem o semidreaptă care trece prin aceste puncte.

Funcția f de x egal cu 2x minus 1 este o funcție crescătoare.

Punctul de coordonate 0, minus 1 nu apărține graficului funcție, deci avem o semidreaptă deschisă.

Apoi avem punctul de coordonate 0, 3.

Iată.

Și punctul de coordonate 1, 2.

Punctul de coordonate 0, 3.

Funcția minus x plus 3 este descrescătoare.

Iar punctul de coordonate 0, 3 apărține graficului.

Prin urmare, această semidreaptă este închisă.

Acesta este graficul funcției și acum trebuie să verificăm

dacă orice paralelă la axa OX dusă prin codomeniu intersectează graficul funcției în cel puțin un punct.

Dacă ducem această paralelă prin această zonă, observăm că ea intersectează graficul funcției,

însă dacă ducem paralela la axa OX prin zona aceasta, deci pentru Y mai mare decât 3,

atunci nu avem punct de intersecție între această dreaptă și graficul funcției.

Așadar, pentru Y în valor mai mare ca 3, funcția nu este surjectivă.

În concluzie, funcția f nu este surjectivă.