Funcții (definiție, terminologie)

Vrem să vedem acum ce este aceea o funcție și o vom defini și apoi vedem și ce terminologie vom folosi, ce denumiri folosim în cadrul funcțiilor.

O funcție exprimă sau realizează o corespondență între două variabile sau putem spune că o funcție realizează o corespondență între elementele a două mulțimii.

Acum când spunem că funcția realizează o corespondență între două variabile, ne referim la faptul că dacă ni se dă, de exemplu, o variabilă, să o notăm cu X,

atunci, printr-o anumită lege sau regulă, o să scriu aici, printr-o regulă sau lege, se obține o altă variabilă, să o notăm cu Y și clar, această variabilă Y depinde de X,

pentru că, iată, ne intră variabila X, printr-o lege de transformare, să-i spunem așa, printr-o anumită regulă de calcul, se obține variabila Y, care depinde de ce a intrat, adică depinde de X.

Acum, ca să arătăm că Y depinde de X, putem să trecem aici în paranteză XY de X. Putem să folosim în locul X și Y ce litere vrem, însă să știți că, în general, se folosește aici F de X,

deci, valoarea care se obține se notează cu F de X și chiar o să șterg pe Y de X, dar se folosește destul de des și Y de X și, pentru moment, o să lăsăm F de X. Bun, și avem acum o corespundență între două variabile.

Haideți să dăm concret un exemplu de funcție, deci avem variabila X, o notăm tot cu X, iar regula sau legea este aceasta X plus 4, deci ne intră variabila X, aici avem variabila, iată-l pe X,

și prin regula dată aici, adică prin X plus 4, se obține o altă variabilă și anume F de X și chiar o să șterg și o să scriem aici că regula sau legea, pentru exemplu nostru, este X, haide să scriem tot cu alb, este X plus 4.

Bun, și concret să facem câteva calcule, dacă în locul X trecem valoarea 2, de exemplu, intră numărul 2, prin această lege, ce vom avea, în locul X trecem 2, deci vom avea 2 adunat cu 4 și vom obține cât,

păi 2 cu 4 ne dă 6, adică F de ce a intrat, adică F de 2 este 6. Alt exemplu, să luăm acum numărul 5, a intrat valoarea 5, prin această lege sau regulă, cum transformăm, păi din 5 vom avea 5 adunat cu 4 și rezultatul pe care îl obținem este 9,

deci vom obține aici 9 sau dacă intră 30, vom obține, prin această transformare, avem aici X plus 4, adică 30 adunat cu 4 și o să ne dea valoarea 30 și 4, deci a intrat o variabilă X și am obținut F de X, iată a intrat numărul 2,

prin această transformare l-am obținut pe 6. Evident că în exerciții nu o să folosim această scriere, dar vom folosi aceste notații, deci dacă lui X i-am dat valoarea 2, atunci F de 2 cu cât este egal?

Păi în locul lui X trecem 2 și aici avem 2 adunat cu 4 și rezultatul este 6, iată F de 2 ne dă 6, F de ce a intrat, adică de 2 ne-a dat 6, nu am scris nimic nou, dacă X este 5, cât va fi F de 5?

Păi ne uităm la lege, F de 5 este 5, deci notăm 5 adunat cu 4 și o să obținem 9, F acum de 30 egal cu 30, deci egal cu 30 adunat cu 4 și rezultatul este 30 și 4.

Deci astfel se realizează corespondența între două variabile. Ne-a intrat variabila X, l-am obținut pe F de X și valorile funcției F în aceste numere 2, 5 și 30 sunt acestea scrise cu albastru.

Acum trebuie să stabilim și mulțimea în care variabila ia valori. Aici noi am avut pentru X, am dat valorile 2, 5 și 30. Păi putem să considerăm chiar această mulțime, avem 2, 5 și 30 și o să notăm astfel,

F, două puncte și spunem că funcția F, că așa am notat-o F, este definită pe această mulțime în care variabila ia valori și duce această mulțime, să spunem așa, într-o altă mulțime. Aici trebuie să avem mulțimea care conține valorile returnate de funcție.

Păi funcția F ce valori returnează? Ce am scris aici cu albastru? 6, 9 și 34. Asta înseamnă că mulțimea pe care o vom nota aici trebuie neapărat să conțină aceste numere 6, 9 și 34 și putem să trecem aici de exemplu 6, 8, 9 și 34.

Această mulțime conține aceste 3 numere sau putem să scrie mulțimea formată doar din aceste 3 numere 6, 9 și 34 sau am putea să scrie mulțimea R, că mulțimea R conține numerele 6, 9, 34.

Dar dacă am scrie doar pe 6 și pe 9, mai e corect? Nu, pentru că funcția noastră returnează și valoarea 34, deci această mulțime trebuie neapărat să conțină toate aceste valori, deci aici nu e corect.

Și o să păstrez această formă ca să fie clar că ce avem aici, această mulțime, nu trebuie neapărat să fie mulțimea returnată de funcție formată doar din aceste numere, ci această mulțime trebuie doar să conțină valorile pe care funcția le returnează.

Deci o să șterg aici și acum haide să ne ocupăm puțin de denumirile care se folosesc. Mulțimea în care variabila ia valori se numește, adică această mulțime, se numește domeniu sau domeniu de definiție, aici variabila ia valori,

iar cea de-a doua mulțime, aceasta, se numește codomeniu, este mulțimea în care funcția ia valori, iar legea care este dată aici, această regulă de calcul, se numește lege de corespondență.

Aici noi am descris funcția printr-o formulă, însă o funcție se poate descrie și printr-un desen și în cazul nostru putem să folosim un asemenea desen, aici vom trece domeniul funcției, adică mulțimea în care x ia valori,

din care variabila ia valori, iar aici vom trece codomeniul, mulțimea în care funcția ia valori.

Ce avem la domeniu? Avem aici 2, 5 și 30, să le trecem, avem numerele 2, 5 și 30, iar codomeniul avem 6, 8, 9 și 34.

Funcția f, ce corespondență realizează? Numărul 2 merge în 6 pentru că f de 2 ne dă 6, deci venim aici și notăm 2 merge în 6, 5 merge în 9, iar 30 merge în 34.

Din acest desen ce se vede? Că de fapt f-o funcție realizează o corespondență între elementele a două mulțimii, de aceea am spus la început că funcția poate fi privită și ca o corespondență între două variabile, cum am avut aici, sau ca o corespondență între elementele a două mulțimii.

Însă, foarte mare atenție! Nu orice corespondență este o funcție. Ca să avem într-adevăr o funcție, corespondența trebuie făcută astfel încât fiecărui element din prima mulțime, adică din domeniu, să-i corespundă un singur element în a doua mulțime, adică în codomeniu.

Și aici este îndeplinită această condiție. Fiecare element din prima mulțime are corespondent în cea de-a doua și acest corespondent e unic, adică 2 merge doar în 6, nu merge și în 6 și în 8, sau să meargă și în 6 și în 9. Dacă era așa, atunci nu mai aveam funcție.

Și acum, haideți să vedem câteva exemple, să vedem care dintre ele descriu o funcție, care nu și să vedem de ce.

Să vedem dacă aici avem o funcție. Avem numerele 1, 8, 13 în a doua mulțime, 2 și 5. 1 merge în 2, 13 îl are ca și corespondent pe 5, însă 8 nu merge în niciun număr din a doua mulțime.

Deci avem sau nu avem o funcție? Nu este funcție pentru că 8 nu are niciun corespondent în cea de-a doua mulțime. Ca să fie funcție, trebuia ca fiecare element din prima mulțime să aibă un corespondent în cea de-a doua.

Dar aici, 0 și 3 și 1 și 4. 0 merge în 1, 3 merge în 1. Poate unii dintre voi sunt tentați să spună că nici în această situație nu avem o funcție, pentru că și 0 și 3 merg în 1.

Însă asta este fals. Ca să fie funcție, trebuie ca fiecare element din prima mulțime să aibă un singur corespondent în cea de-a doua. Și acest lucru se întâmplă aici. Iată, 0 are un singur corespondent, îl are pe 1. 3 are și el tot un singur corespondent, îl are pe 1. Nu are importanță faptul că și 0 și 3 au același corespondent.

Deci aici avem într-adevăr o funcție. Următorul exemplu, avem 0, 3 și aici 1, 4 și 2. Păi 0 are ca și corespondenți și pe 1 și pe 4. Din start, ce avem aici nu este funcție, pentru că fiecare element din această mulțime trebuie să aibă un singur corespondent în cea de-a doua.

Iar 0 are 2 corespondenți. Deci notăm aici că nu este funcție, pentru că elementul 0 are 2 corespondenți.

Ultimul exemplu, avem aici o funcție, numai este dată prin desen, funcția anotată G, definită pe mulțimea. Maria, Dan, Alex, avem aici numele a trei persoane cu valori în L, unde L este mulțimea formată din lunile anului.

Ianuarie, februarie, martie și așa mai departe, decembrie. G de X este luna de naștere a lui X, aceasta este legea. Cu alte cuvinte, G de Maria, ce înseamnă? Înseamnă luna de naștere a Mariei.

G de Dan este luna de naștere a lui Dan și așa mai departe. Este aceasta o funcție? Fiecare om se naște într-o anumită lună, așa și Maria, Dan și Alex au un singur corespondent în această mulțime, pentru că nu putem să spunem că Maria s-a născut și în ianuarie și în februarie.

Însă putem spune că Maria s-a născut, de exemplu, în ianuarie, Dan s-a născut în martie, iar Alex poate că s-a născut tot în ianuarie. Deci, de fapt, avem o funcție pentru că fiecare element din prima mulțime are un singur corespondent în cea de-a doua. Deci, haideți să notăm că avem aici o funcție.

Prin urmare, ca să facem un rezumat, o funcție poate fi descrisă printr-un desen, și mare atenție ca legea de corespondență să fie corectă, ca să avem într-adevăr o funcție, sau printr-o formulă, iată cum am avut prima dată la primul exemplu, sau să știți că putem să exprimăm, să descriem o funcție și printr-un tabel.

De exemplu, avem aici x și vom nota valorile lui x pe această linie, iar aici valorile returnate de funcție, adică f de x, pe a doua linie.

Pe prima linie vom trece valorile din domeniu, adică 2, 5 și 30, iar pe a doua linie, valorile pe care le returnează funcția, adică aici vom avea f de 2, care ne dă 6, aici sub 5 vom avea f de 5, adică 9, iar sub 30 vom avea f de 30, adică 34.

Deci, o funcție poate fi descrisă prin una dintre aceste variante.