Funcții monotone (teorie)

Fie funcția

$f:A\to B, A, B\subseteq \mathrm{ℝ}.$

Definiții: 

• Funcția f este crescătoare pe A dacă:

$\forall x_1, x_2\in A, x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right)\le f\left(x_2\right).$

• Funcția f este strict crescătoare pe A dacă:

$\forall x_1, x_2\in A, x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right).$

•  Funcția f este descrescătoare pe A dacă:

$\forall x_1, x_2\in A, x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right)\ge f\left(x_2\right).$

•  Funcția f este strict descrescătoare pe A dacă:

$\forall x_1, x_2\in A, x_1<x_2 \Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right).$

• Funcția f este monotonă pe A dacă este crescătoare sau descrescătoare.

Modalități de a studia monotonia unei funcții:

$Fie f:A\to B, x_1, x_2\in A, x_1<x_2.$

1. Calculăm diferența $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$ și o comparăm cu zero:

$$\begin{gathered} a) f(x_1)-f(x_2)<0\Rightarrow f strict crescătoare \\ b) f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0\Rightarrow f strict descrescătoare. \end{gathered}$$

2. Studiem semnul raportului de mai jos, numit raport de variație a funcției:

$\boxed{R=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}} x_1, x_2\in A, x_1\ne x_2.$

$$\begin{gathered} a) R>0\Rightarrow f strict crescătoare \\ b) R<0\Rightarrow f strict descrescătoare. \end{gathered}$$