Inversa unei funcții

Dacă avem o funcție f definită pe a cu valori în b bijectivă, înseamnă că pentru fiecare element y din b există un unic element x în a, astfel încât f de x egal cu y.

În aceste condiții, am putea construi o altă funcție care duce elementele din b în mulțimea a, funcție care se va numi inversa funcției f.

Am putea nota această funcție cu g, de exemplu, însă notația consacrată pentru inversa unei funcții este f la minus 1.

f se numește funcție directă, iar f la minus 1 este funcția inversă.

Astfel, domeniul de definiție pentru funcția inversă este codomeniul funcției directe, iar codomeniul funcției inverse este domeniul funcției directe.

Este foarte important ca funcția f să fie bijectivă pentru a putea construi inversa acesteia.

Iată, dacă funcția f nu este injectivă, de exemplu, atunci am fi în situația în care două argumente distincte din a ar avea aceeași imagine în b,

iar dacă aș vrea să construiesc o funcție de la b cu valori în a,

aș fi în situația în care un element din domeniu ar avea două imagini în codomeniu,

iar acest aspect ar fi în contradicție cu noțiunea de funcție.

Noi știm că o funcție asocează fiecărui element din domeniu un singur element în codomeniu.

Dacă funcția f nu ar fi surjectivă, aș avea elemente în b care nu sunt imaginele niciunui argument din a,

iar acest lucru ar fi de asemenea în contradicție cu noțiunea de funcție.

De aceea este foarte important ca o funcție să fie bijectivă pentru a putea construi inversa ei.

Așadar, o funcție este inversabilă dacă și numai dacă f este bijectivă.

Am văzut că la funcția inversă se inversează domeniul cu codomeniul

și acum haideți să vedem cum stabilim legea de corespondență.

Să considerăm funcția f, definită pe R cu valori în R, f de x egal cu 2x minus 1.

Ne propunem să verificăm dacă această funcție este bijectivă și să construim inversa acesteia.

Pentru studiul bijectivității propun metoda grafică.

Am făcut un tabel de valori. Iată!

Am ales două valori arbitrare pentru x.

Pentru valoarea 0, f de 0 este minus 1, iar pentru x egal cu 2, f de 2 este egal cu 3.

Să trasăm și în graficul acesteia.

Graficul este o dreaptă.

Observăm că oriunde aș duce o paralelă la axa OX, aceasta va intersecta graficul funcției într-un singur punct.

Prin urmare, funcția este bijectivă.

De fapt, orice funcție de gradul 1 este funcție bijectivă.

Funcția inversă, f la minus 1, va fi definită pe R cu valori în R.

Inversăm domeniul cu codomeniul, însă în această situație ele coincid.

Și să vedem ce lege de corespondență va avea f la minus 1.

Dacă în funcția directă notez cu y f de x, obținem y egal cu 2x minus 1.

Putem observa că pentru a obține imaginea unui argument x din domeniu,

trebuie să înmulțim numărul x cu 2 și apoi să scădem 1.

În funcția inversă, va trebui mai întâi să adunăm valoarea 1 și apoi să împărțim rezultatul la 2.

Cu alte cuvinte, trebuie să le exprimăm pe x în funcție de y.

Deci în funcția directă, y este expresie de x, iar în funcția inversă, x va fi o expresie de y.

Obținem 2x egal cu y plus 1, x egal cu y plus 1 supra 2.

Aceasta va fi legea de corespondență pentru inversa funcției f.

Avem f la minus 1 de y egal cu y plus 1 supra 2.

În locul variabilei y, putem să punem orice altă literă,

însă noi suntem obișnuiți ca variabila funcției să fie notată cu x,

așadar vom scrie f la minus 1 de x egal cu x plus 1 supra 2.

Aceasta va fi legea de corespondență pentru inversa funcției f.

F la minus 1 este funcția definită pe R cu valori în R.

F la minus 1 de x este egal cu x plus 1 supra 2.

Să vedem și graficul acestei funcții. Iată tabelul de valori.

Așa cum ne așteptam, valoarea minus 1 are imaginea 0, iar 3 are imaginea 2.

Dacă trasăm și graficul acestei funcții,

putem observa că cele două grafice sunt simetrice față de prima bisectoare,

prima bisectoare fiind dreapta de ecuație y egal cu x.

Aceasta este o proprietate importantă a graficului funcției inverse.

Întotdeauna graficul funcției directe și al funcției inverse

vor fi simetrice față de prima bisectoare.

Să vedem în continuare cum stabilim inversa unei funcții având două forme.

Vom rezolva următorul exercițiu să se arate că funcția f este bijectivă

și să se calculeze inversa ei.

Avem f definită pe r cu valori în r,

f de x egal cu 3x minus 7 dacă x este mai mic sau egal cu 3,

și x minus 1 dacă x este mai mare ca 3.

Pentru studiul bijectivității propun metoda grafică.

Să facem tabelul de valori.

Pentru x mai mic sau egal cu 3 funcția este 3x minus 7.

Alegem pentru x valoarea 3 și obținem 3 ori 3 nouă minus 7, 2.

La dreapta lui 3, pentru x egal cu 3 avem 3 minus 1 egal cu 2.

Punctul de coordonate 3, 2 nu apăține graficului funcției

și atunci vom avea o paranteză rotundă.

Și mai alegem alte două valori.

O valoare mai mică decât 3, de exemplu 2.

f de 2 va fi 3 ori 2, 6 minus 7 egal minus 1.

Și valoarea 4 mai mare decât 3.

4 minus 1 este egal cu 3.

Să vedem cum arată graficul acestei funcții.

Iată, observăm că oriunde aș duce o paralelă la axa ox,

aceasta intersectează graficul funcției în exact un punct,

în consecință funcția este bijectivă,

prin urmare funcția este inversabilă.

Și acum să determinăm inversa funcției f.

Și funcția inversă va fi o funcție cu două forme.

Mai întâi studiem primul caz,

cazul în care x este mai mic sau egal decât 3.

Funcția directă f de x este egal cu 3x minus 7.

Rezolvăm ecuația 3x minus 7 egal cu y.

x va fi egal cu y plus 7 supra 3.

Și acum să vedem în ce interval este situat y.

Dacă x este mai mic sau egal cu 3,

pentru a-l obține pe y înmulțim inegalitatea cu 3,

avem 3x mai mic sau egal decât 9.

Acum scădem 7 și obținem 3x minus 7

este mai mic sau egal decât 2.

Am obținut astfel că y este mai mic sau egal decât 2.

Așadar, pentru y mai mic sau egal decât 2,

x este y plus 7 supra 3.

Deci f la minus 1 de x.

Revenim la notația cu x.

Este x plus 7 supra 3

dacă x este mai mic sau egal decât 2.

Și vom completa imediat și a doua forma funcției.

Să vedem ce se întâmplă dacă x este mai mare ca 3.

Funcția directă este f de x egal cu x minus 1.

Rezolvăm ecuația x minus 1 egal cu y

și le exprimăm pe x în funcție de y.

Obținem x egal cu y plus 1.

Să vedem ce valori poate lua y.

Dacă x este mai mare ca 3,

scădem 1 din ambii membrii și obținem x minus 1 mai mare ca 2.

Deci y este mai mare ca 2.

Am obținut astfel că pentru y mai mare ca 2,

x este egal cu y plus 1.

Deci f la minus 1 de y este y plus 1

și dacă revenim la notația cu x,

putem concluziona că f la minus 1 de x

este egal cu x plus 1

pentru x mai mare ca 2.

Aceasta este inversa funcției f.

Dacă trasăm și graficul acesteia, iată-l,

putem observa că graficele acestor două funcții

sunt simetrice față de prima bisectoare.

Și la final aș vrea să vedem

cum determinăm inversa unei funcții de gradul al doilea.

Să se arate că funcția f este inversabilă

și apoi determinați inversa ei.

Nu am scris domeniul și codomeniul acestei funcții

pentru că aș vrea să determinăm noi domeniul și codomeniul

astfel încât funcția să fie inversabilă.

f de x este egal cu x la a doua plus 2x minus 3.

Dacă funcția ar fi definită pe R cu valori în R,

atunci graficul acesteia ar arăta așa,

iar dacă aș duce o paralelă la axa OX prin această zonă,

aceasta ar intersecta graficul funcției în două puncte.

În consecință, funcția nu ar fi bijectivă.

Însă dacă aș lua în considerare doar o jumătate din această parabolă,

de exemplu jumătatea din partea dreaptă,

atunci ducând o paralelă la axa OX,

aceasta ar intersecta graficul funcției într-un singur punct.

Deci funcția ar fi bijectivă,

dar cu condiția ca Y să nu fie mai mic decât Y vârf.

Deci condomeniul va cuprinde acele valori ale lui Y

mai mari sau egale decât Y vârf.

Pentru început, haideți să stabilim coordonatele vârfului.

X vârf este minus B supra 2A

egal cu minus 2 supra 2

și egal cu minus 1.

Așadar, X trebuie să ia valori mai mari sau egale decât minus 1,

deci domeniul de definiție va fi intervalul minus 1 infinit.

Și acum să calculăm Y vârf.

Y vârf este minus delta supra 4A

egal cu minus 2 la a doua

minus 4 ori minus 3 supra 4.

4 plus 12 este 16 supra 4

deci Y vârf va fi minus 4.

În consecință, codomeniul va fi intervalul minus 4 infinit.

În aceste condiții, funcția F este bijectivă, deci inversabilă

și acum putem să determinăm inversa acesteia.

Avem relația X la a doua plus 2X minus 3 egal cu Y.

Ne propunem să le exprimăm pe X în funcție de Y.

Vom avea X la a doua plus 2X minus 3 minus Y egal cu 0.

Delta este 2 la a doua minus 4

înmulțit cu minus 3 minus Y

egal cu 4 plus 12 plus 4Y

egal cu 16 plus 4Y

Dă factor comun pe 4 și obținem 4 pe lângă 4 plus Y.

X1 este minus B adică minus 2

plus radical din delta.

Avem 2 radical din Y plus 4 supra 2

egal cu radical din Y plus 4 minus 1

și X2 va fi minus radical din Y plus 4 minus 1.

Dintre aceste două soluții obținute, o vom alege pe cea care face parte din intervalul minus 1 infinit.

Radical din Y plus 4 este mai mare sau egal cu 0.

În consecință, X1 va fi mai mare sau egal decât minus 1.

X2 nu aparține intervalului minus 1 plus infinit.

În consecință, avem F la minus 1

definită pe intervalul minus 4 infinit

cu valori în intervalul minus 1 infinit.

F la minus 1 de X va fi egal cu radical din X plus 4 minus 1.

Iată și graficul funcției inverse.

La final, este bine să rețineți că atunci când compunem o funcție cu inversa ei,

se obține întotdeauna funcția identică.