Funcții mărginite (teorie)

Fie funcția:

$f:A\to B, A, B\subseteq \mathrm{ℝ}.$

Definiție. Imaginea funcției f (sau mulțimea valorilor funcției f) este mulțimea:

$\mathrm{Im}f=f\left(A\right)=\left\{f\left(x\right) \overline{) }x\in A \right\}=\left\{y\in B \overline{) }\exists x\in A a. î. f\left(x\right)=y\right\}\subseteq B.$

Definiție. Funcția f este mărginită dacă mulțimea valorilor funcției este inclusă într-un interval de numere reale.

Funcția f este mărginită dacă:

$$\begin{gathered} \bullet \exists a, b\in \mathrm{ℝ} a. î. a\le f\left(x\right)\le b, \forall x\in A. \\ \bullet \exists a, b\in \mathrm{ℝ} a. î. Imf\subset \left[a,b\right] \\ \bullet \exists M>0 a. î. \left|f\left(x\right)\right|\le M, \forall x\in A. \end{gathered}$$

Observație. Dacă o funcție este mărginită, atunci graficul acesteia este cuprins între două drepte paralele cu axa Ox.