Funcții mărginite (teorie)

Înainte de a discuta despre funcții mărginite, aș vrea să reamintesc puțin noțiunea de imagine a unei funcții,

pe care ați mai întâlnit-o și în gimnaziu.

Dacă avem o funcție f definită pe a cu valori în b, unde a și b sunt submulțimi ale lui r,

atunci știm din definiția unei funcții că fiecărui element x din a îi asociem prin funcția f

cu un unic element y din b, unde y reprezintă valoarea funcției calculată în punctul x.

y se mai numește și imaginea lui x prin funcția f.

Atunci mulțimea tuturor imaginilor elementelor din a,

poartă denumirea de imaginea funcției f, se notează cu imf sau se mai poate nota și cu f de a.

Această mulțime este inclusă în mulțimea b.

Să reținem așadar că imaginea unei funcții este o submulțime a codomeniului funcției f.

Imaginea funcției f se mai poate scrie și astfel,

mulțimea formată din acele elemente y din b cu proprietatea că există x element din a,

astfel încât f de x egal cu y.

Sublinez încă o dată faptul că f de a este o submulțime a codomeniului funcției,

așadar trebuie făcută distinția între imaginea funcției și codomeniul acestea.

Să vedem un exemplu.

Fie funcția f definită pe r cu valori în r,

f de x egal cu minus 1 dacă x este pozitiv și 1 dacă x este negativ.

Atunci imaginea funcției f este mulțimea valorilor funcției, unde x apartine lui r.

Din moment ce funcția poate lua doar aceste două valori, minus 1 și 1,

înseamnă că imaginea funcției f este chiar mulțimea formată din elementele minus 1 și 1,

iar aceasta este inclusă în r.

Așadar să facem distinție între imaginea funcției și codomeniul acesteia.

Mai exact, între imagine și codomeniu există o relație de incluziune.

Să vedem și o interpretare geometrică.

Să reprezentăm într-un sistem cartezian XY graficul unei funcții.

Avem sistemul XY și să presupunem că avem o funcție al cărei grafic arată așa.

Elementele din mulțimea A se reprezintă pe axa OX, iar elementele din mulțimea B se reprezintă pe axa OY.

Așadar, pentru a reprezenta pe axa OX mulțimea A, ar trebui să proiectăm graficul acestei funcții pe axa OX.

Așadar, vom proiecta graficul funcției pe axa OX.

Putem să proiectăm și câteva puncte intermediare.

Și acum, unind toate aceste proiecții, obținem mulțimea A, domeniul de definiție al funcției.

Pentru a găsi acum mulțimea valorilor funcției F, adică mulțimea F de A, proiectăm graficul funcției pe axa OY.

Putem să proiectăm și câteva puncte intermediare.

Și unind aceste proiecții, obținem imaginea funcției F.

Iată, această mulțime este F de A.

Dacă notăm aceste două numere de pe axa OY cu a mic și b mic, observăm așadar că imaginea funcției F sau F de A este intervalul închis AB.

Aceasta a fost o interpretare geometrică și acum haideți în continuare să discutăm despre funcții mărginite.

Evident că există o strânsă legătură între noțiunea de funcție mărginită și cea de imagine a funcției.

Să vedem așadar în continuare definiția funcțiilor mărginite.

Fie F definită pe A cu valori în B, o funcție, atunci F este mărginită dacă există două numere reale A și B,

astfel încât A să fie mai mic sau egal decât F de X, mai mic sau egal cu B, oricare ar fi X din A.

Așadar, mulțimea valorilor funcției F este o mulțime mărginită cuprinsă între numerele A și B.

Această definiție se mai poate scrie și astfel, există două numere reale A și B, astfel încât imaginea funcției F să fie inclusă în intervalul închis AB.

Sau, o a treia definiție echivalentă, există M număr pozitiv, astfel încât modul din F de X să fie mai mic sau egal cu M, oricare ar fi X din A.

Să vedem în continuare și interpretarea geometrică.

Am reprezentat cu galben graficul unei funcții într-un sistem de axe X o Y.

Proiectând graficul funcției pe axe OX, obținem domenul de definiție al funcției, adică mulțimea A.

Proiectând graficul acestei funcții pe axe OY, obținem mulțimea valorilor funcției F sau imaginea funcției F.

Dacă F este funcție mărginită, atunci există două numere A și B situate pe axe OY, iată-le,

astfel încât mulțimea valorilor funcției F să fie cuprinsă între A și B.

Cu alte cuvinte, funcția F este mărginită dacă graficul funcției este cuprins între două drepte paralele cu axe OX.

Aceste două drepte au ecuațiile Y egal cu A și Y egal cu B.

Așadar, dacă funcția F este mărginită, are loc această relație.

Imaginea funcției F este inclusă în intervalul închis AB, unde A și B sunt numere pe axe OY.

În secvența următoare vom face câteva aplicații în care vom studia mărginirea unor funcții.