•  a se numește numărător și arată câte părți (unități) am luat în considerare
•  b se numește numitor și arată în câte părți egale a fost împărțit un întreg.

O fracție este un număr de forma $\frac{a}{b}$ care exprimă una sau mai multe părți dintr-un întreg $\left(a,b\in \mathrm{\mathbb{N}}, b\ne 0\right).$.

• a se numește numărător și arată câte părți (unități) am luat în considerare
• b se numește numitor și arată în câte părți egale a fost împărțit un întreg.

 Fracția $\frac{a}{b}$ reprezintă câtul neefectuat a:b.

$\frac{a}{b}=a:b$

Mulțimea numerelor raționale pozitive:

${\mathrm{\mathbb{Q}}}_{+}=\left\{\overline{)\frac{a}{b}} a,b\in \mathrm{\mathbb{N}}, b\ne 0\right\}$

1. Fracțiile care au numărătorul mai mic decât numitorul se numesc fracții subunitare.

$ex: \frac{3}{4}$

2. Fracțiile care au numărătorul egal cu numitorul se numesc fracții echiunitare.

$ex: \frac{4}{4}$

3. Fracțiile care au numărătorul mai mare decât numitorul se numesc fracții supraunitare.

$ex: \frac{5}{4}$

Pentru a scoate întregii dintr-o fracție împărțim numărătorul la numitor. Câtul obținut va reprezenta numărul de întregi, iar restul va fi noul numărător (numitorul se păstrează).

$$\begin{gathered} a:b=c rest r \\ \frac{a}{b}=c\frac{r}{b} \end{gathered}$$

Exemplu:

$$\begin{gathered} 30:7=4 rest 2 \\ \frac{30}{7}=4\frac{2}{7} \end{gathered}$$

Pentru a introduce întregii în fracție aplicăm formula:

$a\frac{b}{c}=\frac{a·c+b}{c}$

Exemplu:

$2\frac{6}{9}=\frac{2·9+6}{9}=\frac{24}{9}$

Pentru a scădea două fracții cu același numitor, se scad numărătorii, iar numitorul se copiază:

$\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}$

$Ex: \frac{13}{9}-\frac{5}{9}=\frac{13-5}{9}=\frac{8}{9}$

Pentru a aduna două sau mai multe fracții cu același numitor, se adună numărătorii, iar numitorul se copiază:

$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$

$Ex: \frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{3+2}{8}=\frac{5}{8}$

Pentru a afla o fracție dintr-un număr natural, înmulțim fracția cu numărul respectiv:

$$\begin{gathered} \frac{a}{b} din c este : \\ \frac{a}{b}·c=\frac{a·c}{b} \end{gathered}$$

Pentru a afla o fracție dintr-o altă fracție, înmulțim cele două fracții astfel: se înmulțesc numărătorii între ei și numitorii între ei:

$$\begin{gathered} \frac{a}{b} din \frac{c}{d} este: \\ \frac{a}{b}·\frac{c}{d}=\frac{a·c}{b·d} \end{gathered}$$

Transformarea fracțiilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 în fracții zecimale

Pentru a transforma o fracție ordinară cu numitorul putere a lui 10 în fracție zecimală vom proceda astfel: scriem numărul de la numărător și punem virgula, de la dreapta spre stânga, după un număr de cifre egal cu exponentul lui 10 de la numitor.

Exemple:

$$\begin{gathered} \frac{2534}{1000}=2,534 \\ \frac{179}{10000}=0,0179 \end{gathered}$$

Transformarea fracțiilor zecimale în fracții ordinare

Pentru a transforma o fracție zecimală în fracție ordinară vom proceda astfel: scriem numărătorul fără virgulă, iar la numitor vom avea o putere a lui 10 cu exponentul egal cu numărul de zecimale.

Exemple:

$$\begin{gathered} 1,28=\frac{128}{100} \\ 0,008=\frac{8}{1000} \end{gathered}$$

Transformarea fracțiilor ordinare în fracții zecimale

Orice fracție ordinară al cărei numitor este un produs de puteri ale lui 2 sau 5, se poate scrie ca fracție cu numitorul putere a lui 10.

Pentru a transforma o fracție ordinară al cărei numitor este un produs de puteri ale lui 2 sau 5 în fracție zecimală, amplificăm sau simplificăm fracția cu un număr convenabil ales astfel încât sa obținem la numitor putere a lui 10. 

Exemple:

$$\begin{gathered} {}^{2)}\frac{8}{5}=\frac{16}{10}=1,6 \\ {}^{5)}\frac{7}{20}=\frac{35}{100}=0,35 \end{gathered}$$

Cifrele plasate la stânga virgulei formează partea întreagă a fracției zecimale, iar cele situate la dreapta virgulei formează partea zecimală a fracției și ele se numesc zecimale.

Exemplu: 536,7312

- partea întreagă este 536

• 6 este cifra unităților
• 3 este cifra zecilor
• 5 este cifra sutelor

- partea zecimală este 7312

• 7 este cifra zecimilor
• 3 este cifra sutimilor
• 1 este cifra miimilor
• 2 este cifra zecimilor de miimi

Transformarea fracțiilor ordinare în fracții zecimale

Orice fracție ordinară al cărei numitor este un produs de puteri ale lui 2 sau 5, se poate scrie ca fracție cu numitorul putere a lui 10.

Pentru a transforma o fracție ordinară al cărei numitor este un produs de puteri ale lui 2 sau 5 în fracție zecimală, amplificăm sau simplificăm fracția cu un număr convenabil ales astfel încât sa obținem la numitor putere a lui 10. 

Exemplu:

${}^{5)}\frac{17}{2}=\frac{85}{10}=8,5$

O altă metodă prin care putem să transformăm o fracție ordinară în fracție zecimală este împărțirea numărătorului la numitor.

Exemplu:

$\frac{17}{2}=17:2=8,5$

Orice fracție ordinară se poate scrie sub formă de fracție zecimală (finită sau infinită) împărțind numărătorul la numitor.

Fracțiile zecimale în care una sau mai multe zecimale se repetă de o infinitate de ori se numesc fracții zecimale periodice. Grupul de zecimale care se repetă se numește perioadă.

• Dacă perioada urmează imediat după virgulă, atunci fracțiile zecimale se numesc periodice simple.

Exemplu: 1,838383...=1,(83)

• Dacă perioada nu urmează imediat după virgulă (între virgulă și perioadă mai există și alte cifre) atunci fracțiile zecimale se numesc periodice mixte. Zecimalele care nu se repetă formează partea neperiodică.

Exemplu: 4,83333...=4,8(3)

• Dacă o fracție ordinară ireductibilă conține la numitor doar puteri ale lui 2 sau 5, prin transformarea acesteia în fracție zecimală se obține o fracție zecimală finită.

​Exemplu:

$\frac{27}{4}=6,75$

• Dacă o fracție ordinară ireductibilă nu conține la numitor puteri ale lui 2 sau 5, prin transformarea acesteia în fracție zecimală se obține o fracție zecimală periodică simplă.

Exemplu:

$\frac{28}{3}=9,\left(3\right)$

• Dacă o fracție ordinară ireductibilă conține la numitor pe lângă alți factori și puteri ale lui 2 sau 5, prin transformarea acesteia în fracție zecimală se obține o fracție zecimală periodică mixtă.

​Exemplu:

$\frac{25}{6}=4,1\left(6\right)$

Pentru a aduna două sau mai multe fracții zecimale finite, se așază fracțiile una sub alta, astfel încât să avem virgula sub virgulă, partea întreagă să fie sub partea întreagă, zecimile sub zecimi, sutimile sub sutimi, etc. Apoi folosim aceleași reguli ca și la adunarea numerelor naturale, iar virgula se coboară la rezultat.

Exemplu:

$$\begin{gathered} 18,05 + \\ \underline{ 3,2583} \\ 21,3083 \end{gathered}$$

Proprietățile adunării numerelor zecimale

Adunarea fracțiilor zecimale are aceleași proprietăți ca și adunarea numerelor naturale.

1. Comutativitatea: a+b=b+a

exemplu: 2,15+3,4=3,4+2,15

2. Asociativitatea: (a+b)+c=a+(b+c)

exemplu: (1,2+5,43)+2,11=1,2+(5,43+2,11)

3. Elementul neutru al adunării este numărul 0: a+0=0+a=a

exemplu: 8,3+0=0+8,3=8,3

Pentru a scădea două fracții zecimale finite, se așază fracțiile una sub alta, astfel încât să avem virgula sub virgulă, partea întreagă să fie sub partea întreagă, zecimile sub zecimi, sutimile sub sutimi, etc. Apoi folosim aceleași reguli ca și la scăderea numerelor naturale, iar virgula se coboară la rezultat. Dacă e nevoie, vom adăuga zerouri nesemnificative astfel încât să avem același număr de zecimale.

Exemplu:  34,5-19,685=14,815

$$\begin{gathered} 34,500- \\ \underline{19,685} \\ 14,815 \end{gathered}$$

Două fracții zecimale finite se înmulțesc ca două numere naturale, iar rezultatul are atâtea zecimale câte au împreună cele două fracții.

Exemplu: 

$1,2·5,38=6,456$

Pentru a înmulți o fracție zecimală finită cu o putere a lui 10 mutăm virgula spre dreapta peste atâtea cifre câte zerouri are acea putere a lui 10. Dacă nu avem suficiente zecimale, mai adăugăm zerouri.

Exemplu:

$1,254·10000=12540$

Dacă a este o fracție zecimală finită, atunci:

$$\begin{gathered} a^n=\underbrace{a·a·a·...·a}, n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*} \\ n ori \end{gathered}$$

Exemple:

$$\begin{gathered} 1,4^2=1,4·1,4=1,96 \\ 0,5^3=0,5·0,5·0,5=0,125 \end{gathered}$$

Reguli de calcul cu puteri

$a^m·a^n=a^{m+n}$

$a^m:a^n=a^{m-n}, a\ne 0, m\ge n$

${\left(a^m\right)}^n=a^{m·n}$

$a^m·b^m=(a·b{)}^m$

$a^m:b^m=(a:b{)}^m, b\ne 0$

Observații:

$$\begin{gathered} a^1=a \\ {a}^0=1, a\ne 0 \\ {0}^0 nu are sens \end{gathered}$$

A. Împărțirea unui număr natural la un număr zecimal

Înmulțim deîmpărțitul și împărțitorul cu aceeași putere a lui 10, astfel încât împărțitorul să fie număr natural, apoi se continuă împărțirea ca și la numere naturale.

Exemplu:  42:1,25=4200:125=33,6

B. Împărțirea unui număr zecimal la un număr natural

Împărțim mai întâi partea întreagă la numărul natural, apoi adăugăm virgula la cât și continuăm împărțirea ca și la numere naturale.

Exemplu: 121,74:5=24,348

Observație. Împărțirea unei fracții zecimale finite la o putere a lui 10 se efectuează mutând virgula spre stânga peste atâtea cifre câte zerouri are acea putere a lui 10.

Exemplu:  13,49:10=1,349

C. Împărțirea unui număr zecimal la un număr zecimal

Mai întâi înmulțim deîmpărțitul și împărțitorul cu aceeași putere a lui 10, astfel încât împărțitorul să fie număr natural. 

Apoi împărțim partea întreagă la numărul natural, adăugăm virgula la cât și continuăm împărțirea ca și la numere naturale.

Exemplu:  14,67:0,2=146,7:2=73,35

Ordinea efectuării operațiilor cu fracții zecimale este aceeași ca și la numere naturale:

• mai întâi calculăm ridicările la putere (operații de ordinul III)
• apoi efectuăm înmulțirile și împărțirile (operații de ordinul II)
• la final efectuăm adunările și scăderile (operații de ordinul I).

Dacă într-un exercițiu avem și paranteze, efectuăm mai întâi operațiile din parantezele rotunde, apoi operațiile din parantezele pătrate, apoi din acolade.

Media aritmetică a două fracții zecimale finite se calculează împărțind suma acestora la 2:

$m_a=(a_1+a_2):2$

Media aritmetică a n fracții zecimale finite se calculează împărțind suma acestora la n:

$m_a=(a_1+a_2+...+a_n):n$,

Media aritmetică a n numere raționale este cuprinsă între cel mai mic și cel mai mare număr. Astfel, dacă:

$a_1\le a_2\le ...\le a_n$

atunci are loc relația:

$a_1\le m_a\le a_n$

Fracții echivalente

Două fracții:

 $\frac{a}{b}, \frac{c}{d} (b\ne 0, d\ne 0)$ 

se numesc fracții echivalente dacă ad=bc și scriem:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

A amplifica o fracție înseamnă a-i înmulți și numărătorul și numitorul cu un număr natural nenul.

Exemplu:

${}^{3)}\frac{5}{7}=\frac{5·3}{7·3}=\frac{15}{21}$

A simplifica o fracție înseamnă a-i împărți numărătorul și numitorul cu un divizor comun al acestora.

Exemplu:

${\frac{10}{15}}^{(5}=\frac{10:5}{15:5}=\frac{2}{3}$

Observație. Amplificând sau simplificând o fracție cu un număr natural nenul se obține o fracție echivalentă cu fracția dată.

Pentru a putea efectua adunarea sau scăderea fracțiilor cu numitori diferiți, trebuie mai întâi să le aducem la numitor comun.

 Pentru a aduce două sau mai multe fracții la același numitor vom proceda astfel:

• descompunem numitorii în factori primi
• aflăm cel mai mic multiplu comun al numitorilor; acesta va fi numitorul comun
• împărțim numitorul comun la numitorul fiecărei fracții și amplificăm fracția respectivă cu câtul obținut.

Exemplu:

$$\begin{gathered} \frac{4}{15}; \frac{7}{20} \\ \underline{15=3·5 \\ 20=2^2·5} \\ \left[15,20\right]=2^2·3·5=60 \end{gathered}$$

Numitorul comun este 60.

$$\begin{gathered} 60:15=4 \\ 60:20=3 \\ {}^{4)}\frac{4}{15}=\frac{16}{60} \\ {}^{3)}\frac{7}{20}=\frac{21}{60} \end{gathered}$$

1. Adunarea fracțiilor cu același numitor

Pentru a aduna două sau mai multe fracții cu același numitor, se adună numărătorii, iar numitorul se copiază:

$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$

$Ex: \frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{3+2}{8}=\frac{5}{8}$

2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

Pentru a aduna două sau mai multe fracții cu numitori diferiți, mai întâi aducem fracțiile la numitor comun, apoi aplicăm procedeul de mai sus.

• descompunem numitorii în factori primi
• înmulțim toți factorii (comuni și necomuni) la puterea cea mai mare.

1. Scăderea fracțiilor cu același numitor

Pentru a scădea două fracții cu același numitor, se scad numărătorii, iar numitorul se copiază:

$\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}$

$Ex: \frac{13}{9}-\frac{5}{9}=\frac{13-5}{9}=\frac{8}{9}$

2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

Pentru a scădea două fracții cu numitori diferiți, mai întâi trebuie să le aducem la numitor comun, apoi aplicăm procedeul de mai sus.

1. Înmulțirea unei fracții cu un număr natural

Pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, se înmulțește numărătorul fracției cu acel număr, iar numitorul se copiază.

$n·\frac{a}{b}=\frac{a}{b}·n=\frac{n·a}{b}$

Exemplu:

$2·\frac{4}{5}=\frac{2·4}{5}=\frac{8}{5}$

2. Aflarea unei fracții dintr-un număr

Pentru a afla o fracție dintr-un număr, înmulțim fracția cu numărul respectiv.

$$\begin{gathered} \frac{a}{b} din n este: \\ \frac{a}{b}·n=\frac{a·n}{b} \end{gathered}$$

Exemplu:

$$\begin{gathered} \frac{2}{3} din 150 este: \\ \frac{2}{3}·150=\frac{2·150}{3}=\frac{300}{3}=100 \end{gathered}$$

3. Înmulțirea a două fracții ordinare

Pentru a înmulți două fracții, se înmulțesc numărătorii între ei și numitorii între ei.

$\frac{a}{b}·\frac{c}{d}=\frac{a·c}{b·d}$

Exemplu:

$\frac{3}{5}·\frac{2}{7}=\frac{3·2}{5·7}=\frac{6}{35}$

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}·\frac{d}{c}=\frac{a·d}{b·c}$

Exemplu:
 

$\frac{2}{5}:\frac{3}{7}=\frac{2}{5}·\frac{7}{3}=\frac{2·7}{5·3}=\frac{14}{15}$

Inversa fracției $\frac{a}{b}, a\ne 0, b\ne 0$ este fracția $\frac{b}{a}$.

Inversul numărului natural n este numărul $\frac{1}{n}, n\ne 0$.

Pentru a împărți două fracții, înmulțim prima fracție cu inversa celei de-a doua.

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}·\frac{d}{c}=\frac{a·d}{b·c}$

Exemplu:

$\frac{2}{5}:\frac{3}{7}=\frac{2}{5}·\frac{7}{3}=\frac{2·7}{5·3}=\frac{14}{15}$

A ridica o fracție la o putere înseamnă a ridica numărătorul și numitorul la acea putere.

$$\begin{gathered} {\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\underbrace{\frac{a}{b}·\frac{a}{b}·....·\frac{a}{b}}=\frac{a^n}{b^n}, a, b\in \mathrm{\mathbb{N}}, b\ne 0, n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*} \\ n ori \end{gathered}$$

Reguli de calcul cu puteri

${\left(\frac{a}{b}\right)}^m·{\left(\frac{a}{b}\right)}^n={\left(\frac{a}{b}\right)}^{m+n}, a, b\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}, m, n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

${\left(\frac{a}{b}\right)}^m:{\left(\frac{a}{b}\right)}^n={\left(\frac{a}{b}\right)}^{m-n}, a, b\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}, m, n\in \mathrm{\mathbb{N}}, m\ge n$

${\left[{\left(\frac{a}{b}\right)}^m\right]}^n={\left(\frac{a}{b}\right)}^{m·n}, a, b\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}, m, n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

${\left(\frac{a}{b}\right)}^n·{\left(\frac{c}{d}\right)}^n={\left(\frac{a}{b}·\frac{c}{d}\right)}^n, a, b, c, d\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}, n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

${\left(\frac{a}{b}\right)}^0=1, a, b\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$

${\left(\frac{a}{b}\right)}^1=\frac{a}{b}, a, b\in \mathrm{\mathbb{N}}, b\ne 0.$

Ordinea efectuării operațiilor cu fracții ordinare este aceeași ca și la numere naturale:

• mai întâi calculăm ridicările la putere (operații de ordinul III)
• apoi efectuăm înmulțirile și împărțirile (operații de ordinul II)
• la final efectuăm adunările și scăderile (operații de ordinul I).

Dacă într-un exercițiu avem și paranteze, efectuăm mai întâi operațiile din parantezele rotunde, apoi operațiile din parantezele pătrate, apoi din acolade.

Media aritmetică

Media aritmetică a unui set de variabile este suma acestora împărțită la numărul lor.

Formule pentru media aritmetica a două sau mai multe numere

Media aritmetică a două numere a și b este suma numerelor împărțită la doi:

\(m_{a}=\frac{a+b}{2}\)

Media aritmetică a trei numere a, b și c este suma numerelor împărțită la trei:

\(m_{a}=\frac{a+b+c}{3}\)

Media aritmetică a n numere reale este suma numerelor împărțită la n:

$\boxed{ m_a=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} }$
Media aritmetică \(m_{a}\) este mai mică decât numărul cel mai mare dintre \(a_{1},a_{2},......a_{n}\), dar mai mare decât numărul cel mai mic dintre acestea.

Media aritmetică ponderată a n numere reale este:

$$\begin{gathered} \boxed{ m_p=\frac{p_1{a}_1+p_2{a}_2+...+p_n{a}_n}{p_1+p_2+...+p_n} } \\ {p}_1, p_2,..., p_n- ponderi \end{gathered}$$

Fie $a_1, a_2, ..., a_n$ numere raționale.

1. Media aritmetică a două numere raționale se calculează împărțind suma acestora la 2:

$m_a=(a_1+a_2) : 2$

2. Media aritmetică a n numere raționale se calculează împărțind suma acestora la n:

$m_a=(a_1+a_2+...+a_n) : n$

3. Media aritmetică ponderată a numerelor 

$a_1, a_2, ..., a_n$

având ponderile 

$p_1, p_2, ..., p_n$

se calculează după formula :

$m_p=\frac{p_1·a_1+p_2·a_2+...+p_n·a_n}{p_1+p_2+...+p_n}$

Observație. Ponderea unui număr ne arată de câte ori se repetă acel număr într-un șir de numere. Media ponderată se folosește atunci când numerele se repetă.

Exemplu:

Media ponderată a numerelor 2, 3, 7, 2, 7, 2, 3, 9, 7, 2 este:

$m_p=\frac{4·2+2·3+3·7+1·9}{4+2+3+1}=\frac{44}{10}=4,4$

• numărul 2 are ponderea 4
• numărul 3 are ponderea 2
• numărul 7 are ponderea 3
• numărul 9 are ponderea 1.

$\mathrm{\mathbb{Q}}=\left\{\overline{)\frac{a}{b}} a, b\in \mathrm{\mathbb{Z}}, b\ne 0\right\}$

Are loc relația de incluziune:

$\mathrm{\mathbb{N}}\subset \mathrm{\mathbb{Z}}\subset \mathrm{\mathbb{Q}}$

Fracțiile

$\frac{a}{b},\frac{c}{d}, b,d\ne 0$

sunt echivalente dacă a·d=b·c și scriem:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$

Numerele raționale pot fi scrise sub formă de fracție ordinară sau fracție zecimală. La rândul lor, fracțiile zecimale pot fi fracții zecimale finite sau periodice (infinite).

Exemple:

• fracție ordinară:

$\frac{1}{2}; -\frac{3}{5}$

• fracție zecimală finită:

$1,25; -3,825$

• fracție zecimală periodică simplă (între virgulă și perioadă nu mai sunt alte cifre):

$1,\left(7\right); 5,\left(23\right)$​

• fracție zecimală periodică mixtă (între virgulă și perioadă mai există și alte cifre):

$2,1\left(3\right); 6,2\left(17\right)$

Transformarea fracțiilor zecimale în fracții ordinare

Exemple:

$$\begin{gathered} a) 3,27=\frac{327}{100} \\ b) 1,253=\frac{1253}{1000} \\ c) 1,(23)=1\frac{23}{99}=\frac{1·99+23}{99}=\frac{122}{99} \\ d) 0,\left(42\right)=\frac{42}{99} \\ e) 4,2(23)=4\frac{223-2}{990}=4\frac{221}{990}=\frac{4·990+221}{990}=\frac{4181}{990}. \end{gathered}$$

• reflexivitatea : a=a
• simetria : a=b atunci b=a
• tranzitivitatea : a=b și b=c atunci a=c

• comutativitatea : a+b=b+a
• asociativitatea : (a+b)+c=a+(b+c)
• element neutru : a+0=0+a=a
• elementul opus : a+(-a)=(-a)+a=0

• Oricare ar fi a număr rațional: a-0=a respectiv 0-a=-a.
• Oricare ar fi a, b ,c numere raționale dacă a=b atunci: a-c=b-c.
• Oricare ar fi a, b, c, d numere raționale, dacă a=b și c=d atunci: a-c=b-d.

• comutativitate : a*b=b*a
• asociativitate : (a*b)*c=a*(b*c)
• distributivitate : a*(b+c)=a*b+a*c
• element neutru : a*1=1*a=a
• element invers : a*(1/a)=(1/a)*a=1

• a:1=a/1=a
• 1:a=1/a=a-1
• a:(-1)=a/(-1)=-a
• (-1):a=(-1)/a=-a-1
• 0:a=0/a=0
• a=b atunci a:c=b:c sau a/c=b/c
• a=b, c=d atunci a:c=b:d sau a/c=b/d

Opusul unui număr rațional x este numărul rațional -x, astfel încât x+(-x) = (-x)+x = 0.

Exemple de numere raționale opuse:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2} și -\frac{1}{2} \\ -4,3 și 4,3. \end{gathered}$$

Valoarea absolută sau modulul unui număr rațional este distanța, măsurată pe axa numerelor, de la origine până la numărul rațional respectiv.

Exemple:

$$\begin{gathered} \left|\frac{3}{5}\right|=\frac{3}{5} \\ \left|-\frac{2}{7}\right|=\frac{2}{7} \\ \left|-3,15\right|=3,15 \end{gathered}$$

În general, modulul unui număr rațional a este:

$$\begin{gathered} \left|a\right|= \overline{) -a, a<0 \\ 0, a=0 \\ a, a>0} \end{gathered}$$

Proprietăți ale modulului

$$\begin{gathered} 1. \left|a\right|\ge 0, \forall a\in \mathrm{\mathbb{Q}} \\ 2. \left|-a\right|=\left|a\right|, \forall a\in \mathrm{\mathbb{Q}} \\ 3. \left|ab\right|=\left|a\right|·\left|b\right|, \forall a,b\in \mathrm{\mathbb{Q}}. \end{gathered}$$

Compararea fracțiilor ordinare

1. Dintre două fracții pozitive cu același numitor, este mai mare cea cu numărătorul mai mare.

$ex: \frac{1}{4}<\frac{3}{4}$

2. Dintre două fracții pozitive cu același numărător, este mai mare cea cu numitorul mai mic.

$ex: \frac{3}{8}<\frac{3}{4}$

3. Dacă avem două fracții pozitive, care au numitori și numărători diferiți, atunci

 $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$

dacă a·d < b·c.

$ex: \frac{3}{4}<\frac{5}{6}, pt. că 3·6<4·5$

4. Dintre două fracții cu semne diferite, este mai mare fracția pozitivă.

$ex: \frac{4}{7}>-\frac{6}{19}$

5. Dacă avem două fracții negative, atunci 

$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$

dacă 

$\left|\frac{a}{b}\right|>\left|\frac{c}{d}\right|\iff \left|ad\right|>\left|bc\right|$

$ex: -\frac{2}{5}<-\frac{3}{8}, pt. că 2·8>5·3.$

În general, dintre două numere raționale diferite, este mai mare cel care, pe o axă a numerelor, este reprezentat la dreapta celuilalt.

Partea întreagă a unui număr rațional x, notată [x], este cel mai mare număr întreg, mai mic sau egal cu x.

Exemple:

[2,4] = 2

[-2,4] = -3

Partea fracționară a unui număr rațional x, notată {x}, este diferența dintre numărul x și partea sa întreagă.

Exemple:

{2,4} = 2,4-[2,4] = 2,4-2 = 0,4

{-2,4} = -2,4-[-2,4] = -2,4-(-3) = -2,4+3 = 0,6.

Pentru a aduna două numere raționale, aplicăm aceleași reguli învățate la adunarea numerelor întregi. 

1. Adunarea numerelor raționale cu același semn

Pentru a aduna două numere raționale cu același semn, se adună modulele lor, iar rezultatul va avea semnul comun. 

Exemple:

$$\begin{gathered} +\frac{{}^{2)}1}{ 3}+\frac{5}{6}=\frac{2}{6}+\frac{5}{6}=\frac{7}{6} \\ -1,25+(-3,15)=-4,4 \end{gathered}$$

2. Adunarea numerelor raționale cu semne diferite

Pentru a aduna două numere raționale cu semne diferite, se scad modulele lor, iar rezultatul va avea semnul numărului cu modulul mai mare.

Exemple:

$$\begin{gathered} -\frac{8}{7}+\frac{2}{7}=-\frac{6}{7} \\ -2,16+4,25=2,09 \end{gathered}$$

Observație: suma a două  numere raționale opuse este egală cu 0.

$$\begin{gathered} -\frac{5}{16}+\frac{5}{16}=0 \\ (-11,3)+11,3=0 \end{gathered}$$

Proprietățile adunării numerelor raționale

• asociativitatea: a+(b+c) = (a+b)+c, oricare ar fi numerele raționale a, b, c
• comutativitatea: a+b = b+a, oricare ar fi numerele raționale  a și b
• numărul 0 este element neutru: a+0 = 0+a =a, oricare ar fi numărul rațional a.

Diferența a două numere raționale a și b se efectuează adunând la descăzut opusul scăzătorului: a-b = a+(-b).

Exemple:

$-\frac{7}{5}-\left(+\frac{2}{5}\right)=-\frac{7}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)=-\frac{9}{5}$

(am adunat la descăzut opusul scăzătorului).

1. Produsul a două numere raționale cu același semn este un număr rațional pozitiv, al cărui modul se obține înmulțind modulele celor două numere. 

Exemple:

$$\begin{gathered} +\frac{2}{5}·\left(+\frac{7}{3}\right)=\frac{2}{5}·\frac{7}{3}=\frac{14}{15} \\ \left(-\frac{3}{4}\right)·\left(-\frac{5}{2}\right)=\frac{15}{8} \end{gathered}$$

2. Produsul a două numere raționale cu semne diferite este un număr rațional negativ, al cărui modul se obține înmulțind modulele celor două numere. 

Exemple:

$$\begin{gathered} \left(-\frac{2}{9}\right)·\frac{7}{5}=-\frac{14}{45} \\ 2,6·(-1,3)=-3,38 \end{gathered}$$

Proprietățile înmulțirii numerelor raționale

Fie a, b, c numere raționale. Au loc următoarele proprietăți:

• comutativitatea: a·b = b·a

• asociativitatea: (a·b)·c = a·(b·c)

• numărul 1 este element neutru: a·1 = 1·a = a

• distributivitatea înmulțirii față de adunare și scădere: a·(b+c)=a·b+a·c  și  a·(b-c)=a·b-a·c

Concluzie: regula semnelor pentru înmulțirea numerelor raționale este următoarea:

                                               $$\begin{gathered} +·+=+ \\ -·-=+ \\ +·-=- \\ -·+=- \end{gathered}$$

Dacă a și b sunt două numere întregi diferite de 0, prin inversa fracției $\frac{a}{b}$ întelegem fracția $\frac{b}{a}.$

Împarțirea a două numere raționale se efectuează înmulțind prima fracție cu inversa celei de-a doua.

Reamintim regula semnelor învățată la înmulțirea numerelor raționale:

                                               $$\begin{gathered} +·+=+ \\ -·-=+ \\ +·-=- \\ -·+=- \end{gathered}$$

Exemple:

$$\begin{gathered} +\frac{2}{3}:\left(-\frac{5}{7}\right)=\frac{2}{3}·\left(-\frac{7}{5}\right)=-\frac{14}{15} \\ \left(-\frac{9}{2}\right):\left(-\frac{5}{11}\right)=\left(-\frac{9}{2}\right)·\left(-\frac{11}{5}\right)=\frac{99}{10}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\underbrace{\frac{a}{b}·\frac{a}{b}·...·\frac{a}{b}, } a, b\in \mathrm{\mathbb{Z}}, b\ne 0, n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*} \\ n ori \end{gathered}$$

Exemplu:

${\left(+\frac{2}{3}\right)}^3=\left(+\frac{2}{3}\right)·\left(+\frac{2}{3}\right)·\left(+\frac{2}{3}\right)=\frac{8}{27}$

Observații:

1. Atunci când ridicăm la o putere un număr rațional pozitiv, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv.

2. Atunci când ridicăm la o putere un număr rațional negativ, avem două situații posibile:

• dacă exponentul este un număr par, rezultatul este pozitiv
• dacă exponentul este un număr impar, rezultatul este negativ

${\left(-\frac{a}{b}\right)}^n=\left\{\begin{array}{l} {\left(\frac{a}{b}\right)}^n, n-par\\ -{\left(\frac{a}{b}\right)}^n, n-impar\end{array}\right., a, b\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*}, n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

Reguli de calcul cu puteri

${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}, a, b\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*}, n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

${\left(\frac{a}{b}\right)}^m·{\left(\frac{a}{b}\right)}^n={\left(\frac{a}{b}\right)}^{m+n}, a, b\in \mathrm{\mathbb{Z}}*, m, n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

${\left(\frac{a}{b}\right)}^m:{\left(\frac{a}{b}\right)}^n={\left(\frac{a}{b}\right)}^{m-n}, a, b\in \mathrm{\mathbb{Z}}*, m, n\in \mathrm{\mathbb{N}}, m\ge n$

${\left[{\left(\frac{a}{b}\right)}^m\right]}^n={\left(\frac{a}{b}\right)}^{m·n}, a, b\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*}, m, n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

${\left(\frac{a}{b}\right)}^n·{\left(\frac{c}{d}\right)}^n={\left(\frac{a}{b}·\frac{c}{d}\right)}^n, a, b, c, d\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*}, n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

${\left(\frac{a}{b}\right)}^0=1, a, b\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*}$

${\left(\frac{a}{b}\right)}^1=\frac{a}{b}, a, b\in \mathrm{\mathbb{Z}}, b\ne 0.$

Ordinea efectuării operațiilor cu numere raționale este aceeași ca și la numere întregi:

• mai întâi calculăm ridicările la putere (operații de ordinul III)
• apoi efectuăm înmulțirile și împărțirile (operații de ordinul II)
• la final efectuăm adunările și scăderile (operații de ordinul I).

Dacă într-un exercițiu avem și paranteze, efectuăm mai întâi operațiile din parantezele rotunde, apoi operațiile din parantezele pătrate, apoi din acolade.