Înmulţirea fracţiilor ordinare

O să încep cu înmulțirea unei fracții cu un număr natural.

2 ori 4 supra 5.

Știm că înmulțirea înseamnă o adunare repetată.

2 ori 4 supra 5 poate fi scris 4 supra 5 plus 4 supra 5,

care este egal cu 4 plus 4 supra 5.

Dar 4 plus 4 înseamnă 2 ori 4 supra 5, egal cu 8 supra 5.

Observați că atunci când înmulțim o fracție cu un număr,

numărul acela se înmulțește doar cu numărătorul fracției,

iar numitorul rămâne același.

Un alt exemplu, 3 supra 7 ori 5.

Nu o să mai scriu de data aceasta înmulțirea ca și o adunare repetată.

O să scriu direct 3 ori 5 supra 7, egal cu 15 supra 7.

Pentru a înmulți o fracție cu un număr natural,

se înmulțește numărul cu numărătorul fracției,

iar numitorul se copiază.

Să vedem în continuare cum aflăm o fracție dintr-un număr.

Avem următoarea problemă.

La o florărie s-au adus 150 de trandafiri

și într-o zi s-au vândut 2 supra 3 din numărul lor.

Aflați câți trandafiri s-au vândut.

Pentru a afla câți trandafiri s-au vândut,

numărul total de trandafiri se împarte la 3

și o să hașurăm 2 treimi.

Partea aceasta reprezintă 2 treimi.

Și atunci o să facem 150

împărțit la 3,

care va fi egal cu 50,

dar pentru că sunt 2 treimi,

va trebui acest număr, acest rezultat,

să-l mai mulțim o dată cu 2.

50 ori 2 va fi egal cu 100.

Însă, în loc să facem două operații matematice,

putem face una singură și anume

fracția 2 supra 3

se înmulțește direct cu numărul 150.

Și vom obține 2 ori 150

totul supra 3

egal cu 300 supra 3.

Știm că linia de fracție înseamnă împărțire,

iar 300 împărțit la 3 este 100.

Înseamnă că pentru a afla o fracție

dintr-un număr,

vom proceda în felul următor.

Înmulțim fracția cu numărul.

Deci a supra b din numărul n

va fi egal cu a supra b ori n.

În continuare trecem la înmulțirea a două fracții.

Pentru a înmulți două fracții,

se înmulțesc numărătorii între ei

și numitorii între ei.

Vom face câteva exemple.

Primul exemplu,

2 supra 3 ori 1 supra 5.

Conform formulei de mai sus,

o să avem 2 ori 1 supra 3 ori 5,

care este egal cu 2 supra 15.

Un al doilea exemplu,

3 supra 5 ori 2 supra 7.

Va fi egal cu 3 ori 2 supra 5 ori 7,

care este egal cu 6 supra 35.

Ce? 1 supra 3 ori 3 supra 5.

Este egal cu 1 ori 3 supra 3 ori 5

egal cu 3 supra 15.

Observăm că această fracție se mai simplifică cu 3

și obținem 1 supra 5.

Posibilitatea simplificării cu 3

se putea vedea înainte de a face

această înmulțire,

deoarece atât la numărător cât și la numitor

apare factorul 3.

Înseamnă că numitorul și numărătorul

sunt numere divizibile cu 3.

Și atunci o altă modalitate de a rezolva acest exercițiu

ar fi aceasta.

1 supra 3 ori 3 supra 5

este egal cu 1 ori 3 supra 3 ori 5.

Nu vom face calculele aici

ci vom simplifica cu 3

atât la numărător cât și la numitor.

3 împărțit la 3 este 1

și la numărător o să avem 1 ori 1

adică 1 supra 1 ori 5

care este 5.

Aceasta este o a doua variantă

sau o a treia variantă și mai rapidă

1 supra 3 ori 3 supra 5

va fi egal.

Înainte de a face înmulțirea

numărătorilor și anumitorilor între ei

putem simplifica în această etapă

cu 3 deoarece noi anticipăm

faptul că la numărător

unul din factor va fi 3

și la numitor de asemenea unul din factor va fi 3.

Înseamnă că numărătorul și numitorul

sunt divizibile cu 3.

Și atunci nu vom mai scrie egal cu 1 ori 3 supra 3 ori 5

ci simplificăm

de la început cu 3.

3 împărțit la 3 este 1

și avem 1 ori 1 este 1 supra 1 ori 5

5.

Oricare din cele 3 metode

este corectă

dar cea mai rapidă și ușoară

este metoda a 3-a.

Mai facem un exemplu

de acest gen

4 supra 7

ori 21 supra 8

În acest caz

nu se vede explicit

faptul că s-ar repeta unul din factor

însă

21 poate fi scris 3 ori 7

iar 8 înseamnă 2 ori 4

Acum se vede că se repetă factorul 7

atât la numărător cât și la numitor

deci vom simplifica cu 7

De asemenea și 4 se repetă

deci putem simplifica și cu 4

Ceea ce rămâne la numărător

este 1 ori 3 ori 1 adică 3

supra 1 ori 2 ori 1

2.

O altă variantă

este aceasta

Putem observa din start

că 21 este un multiplu alui 7

înseamnă că fracția

se va simplifica cu 7

8 este iarăși un multiplu alui 4

înseamnă că fracția se va simplifica și cu 4

Putem face aceste simplificări la început

Vom simplifica cu 7

adică împărțim cu 7

7 împărțit la 7 este 1

21 împărțit la 7 este 3

și pe cealaltă diagonală

împărțim la 4

4 împărțit la 4 este 1

și 8 împărțit la 4 este 2

Sus la numărător avem 1 ori 3

adică 3

supra 1 ori 2, 2

Oricare din cele două variante

este corectă

dar a doua este mai rapidă și mai ușoară

Un ultim exemplu

20 supra 9

ori

3 supra 10

ori

14 supra 26

ori

13 supra 7

Bineînțeles că una din cele două variante

va fi să înmulțim

toți numărătorii și toți numitorii

adică să scriem egal cu 20 ori 3

ori 14 ori 13

supra 9 ori 10 ori 26 ori 7

dar ar fi de preferat

să simplificăm înainte

să facem înmulțirile

Observăm că 20 este un multiplu al lui 10

deoarece 20 împărțit la 10 este 2

Vom simplifica așadar cu 10

10 împărțit la 10 este 1

20 împărțit la 10 este 2

Pe cealaltă diagonală avem 3 și 9

9 înseamnă 3 ori 3

deci împărțim la 3

3 împărțit la 3 este 1

Mergem mai departe

14 înseamnă 7 ori 2

deci împărțim la 7

aici obținem 2 și aici 1

iar 26 înseamnă 13 ori 2

pe această diagonală

o să simplificăm cu 13

1 și 2

Sus o să rămânem cu următorii factori

2 ori 1 ori 2 ori 1

haideți să și scriem

2 ori 1 ori 2 ori 1

iar la înnumitor avem 3

ori 1 ori 2 ori 1

egal mai departe

observăm că mai putem simplifica

o dată cu 2

deoarece se repetă și la înnumitor și la numărător

și o să rămânem cu 2

supra 3