Mulțimea numerelor raționale

În această lecție o să definim mulțimea numerelor raționale.

Un număr rațional este o pereche de numere întregi a, b scrisă sub forma a supra b.

Un număr rațional se identifică cu oricare dintre fracțiile echivalente care îl reprezintă.

Fracțiile a supra b și c supra d se numesc echivalente dacă a or d este egal cu b or c și vom scrie a supra b egal cu c supra d.

Să dăm și un exemplu.

Fracțiile 1 supra 2 și 3 supra 6 vor fi fracții echivalente și vom pune semnul egal între aceste două fracții.

Observăm că 1 x 6 va fi egal cu 2 x 3.

Cu alte cuvinte, două fracții sunt echivalente dacă au aceeași valoare.

Să nu uităm că linia de fracții înseamnă împărțire.

Dacă vom face 1 împărțit la 2, obținem 0,5.

Iar dacă efectuăm 3 împărțit la 6, obținem tot 0,5.

Așadar, aceste două fracții sunt fracții echivalente.

În continuare să vedem ce înțelegem prin semnul unui număr rațional.

Dacă numerele întregi a și b au același semn, atunci fracția a supra b va fi egală cu modul de a supra modul de b.

De exemplu, fracția minus 2 supra minus 3 va fi egală cu valoare absolută a lui minus 2 supra valoare absolută a lui minus 3.

Pe scurt, vom scrie egal cu 2 supra 3.

Aici se aplică regula semnelor învățată la operațiile cu numerele întregi.

Știm că atunci când împărțim două numere întregi negative, rezultatul este un număr pozitiv.

Dacă a și b au semne contrare, atunci fracția a supra b va fi un număr rațional negativ.

De exemplu, fracția minus 2 supra 3 se va scrie minus 2 supra 3.

De obicei, semnul numărului rațional se scrie în fața liniei de fracție.

Vom defini mulțimea numerelor raționale ca fiind mulțimea fracțiilor de forma a supra b,

unde a și b sunt numere întregi, iar b este o număr diferit de 0.

Să recapitulăm puțin mulțimile de numere învățate până acum.

În clasele mai mici ați învăța mulțimea numerelor naturale.

Aceasta conține numerele 0, 1, 2, 3 și așa mai departe.

Mulțimea numerelor întregi notată cu z conține atât numere naturale cât și opusele acestora,

adică numere de forma minus 1, minus 2, minus 3 și așa mai departe.

Având în vedere că orice număr natural sau întreg se poate scrie sub forma unei fracții cu numitorul 1,

deducem că mulțimea numerelor întregi este inclusă în mulțimea numerelor raționale.

Numerele raționale sunt fracții de forma 1 supra 2, 3 supra 7, minus 5 supra 6 și așa mai departe.

Are loc această relație de incluziune.

Mulțimea numerelor naturale este inclusă în mulțimea numerelor întregi,

care la rândul ei este inclusă în mulțimea numerelor raționale.

Să vedem în continuare care sunt formele de scriere a unui număr rațional.

Numerele raționale pot fi scrise atât sub formă de fracție ordinară cât și sub formă de fracție decimală.

Fracțiile decimale la rândul lor pot fi fracții decimale finite sau infinite periodice.

În acest desen avem reprezentată fracția 1 supra 2.

1 supra 2 este o fracție ordinară, dar dacă efectuăm împărțirea 1 împărțit la 2, obținem 0,5.

Aceasta este o fracție decimală finită pentru că are un număr finit de decimale.

Așadar, acest număr rațional poate fi scris în două moduri.

Un alt exemplu.

Am hașurat aici o treime dintr-un întreg. Aceasta este fracția 1 supra 3.

Ea este o fracție ordinară, dar poate fi scrisă și sub forma unei fracții decimale dacă efectuăm împărțirea.

După efectuarea împărțirii, obținem rezultatul 0, perioadă 3.

Dacă o decimală se repetă sau un grup de decimale,

vom spune că ele reprezintă partea periodică a fracției decimale și se pot scrie în paranteză.

Aceasta este o fracție decimală periodică simplă pentru că partea periodică urmează imediat după virgulă.

Și un alt exemplu.

Avem reprezentată aici fracția 1 supra 6. Aceasta este o fracție ordinară,

dar dacă efectuăm împărțirea, obținem fracția 0,1 perioadă 6.

Aceasta este o fracție decimală periodică mixtă, deoarece partea periodică nu urmează imediat după virgulă.

Observăm că înaintea perioadei avem o decimală. Aceasta va reprezenta partea neperiodică a fracției decimale.

Așadar, orice număr rațional poate fi scris fie sub formă de fracție ordinară, fie sub formă de fracție decimală.

Dacă împărțim numărătorul la numitor, vom obține o fracție decimală.

În continuare să vedem cum putem să transformăm fracțiile decimale în fracții ordinare.

Să facem câteva exemple.

Primul exemplu.

Fracția decimală 3,42 se poate scrie sub formă de fracție ordinară astfel, 342 supra 100.

Mai exact, la numărător vom scrie acest număr fără să ținem cont de virgulă,

iar la numitor punem atâtea cifre de zero câte decimale avem după virgulă.

Un alt exemplu.

Fracția decimală 1,573 se va transforma în fracție ordinară astfel, 1573 supra 1000.

Observăm că avem 3 decimale, așadar vom pune 3 zerouri.

Să vedem cum putem transforma o fracție periodică.

1,perioadă 23 se va scrie 1 întreg 23 supra 99.

La numitor punem atâtea cifre de 9 câte cifre avem în partea periodică.

Aici efectăm calculele, introducem întregii în fracție după formula 1 ori 99 plus 23 supra 99 egal mai departe cu 122 supra 99.

Un alt exemplu, 0,perioadă 42.

Aici trebuie să scriem 0 întreg 42 supra 99, dar vom scrie direct 42 supra 99.

Punctul E, 1,2 perioadă 23.

Avem aici o fracție decimală periodică mixtă, se va scrie 1 întreg 223 minus 2.

La numărător copiem toate decimalele în ordinea în care apar după virgulă, apoi scădem partea neperiodică, adică cifra 2.

Iar la numitor punem atâtea cifre de 9 câte cifre avem în partea periodică și atâtea cifre de 0 câte avem la partea neperiodică.

Egal cu 1 întreg 221 supra 990.

Introducem întregii în fracție 1 ori 990 plus 221 supra 990.

Egal mai departe cu 1211 supra 990.