Media aritmetică a două sau mai multe fracții (numere) zecimale finite

Să facem acum câteva exerciții cu media aritmetică a două sau mai multe frații decimale finite.

Însă, înainte de aceasta, ce semnifică media aritmetică?

Media aritmetică exprimă un nivel mediu, o valoare medie.

De exemplu, dacă avem un grup de alpiniști care doresc să escaladeze un munte,

deci vor să ajungă în vârful acestui munte și s-au hotărât să le escaladeze în patru zile.

Astfel, în prima zi până la primul popas vor parcurge de la bază 3,1 km,

apoi de la primul popas până la următorul, în a doua zi, adică parcurg 5,6 km,

apoi 4,26 km și în final 7 km.

Înainte de a pleca la drum, ei se întreabă care este distanța medie pe care o au de parcurs.

Pentru aceasta, ei adună toate aceste distanțe.

Astfel, avem 3,1 adunat cu 5,6 adunat cu 4,26 adunat cu 7.

Iar această sumă o împart la câte distanțe au.

Păi câte numere avem?

Un număr, două, trei, patru.

Avem patru numere.

Am scris formula pentru determinarea mediei aritmetice.

Acum, media aritmetică, cu cât este egală, facem calculul.

Trebuie să facem această sumă, să notăm aici.

Avem 3,1 adunat cu 5,6 adunat cu 4,26 adunat cu 7.

Acum, completăm aici cu T1,0 ca să avem două decimale ca aici și pe 7 scriem 7,00.

Și însumăm.

Obținem aici 6.

Aici avem 1 cu 6,7 cu 2,9.

Coborând virgula, 3 cu 5,8 cu 4,12 cu 7,19.

Deci obținem 19,96 împărțit la 4.

Păi, haideți să ștergem și să facem și împărțirea.

19,96 împărțit la 4.

Și avem 19 împărțit la 4.

4 × 4,16.

Facem diferența, obținem 3.

Am ajuns în dreptul virgulei, o trecem la cât și coborăm următoarea cifră, adică 9.

4 intră în 39 de 9 ori.

9 × 4 ne dă 36.

Facem diferența, obținem 3.

Coborăm pe 6.

36 împărțit la 4, 9.

9 × 4, 36.

Și s-a încheiat împărțirea.

Deci avem 4,99.

Valoarea mediei aritmetice.

Acum, am spus că media aritmetică reprezintă o valoare medie.

Să știți că întotdeauna media aritmetică, cum e în cazul nostru 4,99, această valoare este cuprinsă între cel mai mic și cel mai mare dintre numerele date.

Iată, 4,99 este mai mare sau egal cu 3,1 și mai mic sau egal cu 7.

Întotdeauna avem această relație.

Putem spune și că media aritmetică exprimă tendința centrală a unui șir de numere.

Astfel, haideți să ștergem aici.

Dacă trecem acest șir de numere și scriem numerele în ordine crescătoare, deci mai întâi avem 3,1, apoi avem 4,26, apoi avem 5,6 și apoi îl avem pe 7.

Media aritmetică pe care am obținut-o este 4,99.

Păi ce observăm? Că media aritmetică este cuprinsă între aceste două numere care se află în mijloc.

De aceea spunem că arată o tendință centrală a acestui șir de numere.

Însă, din curiozitate, vă pot spune că nu pentru toate șirurile de numere media aritmetică exprimă tendința centrală a șirului respectiv.

De exemplu, dacă valorile sunt foarte distanțate, să spunem că avem, deci punem aici cu un semn de exclamare,

avem aceste valori 3, 4,1, 5 și următoarea valoare este 100.

Atunci, media aritmetică va fi situată undeva între aceste două numeri.

Ea e, de fapt, 28 și ceva.

Deci, în această situație în care numelele sunt foarte distanțate, media aritmetică nu este folosită ca să exprime o tendință centrală a unui șir de numere.

Însă, când avem numere mai apropiate ca aici, atunci media aritmetică e folosită pentru acest lucru.

Haideți să facem acum câteva probleme.

Să spunem că în urma a patru teste, la care am luat aceste note 7,3, 6, 10, am învățat mai bine și 8,7.

Deci, să spunem că în urma notelor luate la aceste patru teste, se va trece o notă în catalog.

Cum aflu ce notă voi primi în catalog?

Păi, pentru a calcula nota pe care o voi primi, și cred că sunteți obișnuiti, se face media aritmetica numerelor de aici.

Deci, mai întâi adunăm cele patru numere, iar suma o vom împărți la câte numere avem.

1, 2, 3, 4.

Patru numere și haideți să calculăm valoarea media aritmetice.

Deci, le adunăm mai întâi.

7,3 adunat cu 6, adunat cu 10 și cu 8,7.

Păi, haideți să completăm aici, trecem virgulă și un 0, la fel și aici.

Și însumăm.

3 cu 7, 10, deci 0 și 1 în minte.

Avem aici 7 cu 6, 13.

Cu 10, 23.

Cu 8, 31.

Cu 1 din minte, 32.

Deci, avem 32,0, adică 32 împărțit la 4, cu alte cuvinte, obțin, voi primi în catalog nota 8.

Acum, putem să facem și verificările în sensul că media aritmetică, adică valoarea 8, observăm că este cuprinsă între cel mai mic și cel mai mare dintre numere.

Păi, cel mai mic este 6 și cel mai mare este 10.

6 este mai mic sau egal cu 8 și 8 este mai mic sau egal cu 10.

Tot așa, putem să evidențiem și faptul că media aritmetică exprimă tendința centrală a acestui șir de numere.

Dacă scriem numerele în ordine crescătoare, deci avem aici 6, apoi 7,3, 8,7 și 10.

Ce observăm? Media aritmetică este 8, adică este situată între aceste două numere.

Deci, iată că, într-adevăr, numerele fiind suficient de apropiate, atunci media aritmetică exprimă tendința centrală a acestui șir.

Alt exemplu, să spunem că vreau să măresc media la istorie și doamna sau domnul profesor mi-a spus că am două note,

iar media lor este 8, deci am două note cu media aritmetică egală cu 8.

Ce notă ar trebui să iau astfel încât să măresc media?

Păi, haideți să ne gândim puțin. Ca să pot să calculez noua medie pe care aș putea să o obțin,

trebuie neapărat să știm și notele pe care le am deja.

Practic, ca să aflu noua medie, ca să o pot calcula, trebuie să am cele două note,

haideți să le reprezentăm prin aceste două cercuri, am aceste două note dar nu știu care sunt,

și am nevoie de noua notă pe care o voi obține.

Ca să calculez media lor, trebuie să le adun, iar rezultatul să îl împart la câte note am în total,

adică 1, 2, 3, 3 note, și voi obține noua medie aritmetică.

Acum, ca să fac acest calcul, am neapărat nevoie de valorile acestor două note?

Nu. De fapt, ce îmi trebuie? Îmi trebuie suma lor.

Păi, putem să aflăm suma lor? Sigur.

Atunci când ni se dă numărul de note și știm și media lor aritmetică,

putem să aflăm suma notelor respective. Astfel, știm că adunând cele două note și împărțind la 2,

pentru că avem două note, obținem media lor aritmetică, adică ne dă 8.

Cu alte cuvinte, suma lor, să notăm așa, este egală cu 8 x 2, adică 16.

Deci, am determinat valoarea acestei sume.

Atunci, putem să venim și să înlocuim. Această sumă o vom înlocui aici cu numărul 16.

Deci, haideți să notăm. Avem 16 adunat cu nota pe care o voi obține, totul împărțit la 3.

Și acum, ce notă ar trebui să obțin ca să înmăresc media, să nu mai am media 8?

Păi, dacă aș obține, de exemplu, nota 10, atunci vom avea 16 cu 10, 26 împărțit la 3.

Să vedem cât ne dă. 26 împărțit la 3, 8 x 3, 24, obținem aici 2.

Adăugăm un 0, nu avem spațiu să-l scriem, însă trecem virgula la cât și coborăm un 0 aici.

20 împărțit la 3, 6, 6 x 3, 18, din nou obținem 2, din nou adăugăm 0, iarăși vom avea 6, 6 x 3, 18, din nou 2 și așa mai departe.

De fapt, avem 8, perioadă 6, de să notăm 8, perioadă 6.

Păi, prin rotunjire, acest număr ne va da media 9, deci obținem media 9, deci ne mărim media de la 8 la 9.

Dar, oare e neapărat nevoie să luăm, să iau nota 10?

Păi, dacă aș lua nota 9, atunci, 16 plus 9 împărțit la 3, înseamnă 25 împărțit la 3 și facem acum împărțirea, 25 împărțit la 3.

Păi, 8 x 3 ne dă 20 și 4, obținem aici 1, coborâm 0 și să trecem și virgula, 10 împărțit la 3, 3, 3 x 3, 9, iarăși obținem aici 1 și așa mai departe.

De fapt, o să obținem 8, perioadă 3.

Asta înseamnă că, de fapt, vom rămâne cu media 8.

Prin urmare, ca să înmăresc media, trebuie neapărat să iau aici nota 10.

Și acum, haideți să facem o problemă clasică.

Media aritmetică a trei numeri este 10, două dintre ele sunt 2,8 și 5,5.

Care este al treilea număr?

Deci știm că avem trei numere, iar media lor aritmetică este 10.

Cunoaștem deja două dintre numere, deci avem 2,8 și 5,5.

Pe al treilea număr pe care vrem să-l aflăm, haideți să-l notăm cu X.

Pentru a anota media lor aritmetică, trebuie să adunăm aceste trei numere, iar suma să o împărțim la câte numere sunt, adică la 3.

Și știm că obținem 10, atât este media aritmetică.

Cum determinăm valoarea lui X?

Păi mai întâi putem să facem suma de aici din paranteză, avem 2,8 cu 5,5, înseamnă 8,3 adunat cu X, totul împărțit la 3 ne dă 10.

Păi determinăm această sumă, 8,3 plus X, cu cât este egală?

Păi ce număr împărțit la 3 ne dă 10?

Foarte simplu, 10 ori 3.

Deci suma 8,3 plus X este egală de fapt cu 30.

Și acum ca să îl găsim pe X, este foarte simplu, avem 30 minus 8,3 și facem diferența, vom obține 21,7.