Împărțirea fracțiilor (numerelor) zecimale

În continuare vom învăța să împărțim fracțiile decimale și o să avem patru tipuri de împărțiri pe care le prezentăm de la bun început ca să vedem mai clar etapele acestei lecții.

Acum, împărțirea fracțiilor decimale e un subiect destul de important pentru că e nevoie și chiar e foarte bine să știm să împărțim și fără să ne ajutăm de un calculator.

Și haideți să vedem mai întâi împărțirile.

Primul tip de împărțire este număr natural la număr natural.

Ne vom reaminti, deja am mai discutat despre acest tip.

Al doilea, număr natural împărțit la număr decimal.

Următorul, număr decimal împărțit la număr natural, deci am inversat ce am avut aici și în final număr decimal împărțit la număr decimal.

Haideți să ne ocupăm de acest tip de împărțire.

Am mai discutat despre acest tip de împărțire și când am vorbit de periodicitate, dar haideți totuși să dăm un exemplu.

35 îl vom împărți la 4.

Nu vom face 3 împărțit la 4 pentru că 3 e mai mic decât 4 și observăm că mai avem aici încă o cifră, deci luăm ambele cifre, 35 împărțit la 4.

Păi 4 intră în 35 de 8 ori, 8 ori 4 ne dă 32.

Facem diferența, 5 minus 2, 3, 3 minus 3, nimic.

Continuăm împărțirea trecând la de împărțit câte un 0 nesemnificativ.

Descriem virgulă și trecem primul 0.

Acum am ajuns în dreptul virgulei.

Nu coborâm la rest, ci o vom trece la cât și coborâm acest 0 la rest.

30 împărțit la 4, 7.

7 ori 4 ne dă 28.

Facem diferența și obținem 2.

Coborâm încă un 0, nu e neapărat să îl scriem și aici, dar dacă tot avem spațiu să îl trecem.

20 împărțit la 4 este 5.

5 ori 4, 20 și s-a încheiat.

Următorul tip de împărțire, număr natural împărțit la număr decimal.

Și considerăm această împărțire 14 împărțit la 0,8.

Păi acest tip de împărțire se face ca și împărțirea numelor naturale, însă înainte e nevoie să transformăm împărțitorul în număr natural.

Cum facem asta?

Păi trebuie să înmulțim împărțitorul cu acea putere a lui 10 astfel încât el să devină număr natural.

Păi ca 0,8 să fie număr natural înseamnă că trebuie să îl înmulțim cu cât?

Păi putem să îl înmulțim cu 10, deci am scris aici ori 10.

0,8 ori 10 ne dă 8.

Deci vom avea un număr împărțit la 8.

Acum ca să avem egalitate trebuie ca și 14 să fie și el înmulțit tot cu 10.

Cu același număr cu care am înmulțit împărțitorul.

14 ori 10 ne dă 140.

Deci am ajuns la o împărțire de numere naturale, 140 împărțit la 8.

De ce are loc această regulă?

Păi operația de împărțire poate fi scrisă și cu ajutorul liniei de fracție.

Deci 14 împărțit la 0,8.

Putem să scriem această operație și astfel 14 supra 0,8.

Acum ca împărțitorul să fie număr natural,

deci ca numitorul să fie număr natural,

putem să amplificăm această fracție cu 10.

Sigur, putem să o amplificăm și cu 100 și cu 1000,

dar e mai simplu să amplificăm cu cea mai mică putere a lui 10

care transformă numitorul în număr natural.

Și ce vom avea?

Păi avem 14 ori 10, 140 supra 0,8 ori 10, 8.

Cu alte cuvinte obținem 140 împărțit la 8.

Deci această împărțire, iată, se scrie sub această formă,

cum am notat și mai sus.

Haideți să facem și împărțirea.

Deci 140 împărțit la 8.

Nu facem 1 împărțit la 8, dar facem 14 împărțit la 8.

Păi 8 intră în 14 o singură dată.

1 ori 8 ne dă 8.

Facem scăderea, obținem aici 6.

Coborăm 0.

60 împărțit la 8.

Luăm 7.

7 ori 8 ne dă 50 și 6.

Facem din nou scăderea și obținem 4.

Continuăm împărțirea,

deci trebuie să trecem la de împărțit virgula

și să adăugăm primul 0 nesemnificativ.

Nu e neapărat nevoie să îl scriem, mai ales că nu avem loc,

dar trecem virgula la cât și coborăm 0 la rest.

40 împărțit la 8 ne dă 5.

5 ori 8 ne dă 40 și s-a încheiat.

Deci am obținut 17,5.

Alt exemplu, 42 împărțit la 1,25.

Păi mai întâi trebuie să facem în așa fel încât împărțitorul să devină număr natural.

1,25, ca să-l scriem ca număr natural,

înseamnă că trebuie să mutăm virgula peste două cifre.

Asta înseamnă că trebuie să înmulțim acest număr cu cât?

Cu 100.

Deci înmulțim cu 100 și vom avea

125 va fi noul împărțitor

și pe 42 și pe el trebuie să îl înmulțim cu 100.

42 ori 100 ne dă 4200.

Deci avem o nouă împărțire, 4200 împărțit la 125,

egal cu și așa mai departe.

Următorul tip de împărțire.

Număr decimal împărțit la un număr natural.

Și să luăm un exemplu, 121,74 să îl împărțim la 5.

Deci iată, acesta este un număr decimal finit și acesta este un număr natural.

Împărțim mai întâi partea întreagă la numărul 5

și vom trece virgula la cât,

iar apoi continuăm împărțirea ca și la numere naturale.

Deci nu vom împărți 1 la 5, ci 12 împărțit la 5

și intră de două ori, 2 ori 5 ne dă 10,

12 minus 10 ne dă 2.

Bun, coborăm acum pe 1, 21 împărțit la 5.

Păi 4, pentru că 4 ori 5 ne dă 20,

facem scăderea, obținem 1.

Unde am ajuns acum?

Am ajuns în dreptul virgulei.

Ei bine, nu vom trece la rest,

pentru că niciodată nu am trecut virgula la rest,

ci o vom trece la cât.

Și coborăm următoarea cifră, adică 7.

17 împărțit la 5,

păi 5 intră în 17 de 3 ori,

3 ori 5, 15.

Facem diferența, obținem 2, coborăm 4.

24 împărțit la 5,

intră de 4 ori,

4 ori 5 ne dă 20,

facem diferența, obținem 4.

Acum nu s-a terminat împărțirea,

și putem să adăugăm la de împărțit

ceanume zero-uri nesemnificative.

Le vom adăuga pe rând oricât de multe avem nevoie.

Mai întâi trecem primul zero,

pentru că știm după ultima decimală nenulă,

care în acest caz este 4,

putem să adăugăm oricât de multe zero-uri vrem.

Nu se schimbă cu nimic numărul nostru.

Am adăugat zero și îl coborăm.

40 împărțit la 5 ne dă 8.

8 ori 5, 40,

facem diferența și iată că s-a încheiat împărțirea.

Deci am obținut că 121,74

împărțit la 5 ne dă 24,348.

Alt exemplu,

16,23 împărțit la 15.

Am spus că împărțim mai întâi partea întreagă

și avem aici 1 împărțit la 15,

nu vom face că 1 e mai mic decât 15,

dar putem să luăm și următoarea cifră,

16 împărțit la 15 și obținem 1.

1 ori 15, 15,

facem diferența și obținem aici 1.

Am ajuns în dreptul virgulei.

Nu trecem la rest, ci o vom trece la cât.

Și coborăm următoarea cifră, adică 2.

12 împărțit la 15.

Păi de câte ori intră 15 în 12?

De 0 ori.

0 ori 15 ne dă 0.

Acum, această etapă în care ne apare

scrierea și 12 și 0,

nu e neapărat să o notăm dacă nu vrem,

însă eu zic să lăsăm așa să se vadă clar mecanismul.

Și facem acum diferența.

Obținem aici 12.

Coborăm și următoarea cifră, 3.

123 împărțit la 15.

Păi ce număr înmulțit cu 15

ne dă un număr apropiat de 123,

dar mai mic decât el?

Păi haideți să facem câteva încercări.

15 să îl înmulțim cu 7,

să vedem cât obține.

7 ori 5, 35,

și 3 din minte, 7 ori 1, 7,

cu 3 din minte, 10, 105.

E cam mic, poate găsim un număr mai apropiat.

15 ori 8,

atunci când vom face această înmulțire,

e ca și cum

l-am adunat pe 105 cu 15.

Păi adunând aici 15,

obținem 120.

Deci haideți să notăm

că avem 120.

Dacă am face ori 9,

ar trece de 123,

deci valoarea căutată e 8.

8 ori 15,

120.

Facem diferența, obținem 3.

Nu mai avem ce să coborâm,

însă știm că putem să adăugăm

0-uri.

Haideți să adăugăm un 0 pe care

îl și trecem aici.

30 împărțit la 15, 2.

2 ori 15, 30

și iată că s-a încheiat împărțirea noastră.

Am vrut să vă arăt

asemenea împărțire pentru că

avem această situație

în care ne apare 0 la cât.

Încă un exemplu

și să luăm

acest caz,

21.4

să îl împărțim la

25.

Ce observăm?

Că aici de împărțitul este stric

mai mic decât împărțitorul.

Bun, noi facem împărțirea

cum am învățat, începem cu partea

întreagă. 2 împărțit la

25, nu facem pentru că

2 este mai mic decât 25

și observăm că mai avem aici o cifră.

21

împărțit la 25.

Păi și 21 e mai mic

decât 25.

Atunci ce ne gândim, să-l luăm și pe 4?

Nu, pentru că am spus

că mai întâi vom împărți

partea întreagă la

împărțitor, deci nu avem

cum să-l luăm și pe 4.

Și vom face 21 împărțit

la 25. Și

25 intră în 21

de 0 ori. 0 ori 25

0, facem diferența,

obținem 21.

Acum am ajuns în dreptul virgulei

pe care o trecem la cât?

Și coborăm 4.

214 împărțit

la 25.

Păi ce număr înmulțit cu 25

ne dă un număr

apropiat de 214, dar

mai mic decât el.

25 sau haide să

scriem aici, 25

înmulțit cu 4

știm că ne dă 100.

Dacă facem 25

ori 8,

dublându-l pe 4 înseamnă că trebuie să

dublăm și rezultatul, ne va da

200. Deja dacă facem

25 ori 9 ne dă

225, e prea mare.

Deci varianta, rezultatul corect

este 8 aici. Trecem

8. 8 ori 25

200 și obținem

la diferență

14. Trecem

acum 0. Nu e neapărat

să-l trecem și la de împărțit.

Putem să-l scriem doar aici.

Și avem 140 împărțit

la 25.

Bun, păi am văzut că

25 ori 4

este 100. Dacă facem

25 ori 5

ne va da 125.

25 ori 6

deja ne dă

150. Trece de

140, deci varianta corectă

este aceasta, 5.

5 ori 25

125.

Facem diferența

și vom obține 15.

Nu s-a terminat, deci mai trebuie

să trecem încă un 0.

150 împărțit la 25

păi vedem că

este 6. Deci trecem

aici 6. 6 ori 25

ne dă 150

și s-a încheiat

împărțirea. Deci iată, în

asemenea situații în care ne apare

aici 0 la

cât, trebuie să avem în vedere

faptul că împărțim mai întâi partea

întreagă la împărțitor.

Alt exemplu.

13.49

împărțit la 10.

Păi nu vom începe cu

împărții la 10, ci cu 13

împărții la 10. Și avem 1.

1 ori 10 este 10.

Facem diferența, obținem 3.

Am ajuns în dreptul virgulei,

o trecem la cât? Coborâm 4.

10 intră în 34

de 3 ori. 3 ori 10

ne dă 30. Facem diferența,

obținem 4. Coborâm

următoarea cifră, adică 9.

10 intră în 49

de 4 ori. 4 ori 10

ne dă 40. Facem diferența,

obținem 9.

Acum trebuie să adăugăm un 0

și avem 9 ori 10 împărțit la 10

care ne dă 9. 9 ori 10

9 ori 10 și s-a încheiat

împărțirea.

Vom șterge acum tot ce

am scris aici ca să vedem

foarte clar cât am obținut.

13.49

împărțit

la 10 este

egal cu 1.349.

Ce observăm?

Observăm că nu s-a modificat

cu nimic, că cifrele

nu s-au modificat cu nimic față de

împărțit. Pur și simplu

s-a mutat virgula.

De fapt, această regulă

deja o știam de la împărțirea

unui număr natural la o putere

a lui 10. Și în această

situație, ca și acolo, când împărțim

un număr decimal

la 10, virgula

se va muta spre

stânga peste atâtea

cifre câte zerouri are acea

putere a lui 10.

De ce se mută spre stânga?

Pentru că mutându-se virgula spre stânga

obținem un număr mai mic

și e natural să se întâmple

așa, pentru că împărțind un

număr la 10 ne va da un număr

mai mic.

1.349

O regulă foarte asemănătoare

are loc și la înmulțire.

Dacă avem, de exemplu,

13.49

o înmulțit acum cu 10.

Păi ce se întâmplă?

Am discutat despre înmulțirea

unui număr decimal

cu o putere a lui 10.

Virgula se mută

și acum însă spre

dreapta.

E normal să se mute spre dreapta

pentru că prin înmulțirea cu

10 numărul nostru crește

și vom obține

13

pardon

134.9

Virgula

s-a mutat peste o cifră

pentru că avem aici un 0.

Deci aceste două reguli sunt foarte asemănătoare.

Diferența este că la împărțire

virgula se mută spre stânga

iar la înmulțire virgula se mută

spre dreapta.

Ultimul tip de împărțire

este acesta

în care avem un număr decimal

împărțit tot la un număr decimal.

Și e foarte simplu să facem și aceste

împărțiri. De exemplu

14.67

îl împărțim

la 0.2

Mai întâi trebuie să facem în

așa fel încât împărțitorul

să devină număr natural.

Păi ca 0.2

să devină număr natural înseamnă

că trebuie să îl înmulțim cu

cât? Cu 10.

Și vom avea aici

noul împărțitor 2.

Acum ca să avem în continuare egalitate,

de împărțitul trebuie și el

să fie înmulțit tot cu 10.

Păi 14.67

înmulțit cu 10 înseamnă că

virgula se mută spre dreapta peste

o cifră, că avem aici un 0 deci

146.7

Și ce observăm? Că am ajuns

exact la tipul de

împărțire pe care tocmai l-am discutat.

Adică un număr decimal

împărțit la un număr natural.

Deci egal cu și așa mai departe.

Haide să mai facem

încă un exemplu.

0.486

să îl împărțim la

1.62.

Acum, împărțitorul

care este 1.62

ca să devină număr

natural, având aici

două decimale înseamnă

că trebuie să îl înmulțim cu cât?

Cu 100. Și vom obține

162.

Bun.

Ca să avem egalitate, cum am spus,

trebuie să înmulțim și

de împărțitul tot cu 100.

Păi virgula se mută

spre dreapta peste două cifre

una, două, deci după

8 este virgula, adică avem

48.6

împărțit

la 162.

Din nou aceeași situație

când avem un număr decimal

împărțit la un număr natural.

Deci, practic, acest tip

de împărțire se reduce la tipul

discutat înainte.

Acestea au fost cele patru

mari tipuri de împărțiri pe care

le puteți întâlni atunci când vorbim

de numere decimale și numere naturale.