Transcript: Împărțirea fracțiilor (numerelor) zecimale

În continuare vom învăța să împărțim fracțiile decimale și o să avem patru tipuri de împărțiri pe care le prezentăm de la bun început ca să vedem mai clar etapele acestei lecții.
Acum, împărțirea fracțiilor decimale e un subiect destul de important pentru că e nevoie și chiar e foarte bine să știm să împărțim și fără să ne ajutăm de un calculator.
Și haideți să vedem mai întâi împărțirile.
Primul tip de împărțire este număr natural la număr natural.
Ne vom reaminti, deja am mai discutat despre acest tip.
Al doilea, număr natural împărțit la număr decimal.
Următorul, număr decimal împărțit la număr natural, deci am inversat ce am avut aici și în final număr decimal împărțit la număr decimal.
Haideți să ne ocupăm de acest tip de împărțire.
Am mai discutat despre acest tip de împărțire și când am vorbit de periodicitate, dar haideți totuși să dăm un exemplu.
35 îl vom împărți la 4.
Nu vom face 3 împărțit la 4 pentru că 3 e mai mic decât 4 și observăm că mai avem aici încă o cifră, deci luăm ambele cifre, 35 împărțit la 4.
Păi 4 intră în 35 de 8 ori, 8 ori 4 ne dă 32.
Facem diferența, 5 minus 2, 3, 3 minus 3, nimic.
Continuăm împărțirea trecând la de împărțit câte un 0 nesemnificativ.
Descriem virgulă și trecem primul 0.
Acum am ajuns în dreptul virgulei.
Nu coborâm la rest, ci o vom trece la cât și coborâm acest 0 la rest.
30 împărțit la 4, 7.
7 ori 4 ne dă 28.
Facem diferența și obținem 2.
Coborâm încă un 0, nu e neapărat să îl scriem și aici, dar dacă tot avem spațiu să îl trecem.
20 împărțit la 4 este 5.
5 ori 4, 20 și s-a încheiat.
Următorul tip de împărțire, număr natural împărțit la număr decimal.
Și considerăm această împărțire 14 împărțit la 0,8.
Păi acest tip de împărțire se face ca și împărțirea numelor naturale, însă înainte e nevoie să transformăm împărțitorul în număr natural.
Cum facem asta?
Păi trebuie să înmulțim împărțitorul cu acea putere a lui 10 astfel încât el să devină număr natural.
Păi ca 0,8 să fie număr natural înseamnă că trebuie să îl înmulțim cu cât?
Păi putem să îl înmulțim cu 10, deci am scris aici ori 10.
0,8 ori 10 ne dă 8.
Deci vom avea un număr împărțit la 8.
Acum ca să avem egalitate trebuie ca și 14 să fie și el înmulțit tot cu 10.
Cu același număr cu care am înmulțit împărțitorul.
14 ori 10 ne dă 140.
Deci am ajuns la o împărțire de numere naturale, 140 împărțit la 8.
De ce are loc această regulă?
Păi operația de împărțire poate fi scrisă și cu ajutorul liniei de fracție.
Deci 14 împărțit la 0,8.
Putem să scriem această operație și astfel 14 supra 0,8.
Acum ca împărțitorul să fie număr natural,
deci ca numitorul să fie număr natural,
putem să amplificăm această fracție cu 10.
Sigur, putem să o amplificăm și cu 100 și cu 1000,
dar e mai simplu să amplificăm cu cea mai mică putere a lui 10
care transformă numitorul în număr natural.
Și ce vom avea?
Păi avem 14 ori 10, 140 supra 0,8 ori 10, 8.
Cu alte cuvinte obținem 140 împărțit la 8.
Deci această împărțire, iată, se scrie sub această formă,
cum am notat și mai sus.
Haideți să facem și împărțirea.
Deci 140 împărțit la 8.
Nu facem 1 împărțit la 8, dar facem 14 împărțit la 8.
Păi 8 intră în 14 o singură dată.
1 ori 8 ne dă 8.
Facem scăderea, obținem aici 6.
Coborăm 0.
60 împărțit la 8.
Luăm 7.
7 ori 8 ne dă 50 și 6.
Facem din nou scăderea și obținem 4.
Continuăm împărțirea,
deci trebuie să trecem la de împărțit virgula
și să adăugăm primul 0 nesemnificativ.
Nu e neapărat nevoie să îl scriem, mai ales că nu avem loc,
dar trecem virgula la cât și coborăm 0 la rest.
40 împărțit la 8 ne dă 5.
5 ori 8 ne dă 40 și s-a încheiat.
Deci am obținut 17,5.
Alt exemplu, 42 împărțit la 1,25.
Păi mai întâi trebuie să facem în așa fel încât împărțitorul să devină număr natural.
1,25, ca să-l scriem ca număr natural,
înseamnă că trebuie să mutăm virgula peste două cifre.
Asta înseamnă că trebuie să înmulțim acest număr cu cât?
Cu 100.
Deci înmulțim cu 100 și vom avea
125 va fi noul împărțitor
și pe 42 și pe el trebuie să îl înmulțim cu 100.
42 ori 100 ne dă 4200.
Deci avem o nouă împărțire, 4200 împărțit la 125,
egal cu și așa mai departe.
Următorul tip de împărțire.
Număr decimal împărțit la un număr natural.
Și să luăm un exemplu, 121,74 să îl împărțim la 5.
Deci iată, acesta este un număr decimal finit și acesta este un număr natural.
Împărțim mai întâi partea întreagă la numărul 5
și vom trece virgula la cât,
iar apoi continuăm împărțirea ca și la numere naturale.
Deci nu vom împărți 1 la 5, ci 12 împărțit la 5
și intră de două ori, 2 ori 5 ne dă 10,
12 minus 10 ne dă 2.
Bun, coborăm acum pe 1, 21 împărțit la 5.
Păi 4, pentru că 4 ori 5 ne dă 20,
facem scăderea, obținem 1.
Unde am ajuns acum?
Am ajuns în dreptul virgulei.
Ei bine, nu vom trece la rest,
pentru că niciodată nu am trecut virgula la rest,
ci o vom trece la cât.
Și coborăm următoarea cifră, adică 7.
17 împărțit la 5,
păi 5 intră în 17 de 3 ori,
3 ori 5, 15.
Facem diferența, obținem 2, coborăm 4.
24 împărțit la 5,
intră de 4 ori,
4 ori 5 ne dă 20,
facem diferența, obținem 4.
Acum nu s-a terminat împărțirea,
și putem să adăugăm la de împărțit
ceanume zero-uri nesemnificative.
Le vom adăuga pe rând oricât de multe avem nevoie.
Mai întâi trecem primul zero,
pentru că știm după ultima decimală nenulă,
care în acest caz este 4,
putem să adăugăm oricât de multe zero-uri vrem.
Nu se schimbă cu nimic numărul nostru.
Am adăugat zero și îl coborăm.
40 împărțit la 5 ne dă 8.
8 ori 5, 40,
facem diferența și iată că s-a încheiat împărțirea.
Deci am obținut că 121,74
împărțit la 5 ne dă 24,348.
Alt exemplu,
16,23 împărțit la 15.
Am spus că împărțim mai întâi partea întreagă
și avem aici 1 împărțit la 15,
nu vom face că 1 e mai mic decât 15,
dar putem să luăm și următoarea cifră,
16 împărțit la 15 și obținem 1.
1 ori 15, 15,
facem diferența și obținem aici 1.
Am ajuns în dreptul virgulei.
Nu trecem la rest, ci o vom trece la cât.
Și coborăm următoarea cifră, adică 2.
12 împărțit la 15.
Păi de câte ori intră 15 în 12?
De 0 ori.
0 ori 15 ne dă 0.
Acum, această etapă în care ne apare
scrierea și 12 și 0,
nu e neapărat să o notăm dacă nu vrem,
însă eu zic să lăsăm așa să se vadă clar mecanismul.
Și facem acum diferența.
Obținem aici 12.
Coborăm și următoarea cifră, 3.
123 împărțit la 15.
Păi ce număr înmulțit cu 15
ne dă un număr apropiat de 123,
dar mai mic decât el?
Păi haideți să facem câteva încercări.
15 să îl înmulțim cu 7,
să vedem cât obține.
7 ori 5, 35,
și 3 din minte, 7 ori 1, 7,
cu 3 din minte, 10, 105.
E cam mic, poate găsim un număr mai apropiat.
15 ori 8,
atunci când vom face această înmulțire,
e ca și cum
l-am adunat pe 105 cu 15.
Păi adunând aici 15,
obținem 120.
Deci haideți să notăm
că avem 120.
Dacă am face ori 9,
ar trece de 123,
deci valoarea căutată e 8.
8 ori 15,
120.
Facem diferența, obținem 3.
Nu mai avem ce să coborâm,
însă știm că putem să adăugăm
0-uri.
Haideți să adăugăm un 0 pe care
îl și trecem aici.
30 împărțit la 15, 2.
2 ori 15, 30
și iată că s-a încheiat împărțirea noastră.
Am vrut să vă arăt
asemenea împărțire pentru că
avem această situație
în care ne apare 0 la cât.
Încă un exemplu
și să luăm
acest caz,
21.4
să îl împărțim la
25.
Ce observăm?
Că aici de împărțitul este stric
mai mic decât împărțitorul.
Bun, noi facem împărțirea
cum am învățat, începem cu partea
întreagă. 2 împărțit la
25, nu facem pentru că
2 este mai mic decât 25
și observăm că mai avem aici o cifră.
21
împărțit la 25.
Păi și 21 e mai mic
decât 25.
Atunci ce ne gândim, să-l luăm și pe 4?
Nu, pentru că am spus
că mai întâi vom împărți
partea întreagă la
împărțitor, deci nu avem
cum să-l luăm și pe 4.
Și vom face 21 împărțit
la 25. Și
25 intră în 21
de 0 ori. 0 ori 25
0, facem diferența,
obținem 21.
Acum am ajuns în dreptul virgulei
pe care o trecem la cât?
Și coborăm 4.
214 împărțit
la 25.
Păi ce număr înmulțit cu 25
ne dă un număr
apropiat de 214, dar
mai mic decât el.
25 sau haide să
scriem aici, 25
înmulțit cu 4
știm că ne dă 100.
Dacă facem 25
ori 8,
dublându-l pe 4 înseamnă că trebuie să
dublăm și rezultatul, ne va da
200. Deja dacă facem
25 ori 9 ne dă
225, e prea mare.
Deci varianta, rezultatul corect
este 8 aici. Trecem
8. 8 ori 25
200 și obținem
la diferență
14. Trecem
acum 0. Nu e neapărat
să-l trecem și la de împărțit.
Putem să-l scriem doar aici.
Și avem 140 împărțit
la 25.
Bun, păi am văzut că
25 ori 4
este 100. Dacă facem
25 ori 5
ne va da 125.
25 ori 6
deja ne dă
150. Trece de
140, deci varianta corectă
este aceasta, 5.
5 ori 25
125.
Facem diferența
și vom obține 15.
Nu s-a terminat, deci mai trebuie
să trecem încă un 0.
150 împărțit la 25
păi vedem că
este 6. Deci trecem
aici 6. 6 ori 25
ne dă 150
și s-a încheiat
împărțirea. Deci iată, în
asemenea situații în care ne apare
aici 0 la
cât, trebuie să avem în vedere
faptul că împărțim mai întâi partea
întreagă la împărțitor.
Alt exemplu.
13.49
împărțit la 10.
Păi nu vom începe cu
împărții la 10, ci cu 13
împărții la 10. Și avem 1.
1 ori 10 este 10.
Facem diferența, obținem 3.
Am ajuns în dreptul virgulei,
o trecem la cât? Coborâm 4.
10 intră în 34
de 3 ori. 3 ori 10
ne dă 30. Facem diferența,
obținem 4. Coborâm
următoarea cifră, adică 9.
10 intră în 49
de 4 ori. 4 ori 10
ne dă 40. Facem diferența,
obținem 9.
Acum trebuie să adăugăm un 0
și avem 9 ori 10 împărțit la 10
care ne dă 9. 9 ori 10
9 ori 10 și s-a încheiat
împărțirea.
Vom șterge acum tot ce
am scris aici ca să vedem
foarte clar cât am obținut.
13.49
împărțit
la 10 este
egal cu 1.349.
Ce observăm?
Observăm că nu s-a modificat
cu nimic, că cifrele
nu s-au modificat cu nimic față de
împărțit. Pur și simplu
s-a mutat virgula.
De fapt, această regulă
deja o știam de la împărțirea
unui număr natural la o putere
a lui 10. Și în această
situație, ca și acolo, când împărțim
un număr decimal
la 10, virgula
se va muta spre
stânga peste atâtea
cifre câte zerouri are acea
putere a lui 10.
De ce se mută spre stânga?
Pentru că mutându-se virgula spre stânga
obținem un număr mai mic
și e natural să se întâmple
așa, pentru că împărțind un
număr la 10 ne va da un număr
mai mic.
1.349
O regulă foarte asemănătoare
are loc și la înmulțire.
Dacă avem, de exemplu,
13.49
o înmulțit acum cu 10.
Păi ce se întâmplă?
Am discutat despre înmulțirea
unui număr decimal
cu o putere a lui 10.
Virgula se mută
și acum însă spre
dreapta.
E normal să se mute spre dreapta
pentru că prin înmulțirea cu
10 numărul nostru crește
și vom obține
13
pardon
134.9
Virgula
s-a mutat peste o cifră
pentru că avem aici un 0.
Deci aceste două reguli sunt foarte asemănătoare.
Diferența este că la împărțire
virgula se mută spre stânga
iar la înmulțire virgula se mută
spre dreapta.
Ultimul tip de împărțire
este acesta
în care avem un număr decimal
împărțit tot la un număr decimal.
Și e foarte simplu să facem și aceste
împărțiri. De exemplu
14.67
îl împărțim
la 0.2
Mai întâi trebuie să facem în
așa fel încât împărțitorul
să devină număr natural.
Păi ca 0.2
să devină număr natural înseamnă
că trebuie să îl înmulțim cu
cât? Cu 10.
Și vom avea aici
noul împărțitor 2.
Acum ca să avem în continuare egalitate,
de împărțitul trebuie și el
să fie înmulțit tot cu 10.
Păi 14.67
înmulțit cu 10 înseamnă că
virgula se mută spre dreapta peste
o cifră, că avem aici un 0 deci
146.7
Și ce observăm? Că am ajuns
exact la tipul de
împărțire pe care tocmai l-am discutat.
Adică un număr decimal
împărțit la un număr natural.
Deci egal cu și așa mai departe.
Haide să mai facem
încă un exemplu.
0.486
să îl împărțim la
1.62.
Acum, împărțitorul
care este 1.62
ca să devină număr
natural, având aici
două decimale înseamnă
că trebuie să îl înmulțim cu cât?
Cu 100. Și vom obține
162.
Bun.
Ca să avem egalitate, cum am spus,
trebuie să înmulțim și
de împărțitul tot cu 100.
Păi virgula se mută
spre dreapta peste două cifre
una, două, deci după
8 este virgula, adică avem
48.6
împărțit
la 162.
Din nou aceeași situație
când avem un număr decimal
împărțit la un număr natural.
Deci, practic, acest tip
de împărțire se reduce la tipul
discutat înainte.
Acestea au fost cele patru
mari tipuri de împărțiri pe care
le puteți întâlni atunci când vorbim
de numere decimale și numere naturale.