Media aritmetică și media ponderată
135 vizualizări · 8 voturi
Raportează o problemă
Descrie pe scurt problema sau sugestia ta. Vom primi automat și pagina de pe care scrii.
Mulțumim!
Mesajul tău a ajuns la noi. Vom analiza problema cât de curând.
Fie numere raționale.
1. Media aritmetică a două numere raționale se calculează împărțind suma acestora la 2:
2. Media aritmetică a n numere raționale se calculează împărțind suma acestora la n:
3. Media aritmetică ponderată a numerelor
având ponderile
se calculează după formula :
Observație. Ponderea unui număr ne arată de câte ori se repetă acel număr într-un șir de numere. Media ponderată se folosește atunci când numerele se repetă.
Exemplu:
Media ponderată a numerelor 2, 3, 7, 2, 7, 2, 3, 9, 7, 2 este:
- numărul 2 are ponderea 4
- numărul 3 are ponderea 2
- numărul 7 are ponderea 3
- numărul 9 are ponderea 1.
Media aritmetică și media aritmetică ponderată.
Să rezolvăm următoarea problemă.
Un atlet a alergat într-o zi 14 km, a doua zi 16 km, iar a treia zi 18 km.
Ce distanță a parcurs în medie pe zi atletul?
Pentru a afla distanța medie parcursă pe zi, vom aduna cele trei distanțe, apoi împărțim la trei.
Așadar vom avea 14, plus 16, plus 18, totul împărțit la trei, deoarece sunt trei distanțe.
Egal cu 48, împărțit la trei, egal mai departe cu 16 km.
Deci atletul a parcurs în medie pe zi 16 km.
Ceea ce am calculat noi aici se numește medie aritmetică a numerelor 14, 16 și 18.
Așadar media aritmetică a trei numere se obține adunând cele trei numere și apoi împărțind rezultatul la trei.
Vom mai face o problemă.
O elevă are la matematică notele 8, 9, 8, 7 și 10.
Calculați media aritmetică a notelor.
Pentru a calcula media notelor va trebui să adunăm toate cele cinci note și apoi să împărțim la cinci.
O să notăm media aritmetică cu MA și aceasta este egal cu 8 plus 9 plus 8 plus 7 plus 10 totul supra cinci.
Putem pune linie de fracție sau împărțit. Este corect oricum.
Egal mai departe.
8 cu 9 este 17 plus 8, 25 plus 7, 32 plus 10, 42 supra cinci.
Să facem împărțirea.
42 împărțit la 5.
5 în 42 intră de 8 ori. 5 ori 8 e 40.
Efectuăm scăderea.
Punem virgulă, adăugăm un zero.
5 în 20 intră de 4 ori.
5 ori 4, 20.
Așadar eleva va avea media la matematică 8,4.
Observați că media aritmetică a cinci numere se obține adunând cele cinci numere și împărțind la cinci, adică la numărul acestora.
Așadar media aritmetică a n numere notate cu x1, x2 puncte puncte, xn se va calcula după formula x1 plus x2 plus puncte puncte plus xn totul supra n, unde n este numărul acestora.
În particular, media aritmetică a două numere a și b va fi a plus b supra 2, iar în cazul în care a este mai mic decât b, atunci media aritmetică va fi întotdeauna mai mare decât a și mai mică decât b, adică cuprisă între cele două numere.
Continuăm cu o altă problemă.
Andrei a cumpărat cinci caiete cu șase lei bucata, nouă caiete cu cinci lei bucata și șase caiete cu patru lei bucata. Cât a costat în medie un caiet?
Pentru a vedea cât a costat în medie un caiet, înmulțim numărul de caiete cu prețul fiecăruia, le adunăm, apoi împărțim rezultatul la numărul caietelor.
Așadar vom avea cinci caiete cu șase lei, cinci ori șase, plus nouă caiete cu cinci lei, nouă ori cinci, plus șase caiete cu patru lei, șase ori patru.
Toată această sumă se va împărți la numărul de caiete, adică cinci plus nouă plus șase.
Egal mai departe cu trei zeci plus patruzeci și cinci plus douăzeci și patru supra douăzeci, care este egal cu nouăzeci și nouă supra douăzeci.
Să facem alăturat împărțirea, nouăzeci și nouă împărți la douăzeci, douăzeci în nouăzeci și nouă intră de patru ori, patru ori douăzeci este opzeci.
Facem scăderile, adăugăm un zero, douăzeci în o sută nouăzeci intră de nouă ori, nouă ori douăzeci este o sută opzeci, adăugăm un zero, douăzeci în o sută intră de cinci ori, cinci ori douăzeci este o sută.
Obținem că prețul mediu al unui caiet este de 4,95 lei.
Ceea ce am calculat aici se numește media aritmetică ponderată a numerelor șase, cinci și patru, având ponderile cinci, nouă și șase.
Ponderea înseamnă de câte ori se repetă un număr.
O să vedem și care este formula de calcul pentru media aritmetică ponderată.
Presupunem că avem n numere, x1, x2, ..., xn, cu ponderile p1, p2, ..., pn.
Atunci media aritmetică ponderată se calculează după formula p1 ori x1 plus p2 ori x2 plus pn ori xn supra p1 plus p2 plus puncte puncte plus pn.
Ca să înțelegeți mai bine diferența dintre media aritmetică și media aritmetică ponderată vom face această problemă.
Aflați media numerelor 2, 3, 7, 2, 7, 2, 3, 9, 7, 2.
O variantă ar fi să calculăm media aritmetică fără să folosim ponderi, adică să adunăm toate numerele și să împărțim la 10, deoarece sunt 10 numere.
Sau putem calcula mai simplu media aritmetică ponderată.
Să vedem care sunt ponderile.
2 se repetă de 4 ori, 1, 2, 3 și 4, după cum observați, și atunci ponderea lui 2 va fi 4.
O să scriem cu niște săgeți.
2 se repetă de 4 ori, apoi 3 se repetă de 2 ori, 7 apare de 3 ori și 9 apare odată.
Acestea sunt ponderi, adică numerele 4, 2, 3 și 1, care arată de câte ori s-au repetat celelalte numere, se numesc ponderi.
Și atunci media ponderată a acestor numere va fi următoarea.
Înmulțim fiecare număr cu ponderea sa și obținem 2 ori 4, plus 3 ori 2, plus 7 ori 3, plus 9 ori 1,
suprasuma ponderilor, adică 4 plus 2 plus 3 și plus 1,
egal mai departe, cu 8 plus 6 plus 21 plus 9 supra 10,
egal mai departe, 8 cu 6 este 14, 21 cu 9 este 30, 30 plus 14 este 44,
supra 10, care este egal cu 4,4.
Așadar, media aritmetică ponderată ne ușurează calculele atunci când un număr se repete de mai multe ori.
Imaginați-vă dacă a fi avut ușiri de 100 de numere, ar fi fost mult mai greu să calculăm media aritmetică fără să folosim ponderile.
Comentarii (0)
Niciun comentariu încă.