Aflarea unei fracții dintr-un număr natural sau dintr-o fracție

Să aflăm acum o fracție dintr-un număr și avem acest exemplu.

Un ciclist vrea să parcurgă un drum cu lungimea de 30 de kilometri.

El parcurge 3 cincini din drum. Câți kilometri a parcurs?

Pe această problemă o putem rezolva și folosindu-ne de segmente.

Astfel, știm că avem un drum cu lungimea de 30 de kilometri.

Haideți să considerăm că acest segment reprezintă drumul care are o lungime de, notăm sus, 30 de kilometri.

Ciclistul parcurge 3 cincini din drum și vrem să vedem câți kilometri a parcurs el de fapt.

Dacă el parcurge 3 cincini din drum, ce trebuie să facem cu acest întreg?

Trebuie să îl împărțim în 5 părți egale și avem așa.

O parte, încă una, avem 3 părți, 4, 5, deci 1, 2, 3, 4, 5 părți egale.

Ciclistul parcurge 3 cincini din drum, deci el parcurge 3 cincini.

Venim aici și notăm 3 cincini, deci 3 supra 5 din lungimea drumului, adică din 30 de kilometri.

Și noi trebuie acum să vedem câți kilometri reprezintă această distanță, 3 cincini din 30.

Putem să ne gândim și în felul următor, cât reprezintă o parte?

O parte este de fapt o cincime, deci 1 supra 5 din 30 de kilometri.

Acum, dacă toată lungimea drumului este de 30 de kilometri, noi avem 5 părți egale, cât are fiecare parte?

Foarte simplu, facem 30 împărțit la 5, deci obținem 6 kilometri.

Deci, o cincime din 30 de kilometri, adică acest segment, fiecare segment în parte, reprezintă câte 6 kilometri.

Însă, ciclistul nostru a parcurs 3 cincini.

Păi, asta înseamnă că trebuie să înmulțim pe 3, pentru că avem 3 asemenea părți, cu 6.

Deci, 3 înmulțit cu 6, obținem 18 kilometri.

Deci, venim aici, notăm că 3 cincini din 30 reprezintă 18 kilometri.

Cum obținem acum răspunsul, fără a face aceste calcule, separat?

Păi, o cincime din 30 de kilometri.

Putem să transcriem în limbaj matematic astfel.

Cuvântul DIN se traduce prin operația de înmulțire.

Deci, avem 1 supra 5, înmulțit cu 30.

Și acum, întotdeauna un număr natural poate fi scris ca o fracție.

De ce putem face acest lucru?

Păi, întotdeauna putem să trecem numărul natural respectiv, supra 1.

Trecem numitorul 1.

Pentru că linia de fracție reprezintă operația de împărțire și 30 împărțit la 1 ne dă 30.

Acum, trebuie să vedem cum înmulțim două fracții.

E foarte ușor să reținem regula.

Haideți să scriem egalul în dreptul liniilor de fracție.

Vom înmulți numărătorii între ei și numitorii între ei.

Și vom avea așa.

Linia de fracție la numărător 1 ori 30,

iar la numitor 5 ori 1.

Și vom obține 30 supra 5 ori 1, 5.

Și cât ne dă?

Obținem 6. Iată, avem aici 6 km.

Aceeași regulă o putem aplica și în această situație.

3 cincimi din 30.

Traducem matematic.

Avem aici operația de înmulțire.

3 supra 5 înmulțit cu 30, pe care cum îl scriem?

Îl scriem tot sub formă de fracție și întotdeauna trecem numitorul 1.

Este egal mai departe cu înmulțim.

Haideți să arătăm din nou.

Numărătorii între ei și numitorii între ei.

Deci vom avea 3 ori 30 supra 5 ori 1.

Și obținem 90 supra 5.

Dacă împărțim 90 la 5, obținem 18.

Păi iată exact ce am avut și aici.

Deci 3 cincimi din 30 este egal cu numărul 18.

Și putem face calculul exact cum am arătat aici.

Alt exemplu.

Să reprezentăm printr-un desen și să calculăm 2 treimi din 5.

Din nou vrem să aflăm o fracție dintr-un număr natural.

Cum putem să reprezentăm printr-un desen?

Păi cum avem aici numărul 5, acest număr reprezintă numărul de întregi.

Deci vom avea nevoie de 5 întregi identici.

Și iată, deja i-am desenat aici.

Avem 1, 2, 3, 4, 5.

Noi vrem acum să vedem cât reprezintă 2 treimi din acești 5 întregi.

Însă mai înainte ce avem de făcut?

Vrem să vedem cât reprezintă sau cum exprimăm printr-un desen 2 treimi dintr-un singur întreg.

Deci venim aici și vom împărți acest întreg în 3 părți egale.

Și vom hașura 2 părți pentru că pe noi ne interesează 2 treimi din acest întreg.

La fel procedăm și cu ceilalți întregi și iată, am obținut acest desen.

Acum, ce am reprezentat aici reprezintă 2 treimi din 5.

Și haideți să vedem ce fracție obținem.

Păi care este numitorul fracției obținute?

Păi avem 5 întregi identici, fiecare este împărțit în 3 părți egale.

Acum, ce exprimă numitorul?

Numitorul exprimă numărul de părți în care am împărțit întregul.

Păi și noi avem fiecare întreg împărțit în 1, 2, 3 părți.

Deci numitorul este 3.

Numărătorul ne arată câte părți considerăm.

Păi și avem 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Deci numărătorul este egal cu 10.

2 pe 3 din 5 este egal cu 10 supra 3.

Cum mai facem acest calcul?

Păi traducem cuvântul DIN prin operația de înmulțire

și avem 2 supra 3 înmulțit cu 5 pe care îl scriem cum?

Îl scriem sub forma de fracție, 5 supra 1.

Și acum înmulțim aceste două fracții.

Trecem linea de fracție și înmulțim numărători între ei,

deci 2 ori 5 și numitori între ei, 3 ori 1.

Și vom avea 2 ori 5, 10, 3 ori 1, 3.

10 supra 3, iată exact ce am avut aici.

Dacă făceam alt calcul, de exemplu calculam două trei închi,

deci 2 supra 3, nu din 5 ci din 6.

Păi procedăm la fel, folosim direct această regulă.

Cuvântul DIN se traduce matematic prin operația de înmulțire,

deci avem 2 supra 3 înmulțit cu 6 supra 1.

Și vom avea linie de fracție, înmulțim numărători între ei,

deci 2 ori 6 supra 3 ori 1.

Și vom obține 12 supra 3.

Putem să simplificăm prin 3 sau putem să facem împărțirea direct.

12 împărțit la 3 ne dă 4.

Sau putem să notăm,

haideți să scriem așa,

putem să notăm că avem 4 supra 1 dacă simplificăm prin 3,

deci rezultatul este 4.

Însă, haideți acum să vedem cum procedăm când vrem să aflăm o fracție

dintr-o altă fracție.

Din nou să reprezentăm printr-un desen și să calculăm acum

două treimi dintr-o altă fracție și anume din 5 supra 9.

Păi mai întâi avem nevoie de ce anume,

vrem un întreg și în acel întreg să reprezentăm fracția 5 supra 9.

Deci am notat aici întregul pe care deja l-am împărțit în 9 părți egale,

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9.

Acum vom alege 5 din aceste 9 părți

și haideți să alegem pe aceasta, pe aceasta,

alegem 5 părți.

Deci 1, 2, 3, 4, 5.

Acum, ce am reprezentat aici reprezintă fracția,

este fracția 5 supra 9

și acesta este 9-ul întreg

și noi trebuie să reprezentăm acum două treimi din acest întreg.

Păi pentru aceasta vom împărți acest întreg, să-i spunem așa,

în trei părți egale pentru că vrem să reprezentăm fracția 2 supra 3.

Deci vom avea aici o parte,

mă refer la aceasta și aici le vom obține pe următoarele două.

Deci avem o parte, două, trei părți egale

și selectăm, alegem, considerăm două din aceste trei părți

și să o alegem pe această parte,

deci una și încă una și pe aceasta.

Ce am notat aici cu albastru reprezintă două treimi

din 5 supra 9.

Păi cât vom obține, cu cât este egal?

Nu e nevoie momentan să facem vreun calcul, putem să ne uităm direct pe desen.

Pentru a stabili rezultatul, haideți să împărțim tot întregul,

în așa fel încât să avem doar părți egale.

Deci trebuie să completăm aici desenul și voi completa astfel

și iată, tot ce am obținut sunt părți egale.

Această parte e egală cu aceasta, cu aceasta și cu acestea hașurate aici.

Câte părți avem în total?

Cu alte cuvinte, care este numitorul reprezentat,

numitorul fracției care e reprezentată prin acest desen?

Păi avem 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 părți

cu încă 9, 18, cu încă 9, 27.

Asta înseamnă că numitorul este 27.

Câte părți considerăm?

Păi ele am considerat pe aceastea care sunt hașurate și cu galben și cu albastru.

Avem 1, 2, 3, 4, 5, cu încă 5 înseamnă că avem 10 părți considerate,

deci obținem fracția 10 supra 27.

Păi același lucru îl obțineam și dacă scriam astfel

cuvântul din se traduce matematic prin operația de înmulțire,

avem 2 supra 3 înmulțit cu 5 supra 9

și vom avea, înmulțim numărători între ei,

deci 2 ori 5 supra 3 ori 9, 3 înmulțit cu 9

și vom obține 10 supra 3 ori 9, 27.

Iată, exact ce am obținut și aici.

Haideți să mai facem și alte exemple.

Să calculăm, de exemplu,

7 supra 5 din 2 supra 11.

Păi ce vom obține?

Din nou vom avea 7 supra 5,

cuvântul din îl scriem ca operație de înmulțire ori 2 pe 11.

Și acum trecem linia de fracție la numărător,

înmulțim acești 2 numărători, 7 ori 2

și la numitor obținem 5 ori 11.

Și rezultatul este 14 supra 5, 10 și 5.

Încă un exemplu, 3 pătrimi,

deci 3 supra 4 din 8 pe 5.

Ce vom obține?

3 supra 4, cuvântul din îl scriem ca operație de înmulțire,

deci ori 8 supra 5.

Și acum înmulțim 3 ori 8,

iar la numitor vom obține 4 ori 5.

Păi 3 ori 8 ne dă 24,

4 ori 5 ne dă 20.

Putem să simplificăm aici prin cât?

Prin 4 și vom avea așa,

24 împărțit la 4 ne dă 6,

20 împărțit la 4 ne dă 5.

Deci am obținut 6 pe 5,

fracție ireductibilă ca și aceasta de mai sus.

Cu alte cuvinte.

Ca să concluzionăm,

atunci când vrem să aflăm o fracție,

de exemplu a supra b,

dintr-un număr, deci din C,

cum vom proceda?

Păi vom avea a supra b înmulțit cu C,

iar pe C, acest număr natural, îl scriem supra 1,

C supra 1.

Și vom obține la numărător A or C,

iar la numitor B înmulțit cu 1, adică B.

Dacă vrem să aflăm o fracție,

dintr-o altă fracție,

de exemplu din C supra D,

aici aveam situația particulară în care D era egal cu 1,

deci D este un număr natural evident nenul ca și B.

Vom avea a supra B înmulțit cu C supra D,

deci vom obține, înmulțim numărătorii între ei,

A or C și numitorii între ei,

B înmulțit cu D.

Acestea sunt cele două reguli prin care aflăm o fracție

dintr-un număr natural sau dintr-o altă fracție.