O mulțime este o colecție de obiecte distincte. Aceste obiecte se numesc elementele mulțimii.

Mulțimile se notează cu litere mari: A, B, C,..., M, N,...

O mulțime se poate reprezenta în trei moduri:

• printr-o diagramă
• prin enumerarea elementelor sale între acolade
• prin enunțarea unei proprietăți caracteristice elementelor mulțimii

Exemplu: S = {1, 9, 3, 7, 5}

Cifra 3 este un element al mulțimii S. Vom spune că 3 aparține mulțimii S și notăm astfel:

$3\in S$

 Cifra 2 nu este un element al mulțimii S. Vom spune că 2 nu aparține mulțimii S și vom nota astfel:

$2\notin S.$

 

 

 

Două mulțimi A și B sunt egale dacă au aceleași elemente și notăm:

 $A=B.$

Două mulțimi A și B care nu au aceleași elemente sunt mulțimi diferite și notăm:

 $A\ne B.$

Dacă toate elementele mulțimii A se regăsesc în mulțimea B, atunci spunem că mulțimea A este inclusă în mulțimea B.

Notație:

 $A\subset B$.

Mulțimea A se numește submulțime a lui B.

Exemplu:

$$\begin{gathered} \overline{)A=\left\{1,2,3\right\} \\ B=\left\{1,2,3,4,5\right\} }\Rightarrow A\subset B \end{gathered}$$

Observație: mulțimea vidă este inclusă în orice altă mulțime.

 

O mulțime care nu are nici un element se numește mulțime vidă.

Notație:$\varnothing$

Mulțimea numerelor naturale:

$\mathrm{\mathbb{N}}=\left\{0,1,2,3,4,....2015,...\right\}$  - mulțime infinită

${\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}=\left\{1,2,3,4,...,2015,...\right\}$  - mulțimea numerelor naturale nenule (infinită)

Cardinalul unei mulțimi reprezintă numărul de elemente al mulțimii.

Exemple:

$$\begin{gathered} card\mathrm{\mathbb{N}}=\infty \\ card{\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}=\infty \\ card\varnothing =0 \end{gathered}$$

 

Mulțimi de numere

O mulțime este un ansamblu bine definit de obiecte, considerată ca un întreg. Obiectele dintr-o mulțime sunt numite elemente. Elementele unei mulțimi pot fi de orice natură: numere, persoane, litere ale alfabetului, alte mulțimi, etc. Prin convenție, mulțimile sunt notate cu majuscule cursive: A, B, C etc.

Două mulțimi A și B se numesc egale, și aceasta se notează A = B, dacă dețin (sunt formate din) aceleași elemente.

Numărul de elemente al unei mulțimi e denumit și cardinalitate. Pentru mulțimile infinite se folosește termenul cardinalitate, și nu numărul de membri, care ar fi neclar. În cazul mulțimilor finite pot apărea paradoxuri, pentru a căror evitare au fost construite teorii axiomatice ale mulțimilor.

Descrierea mulțimilor

Descrierea folosind cuvinte sau liste

Nu toate mulțimile au descrieri precise; ele pot fi doar colecții arbitrare, fără vreo regulă exprimabilă, care să specifice care anume elemente fac parte dintr-o mulțime.

Unele mulțimi pot fi descrise în cuvinte, cum ar fi:

• A este mulțimea primelor patru numere naturale .
• B este mulțimea culorilor de pe steagul Franței.

Prin convenție, o mulțime poate fi definită listând explicit elementele sale între acolade, de exemplu:

• C = {0, 1, 2, 3}
• D = {roșu, alb, albastru}

De notat că cele două descrieri diferite definesc aceeași mulțime. De exemplu, pentru mulțimile definite mai sus, A și C sunt identice, deoarece ele au exact aceiași membri. Notația A = C este folosită pentru a exprima această egalitate. Analog, pentru mulțimile definite mai sus, B = D.

Identitatea mulțimilor nu depinde de ordinea în care elementele sunt listate, nici de prezența repetițiilor în listă.

De exemplu, {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 6}.

Descrierea folosind notații matematice

Pentru mulțimi mari (cu multe elemente) scrierea întregii liste de elemente conținute poate deveni nepracticabilă.
De exemplu, E = {primele o mie de numere pozitive} ar fi, ca listă, foarte greoaie - atât la scris cât și la citit. Totuși matematicienii rareori descriu o mulțime de genul E în cuvinte, ca mai sus, preferând să folosească formulări simbolice:

• E = { 1 , 2 , 3 , . . . , 1000 }

Pentru a descrie o mulțime de genul mulțimii E se poate folosi uneori și o listă abreviată, unde elementele specificate urmează un șablon (un model, o schemă) evident cititorului. Faptul că se folosește o abreviere este atunci indicat explicit prin simbolul "..." (trei puncte).

Când se folosește această notație, trebuie avut grijă să se indice suficiente elemente pentru a face clar șablonul.
De exemplu, următoarea mulțime ar putea să reprezinte, în funcție de context, atât primele șaisprezece numere întregi, cât și primele cinci puteri ale lui doi (cât și alte mulțimi), fiind deci neclară (neunivocă):

• X = { 1 , 2 , . . . , 16 }

Un alt pericol apare dacă proprietatea definitorie implică un șablon mai puțin evident, în care cazuri listele abreviate chiar trebuie evitate. De exemplu, definiția (derutantă)

•  F = { − 4 , − 3 , 0 , . . . , 357 }

ar putea fi doar cu greu interpretată drept identică cu definiția (clară)

• F = {primele douăzeci de numere mai mici cu patru decât un pătrat perfect},

și în plus chiar și această ultimă definiție ar putea fi falsă, deoarece numărul de reguli care să producă mulțimea F de mai sus este nesfârșit (infinit).

În asemenea condiții, matematicienii descriu proprietatea caracteristică a membrilor mulțimii folosind o notație matematică. De exemplu:

•  F = { \(n^{2}-4\)  |   n ∈ Z , 0 ≤ n ≤ 19 }

În această descriere, bara verticală ("|") se citește cu proprietatea că (sau astfel încât). În loc de bara verticală se mai poate folosi și simbolul două puncte (":"). Formula de mai sus se citește:

• F este mulțimea numerelor de forma \(n^{2}-4\) , unde n este un număr întreg cuprins între 0 și 19 inclusiv.

Evident că se poate forma și o listă explicită, completă, a conținutului (a membrilor) lui F, prin evaluarea expresiei \(n^{2}-4\) pentru fiecare valoare a lui n de la 0 la 19.

Apartenența la mulțime

Conceptul care descrie dacă un obiect este sau nu element al unei anumite mulțimi (altfel spus, dacă îi aparține sau nu) este notat cu simbolurile ∈ și respectiv ∉. Astfel, considerând mulțimile definite mai sus:

        3 ∈ A și 285 ∈ F (deoarece 285 = 17² − 4); dar
        9 ∉ F și "verde" ∉ B.


Submulțimi



A este o submulțime a lui B.

Dacă fiecare membru al mulțimii A este și membru al mulțimii B, atunci A se spune că este submulțime a lui B, și se scrie că A ⊆ B, citit și A este inclus în B. Echivalent, putem scrie B ⊇ A, citit B include A, sau B conține A. Relația dintre mulțimi stabilită de ⊆  se numește incluziune sau conținere.

Dacă A este o submulțime a lui B, dar nu este egală cu B, atunci A se numește submulțime proprie a lui B, ceea ce se scrie A ⊂ B  sau B ⊃ A . Totuși, în literatură aceste simboluri se citesc la fel ca ⊆, deci se preferă adesea să se folosească simbolurile mai explicite ⊊ și ⊋ și pentru incluziunea strictă.

Exemple:

        Mulțimea tuturor femeilor este o submulțime a mulțimii tuturor oamenilor.

• {1,3} ⊂ {1,2,3,4}
• {1,2,3,4} ⊆ {1,2,3,4}

Mulțimea vidă este o submulțime a tuturor mulțimilor și orice mulțime este o submulțime a ei însăși:

• ∅ ⊆ A
• A ⊆ A

Mulțimea părților

    ∀ M o mulțime ∃P, numită mulțimea părților lui M, astfel încât ∀A, A ⊂ M ⇔ A ∈ P

Altfel spus, fiind dată o mulțime M, există o mulțime P astfel încât elementele lui P sunt submulțimile lui M. Mulțimea P este unic determinată de mulțimea M deoarece presupunând prin reducere la absurd că ∃ Q  o altă mulțime care satisface condiția ∀A, A ∈ Q ⇔ A ⊂ M, atunci pentru orice mulțime X rezultă: X ∈ Q ⇔ A ⊂ M ⇔ X ∈ P.  Din axioma extensionalității obținem că P = Q , ca atare P este unic determinată de mulțimea M.

Notația tradițională pentru mulțimea părților lui M este P(M).

Pentru o mulțime finită M cu n elemente, cardinalul mulțimii părților se calculează ca o sumă a numerelor de mulțimi cu k elemente. Pentru k = 0 avem un singur element, mulțimea vidă ∅ ⊂ P(M). Pentru k = 1 mulțimea părților are exact n submulțimi de un singur element ale lui M. În general, pentru orice \(k=\bar{0,n}\), va conține exact combinări de n luate câte k  \(C_{n}^{k}\)  submulțimi cu k elemente ⇒

\(\left | P\left ( M \right ) \right |=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}=2^{n}\)

Mulțimi speciale

Există unele mulțimi care au atât de mare importanță matematică și sunt referite atât de des încât ele au obținut nume și notații simbolice speciale, pentru a se opera mai ușor cu ele. Una din acestea este mulțimea vidă ∅. Alte mulțimi speciale de numere sunt:

• \(\mathbb{N}\)  reprezintă mulțimea tuturor numerelor naturale. Adică \(\mathbb{N}\) = {0, 1, 2, 3, ...}, sau uneori \(\mathbb{N}^{\ast }\) = {1, 2, 3, ...}.
• \(\mathbb{Z}\)  reprezintă mulțimea tuturor numerelor întregi (pozitive, negative sau zero). Deci \(\mathbb{Z}\) = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
• \(\mathbb{Q}\)  reprezintă mulțimea tuturor numerelor raționale (adică mulțimea tuturor fracțiilor proprii și improprii). Astfel, \(\mathbb{Q}\) = { a b : a , b ∈ Z , b ≠ 0 }. De exemplu, \(\frac{1}{4}\epsilon \mathbb{Q}\)  și \(\frac{11}{6}\epsilon \mathbb{Q}\). Toți întregii sunt în această mulțime deoarece fiecare întreg a poate fi exprimat ca fracția \(\frac{a}{1}\).
• \(\mathbb{R}\)  reprezintă mulțimea tuturor numerelor reale. Aceasta include toate numerele raționale, împreună cu toate numerele iraționale (adică numere care nu pot fi scrise ca fracții, cum ar fi \(\pi\), e și \(\sqrt{2}\).
• \(\mathbb{C}\) este mulțimea tuturor numerelor complexe.

Se observă că  \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\) ; toate aceste mulțimi au un număr infinit de membri, dar cardinalitățile lor sunt diferite:

\(\left | \mathbb{N} \right | = \left | \mathbb{Z} \right | = \left | \mathbb{Q} \right |= \mathbb{N}_{0}\), care este mai mic decât  \(\left | \mathbb{R} \right |= \left | \mathbb{C} \right | = c\).

Operații cu mulțimi

Reuniunea

Reuniunea lui A și B.



Există mai multe moduri de a construi o mulțime nouă din alta sau altele deja existente. Două mulțimi pot fi "adunate". Operația, numită "reuniunea" lui A cu B și notată A U B, este muțimea tuturor entităților care sunt membri fie ai lui A, fie ai lui B.

Exemple:

        { 1 , 2 } ∪ { a l b , g a l b e n } = { 1 , 2 , a l b , g a l b e n }
        { 1 , 2 , v e r d e } ∪ { a l b , g a l b e n , v e r d e } = { 1 , 2 , a l b , g a l b e n , v e r d e }
        { 1 , 2 } ∪ { 1 , 2 } = { 1 , 2 }

Unele proprietăți de bază ale reuniunii:

        A ∪ B = B ∪ A
        A ⊆ A ∪ B
        A ∪ A = A
        A ∪ ∅ = A

În cazul a n mulțimi, \(A_{1} , A_{2} , ... , A_{n}\)  reuniunea acestora mai poate fi notată:

   \(A_{1} \cup A_{2} \cup ... \cup A_{n} not=\bigcup_{1\leqslant i\leqslant n}^{}A_{i}\)

În cazul general, când indicii mulțimilor aparțin unei mulțimi I, \(\bigcup_{i\epsilon I}^{}A_{i}\)

Intersecția

Intersecția lui A și B.



O nouă mulțime poate fi construită și prin determinarea membrilor pe care două mulțimi date îi au în comun. "Intersecția" dintre A și B, notată A ∩ B, este mulțimea tuturor entităților (membrilor) care aparțin atât mulțimii A cât și mulțimii B. Dacă A ∩ B  =  ø, atunci A și B se numesc mulțimi disjuncte (fără membri comuni).

Exemple:

        { 1 , 2 } ∩ { a l b , g a l b e n } = ∅
        { 1 , 2 , g a l b e n } ∩ { a l b , g a l b e n , v e r d e } = { g a l b e n }
        { 1 , 2 } ∩ { 1 , 2 } = {1, 2}

Proprietăți de bază ale intersecțiilor:

        A ∩ B = B ∩ A
        A ∩ B ⊆ A
        A ∩ A = A
        A ∩ ∅ = ∅

În cazul a n mulțimi, \(A_{1} , A_{2} , ... , A_{n}\), intersecția acestora mai poate fi notată:

        \(A_{1}\cap A_{2} \cap ... \cap A_{n} not= \bigcap_{1\leqslant i\leqslant n}^{}A_{i}\)

În cazul general, când indicii mulțimilor aparțin unei mulțimi I, \(\bigcap_{i\epsilon I}^{}A_{i}\)


Diferența, complementarea

Complementul relativ al lui A față de B.



Două mulțimi pot fi "scăzute". Complementul relativ al lui A în B (numit și diferența dintre mulțimile B și A), notat B − A (sau și B \ A), este mulțimea tuturor elementelor care fac parte din B, dar nu și din A. De notat că nu este greșit să se "scoată" dintr-o mulțime elemente care nu îi aparțin, cum ar fi eliminarea elementului verde din mulțimea {1,2,3}; doar că această operație nu are nici un efect.

În anumite cazuri, toate mulțimile despre care se discută sunt considerate submulțimi ale unei mulțimi universale U. În astfel de cazuri U − A se numește complementul absolut (față de U), sau pur și simplu complementul lui A, și este notat cu A′.

Exemple:

        { 1 , 2 } ∖ { 3 , n e g r u } = { 1 , 2 }
        { 1 , 2 , g a l b e n } ∖ { a l b , g a l b e n , n e g r u , v e r d e } = { 1 , 2 }
        { 1 , 2 } ∖ { 1 , 2 } = ∅
        Dacă U este mulțimea numerelor întregi, E este mulțimea întregilor pari, și O este mulțimea întregilor impari, atunci complementul lui E față de U este O: E ′ = O

Proprietăți de bază ale complementelor:

        A ∪ A ′ = U
        A ∩ A ′ = ∅
        ( A ′ ) ′ = A
        A ∖ A = ∅
        A ∖ B = A ∩ B

    - Legile lui De Morgan:

        ( A ∪ B ) ′ = A ′ ∩ B ′
        ( A ∩ B ) ′ = A ′ ∪ B ′


Diferența simetrică

Diferența simetrică a mulțimilor A și B este mulțimea: A △ B = ( A ∖ B ) ∪ ( B ∖ A )

Proprietăți de bază ale diferenței simetrice:

            A △ B = ( A ∪ B ) ∖ ( A ∩ B )

Produsul cartezian

Produsul cartezian a două mulțimi X și Y este o mulțime (numită și mulțimea-produs) formată din ansamblul tuturor perechilor a căror primă componentă aparține mulțimii X, iar a doua componentă aparține mulțimii Y. Definiția produsului cartezian se poate generaliza facil și pentru cazul a n mulțimi.

Perechi ordonate

Fie   A și   B două mulțimi nevide. Dacă a ∈ A, iar b ∈ B, atunci mulțimea   { { a } ,   { a , b } }  se numește pereche ordonată.

Perechea ordonată   { { a } ,   { a , b } } se notează cu   ( a , b ) .În acest caz  a se numește abscisa perechii ordonate   ( a , b ), iar   b  se numește ordonata perechii ordonate   ( a , b ) .

Teoremă

Fie   A  și   B  două mulțimi nevide. Dacă a , s ∈ A , iar b , t ∈ B , atunci   ( a , b ) = ( s , t ) dacă și numai dacă  a = s  și   b = t

Definiție

Fie   A  și   B două mulțimi. Se numește produsul cartezian dintre mulțimea A și mulțimea  B, mulțimea

A × B := { ( a , b ) : a ∈ A , b ∈ B }. Dacă A = ϕ atunci condiția a ∈ A  este falsă, deci ϕ × B = ϕ. Analog, A × ϕ = ϕ  și în particular ϕ × ϕ = ϕ.

Produsul cartezian A × A  se notează   \(A^{2}\) .

Produsul cartezian este necomutativ. În general   A × B ≠ B × A , cu excepția cazurilor: A = ϕ sau B = ϕ sau A = B.

Teoremă

Pentru orice mulțimi   A,B,C,D sunt adevărate afirmațiile:

    Dacă A ⊆ C și B ⊆ D, atunci A × B ⊆ C × D;
    A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C );
    A × ( B ∩ C ) = ( A × B ) ∩ ( A × C );
    A × ( B ∖ C ) = ( A × B ) ∖ ( A × C );
    ( A ∪ B ) × C = ( A × C ) ∪ ( B × C );
    ( A ∩ B ) × C = ( A × C ) ∩ ( B × C );
    ( A ∖ B ) × C = ( A × C ) ∖ ( B × C );
    ( A × B ) ∩ ( C × D ) = ( A ∩ C ) × ( B ∩ D );
    ( A × B ) ∖ ( C × D ) = [ ( A ∖ C ) × ( B ∖ D ) ] ∪ [ ( A ∩ C ) × ( B ∖ D ) ] ∪ [ ( A ∖ C ) × ( B ∩ D ) ];
    ( A × B ) ∖ ( C × D ) = [ ( A ∖ C ) × B ] ∪ [ ( A ∩ C ) × ( B ∖ D );

Dacă A ⊆ X, atunci:

\(C_{X\times Y}\left ( A\times B \right ) = \left ( C_{X} A\times Y\right )\cup \left ( A\times C_{Y} B\right )\)

Reuniunea a două mulțimi 

Reuniunea mulțimilor A și B este mulțimea care conține toate elementele mulțimii A și toate elementele mulțimii B, scrise o singură dată.

$A\cup B=\left\{\overline{)x} x\in A sau x\in B\right\}$

Intersecția a două mulțimi 

Intersecția mulțimilor A și B este mulțimea care conține elementele comune mulțimilor A și B.

$A\cap B=\left\{\overline{)x} x\in A și x\in B\right\}$

Diferența a două mulțimi 

Diferența mulțimii A față de B este mulțimea elementelor care aparțin mulțimii A, dar nu aparțin mulțimii B.

$A\backslash B=\left\{\overline{)x} x\in A și x\notin B\right\}$

Observații:

$$\begin{gathered} A\cup B=B\cup A \\ A\cap B=B\cap A \\ A\backslash B\ne B\backslash A \end{gathered}$$