Un număr natural a este divizibil cu un număr natural b dacă a se împarte exact la b (restul împărțirii este zero). 

Sau, mai putem spune că numărul b divide pe a dacă există un număr natural c, astfel încât a=bc.

Numărul b se numește divizor al lui a, iar a se numește multiplu al numărului b.

Notații:

$a⋮b$, citim 'a este divizibil cu b'

$b\overline{)a}$, citim 'b divide pe a'

Exemple:

$$\begin{gathered} 21⋮3 \\ 8 \overline{) 24} \\ 4 \cancel{ \overline{) }} 6 \end{gathered}$$

 

Divizor

Un număr x este numit divizor al altui număr y, dacă y se poate scrie ca produsul dintre x și un alt număr întreg t.

Dacă a este un număr întreg vom numi numărul b divizor al lui a dacă există numărul c întreg astfel ca a = b . c și scriem b | a, de asemenea c | a.
   
Exemplu:

2 este divizor pentru 6 pentru că 6 = 2 . 3. Scriem 2 | 6.

    1 | n, n | n și n | 0 pentru orice număr întreg;
    un număr prim are doi divizori naturali.

Mulțimea divizorilor

    Mulțimea divizorilor lui a este formată din toți divizorii ai lui a.

Notație \(D_{a}\).

Exemplu :

\(D_{6}= \left \{ -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 \right \}\) , \(D_{5}=\left \{ -5, -1, 1, 5 \right \}\) ; 5 este număr prim pentru că are doi divizori naturali.

CMMDC: cel mai mare divizor comun a două numere naturale a , b este un număr d ce verifică :

        i) d | a , d | b (adică este divizor comun).
        ii) Dacă c | a și c | b atunci c | d (adică d este cel mai mare divizor comun ).

    Notație: d = (a,b).

    Exemplu: (12, 18 ) = 6.

            Dacă (a , b) = 1 spunem că a și b sunt prime între ele; ( 32, 15) = 1, deci 32 și 15 sunt prime între ele, sau altfel spus au ca factor comun doar pe 1.
            Dacă un număr are doar un divizor atunci spunem despre el ca este numar prim.

Criteriul de divizibilitate cu 2:

Un număr natural este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8.

Exemple: 12, 398, 714076.

Criteriul de divizibilitate cu 5:

Un număr natural este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0 sau 5.

Exemple: 70, 185, 2015.

Criteriul de divizibilitate cu 10:

Un număr natural este divizibil cu 10 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0.

Exemple: 20, 670, 5310. 

 

Un număr natural a este divizibil cu un număr natural b dacă a se împarte exact la b (restul împărțirii este zero).

Sau, mai putem spune că numărul b divide pe a dacă există un număr natural c, astfel încât a=bc.

Numărul b se numește divizor al lui a, iar a se numește multiplu al numărului b.

Notații:

$a⋮b$, citim 'a este divizibil cu b'

$b\overline{)a}$, citim 'b divide pe a'

Exemple:

$$\begin{gathered} 21⋮3 \\ 8 \overline{) 24} \\ 4 \cancel{ \overline{) }} 6 \end{gathered}$$

Două numere naturale a și b se numesc prime între ele dacă cel mai mare divizor comun al acestora este 1 (nu au alți divizori comuni în afară de 1).

$a,b prime între ele\iff (a,b)=1$

Exemplu:

Mulțimea divizorilor numărului 17 este:

$D_{17}=\left\{1,17\right\}$

Mulțimea divizorilor numărului 30 este:

$D_{30}=\left\{1,2,3,5,6,10,15,30\right\}$

Observăm că:

$D_{17}\cap D_{30}=\left\{1\right\}$

Singurul divizor comun al numerelor 17 și 30 este 1.

Numerele 17 și 30 sunt numere prime între ele pentru că (17,30)=1.

Observație: o altă modalitate de a verifica dacă două numere sunt prime între ele este să descompunem numerele în factori primi, iar apoi calculăm cel mai mare divizor comun a acestora.

 

 

1. Orice număr natural n se divide cu 1 și cu el însuși.

$n⋮n, n⋮1$

2. Tranzitivitatea relației de divizibilitate. Fie a, b, c trei numere naturale. Dacă a este divizibil cu b și b este divizibil cu c, atunci a este divizibil cu c.

$a⋮b, b⋮c\Rightarrow a⋮c$

3. Fie a și b două numere naturale. Dacă a divide pe b, atunci a divide orice multiplu al lui b.

$\overline{)a } b\Rightarrow \overline{)a } bk, k\in \mathrm{\mathbb{N}}$

4. Fie a, b, c trei numere naturale. Dacă a divide pe b și a divide pe c, atunci a divide suma, diferența și produsul numerelor b și c.

$$\begin{gathered} \overline{)a } b, \overline{)a } c\Rightarrow \overline{) \overline{)a } b+c \\ \overline{)a } b-c \\ \overline{) a } b·c} \end{gathered}$$

5. Fie a, b, c trei numere naturale. Dacă a divide pe b, c divide pe b, iar a și c sunt numere prime între ele, atunci produsul ac divide pe b.

$\overline{)a } b, \overline{)c } b, (a,c)=1\Rightarrow \overline{)ac } b$

6. Dacă a este divizibil cu b și b este divizibil cu a, atunci a = b.

$a⋮b, b⋮a\Rightarrow a=b$

7. Numărul 0 este divizibil cu orice număr natural nenul.

$0⋮n, \forall n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$

• Un număr natural se numește număr prim dacă se divide numai cu 1 și cu el însuși (are exact doi divizori). Un număr natural care nu este prim se numește număr compus.
• Două numere naturale a și b se numesc prime între ele, dacă cel mai mare divizor comun al acestora este 1: (a,b)=1.

Criterii de divizibilitate

Criteriile de divizibilitate ne ajută să stabilim dacă un număr natural m este divizibil cu un număr natural n, fără a efectua împărțirea.

Criteriul de divizibilitate cu 2

Un număr este divizibil cu 2 dacă ultima sa cifră este 0, 2, 4, 6, sau 8.

Exemple de numere divizibile cu 2: 18, 36, 258, 1490.

Criteriul de divizibilitate cu 3

Un număr este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3 (suma se împarte exact la 3).

Exemple de numere divizibile cu 3:

18 (pentru că 1+8=9 și 9 se împarte exact la 3);
222 (pentru că 2+2+2=6 și 6 se împarte exact la 3);
7128 (pentru că 7+1+2+8=18 și 18 se împarte exact la 3).

Criteriul de divizibilitate cu 5

Un număr este divizibil cu 5 dacă ultima sa cifră este 0 sau 5.

Exemple de numere divizibile cu 5: 125, 340, 8255.

Criteriul de divizibilitate cu 9

Un număr este divizibil cu 9 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 9 (suma se împarte exact la 9).

Exemple de numere divizibile cu 9:

117 (pentru că 1+1+7=9 și 9 se împarte exact la 9);
2853 (pentru că 2+8+5+3=18 și 18 se împarte exact la 9).

Criteriul de divizibilitate cu 10, 100 sau 1000

Un număr este divizibil cu 10 (sau 100 sau 1000) dacă ultima sa cifră este 0 (sau ultimele sale cifre sunt 00, sau 000).

Exemple de numere divizibile cu 10: 250, 820, 1360.
Exemple de numere divizibile cu 100: 2300, 15200, 852600.
Exemple de numere divizibile cu 1000: 3000, 15000, 725000.

• Criteriul de divizibilitate cu 2. Un număr este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8.
• Criteriul de divizibilitate cu 3. Un număr este divizibil cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este un număr divizibil cu 3.
• Criteriul de divizibilitate cu 4. Un număr este divizibil cu 4 dacă și numai dacă ultimele două cifre ale sale formeză un număr divizibil cu 4.
• Criteriul de divizibilitate cu 5. Un număr este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0 sau 5.
• Criteriul de divizibilitate cu 9. Un număr este divizibil cu 9 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este un număr divizibil cu 9.
• Criteriul de divizibilitate cu 10. Un număr este divizibil cu 10 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0.
• Criteriul de divizibilitate cu 25. Un număr este divizibil cu 25 dacă și numai dacă ultimele două cifre ale sale sunt: 00, 25, 50, 75.

Un număr natural este prim dacă are exact doi divizori (1 și numărul respectiv).

Numerele prime mai mici decât 100 sunt:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Observație. Singurul număr prim par este 2.

Un număr natural care nu este prim se numește număr compus.

Exemplu: 

$$\begin{gathered} 18 \\ pt. că 18⋮2, 18⋮3, 18⋮6, etc. \end{gathered}$$

Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) a două sau mai multe numere naturale este este cel mai mare număr care divide numerele date.

Notație: c.m.m.d.c. a numerelor a și b se notează: (a,b).

Pentru a calcula c.m.m.d.c. vom proceda astfel:

- descompunem numerele naturale în factori primi

- înmulțim toți factorii primi comuni, luați o singură dată, cu exponentul cel mai mic.

Exemplu:

$$\begin{gathered} \underline{30=2·3·5 \\ 45=3^2·5} \\ (30,45)=3·5=15 \end{gathered}$$

Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c) a două sau mai multe numere naturale este cel mai mic număr natural, diferit de 0, care este divizibil cu numerele date.

Notație: c.m.m.m.c. a numerelor a și b se notează: [a,b].

Pentru a calcula c.m.m.m.c. vom proceda astfel:

- descompunem numerele naturale în factori primi

- înmulțim toți factorii primi comuni și necomuni, luați o singură dată, cu exponentul cel mai mare.

Exemplu:

$$\begin{gathered} \underline{30=2·3·5 \\ 45=3^2·5} \\ \left[30,45\right]=2·3^2·5=90 \end{gathered}$$