Divizor. Multiplu. Noțiuni introductive

Haideți să vedem acum ce este acela un divizor și ce este un multiplu.

Și vom începe cu acest exemplu. Vrem să vedem dacă 2 este un divizor sau dacă 2 îl divide pe 6.

Păi trebuie să vedem, de fapt, dacă 2 îl împarte pe 6 în părți egale cu el însuși, adică în părți egale cu 2.

Sigur, 6 poate fi scris 2 plus 2 plus 2. Din această cauză putem spune că 2 îl divide pe 6, pentru că 2 l-a împărțit pe 6 în 3 părți egale cu fiecare parte fiind egală cu 2.

De ce are loc această scriere? Păi are loc această scriere pentru că 6 împărțit la 2 este, cum am spus, o împărțire exactă.

Alt exemplu. 4 putem spune că îl divide pe 6, adică pe 6 îl putem scrie sub această formă 4 plus 4 plus și așa mai departe.

Da, dar deja nu e bine pentru că 4 cu 4 ne dă 8. Dacă mai adunăm ceva, o să obținem un număr mai mare.

Deci, venim și notăm că 4 nu îl divide pe 6.

De ce nu se întâmplă asta? Pentru că 4 nu se cuprinde în 6 de un număr exact de ori.

Încă un exemplu. 3 îl divide oare pe 6?

Păi ia să vedem. Pe 6 îl putem scrie în funcție de 3. Sigur, avem aici 3 plus 3.

Deci 3 îl divide pe 6.

Repet, de ce se întâmplă acest lucru? De ce are loc această scriere?

Pentru că 6 se împarte exact la 3.

Deci, hai să notăm. 6 împărțit la 3 este o împărțire exactă.

Cu alte cuvinte, 6 împărțit la 3 ne dă, de fapt, 2 rest 0.

Restul 0 ne arată că e o împărțire exactă.

Iată, 3 intră în 6 de două ori.

Iată, 3 plus 3.

Cu alte cuvinte, ca să verificăm dacă un număr divide alt număr,

trebuie să vedem dacă 2 se cuprinde în 6 de un număr exact de ori.

Și acum, cum notăm?

Păi 2 îl divide pe 6. Vom nota astfel.

Deci avem 2 și 6.

Ca să arătăm că 2 îl divide pe 6, vom trece această bară verticală.

Citim cum am scris aici. 2 divide pe 6.

4 divide pe 6?

Păi nu îl divide pe 6.

Atunci, cum credeți că scrie?

Această bară o vom tăia cu o linie.

Citim 4 nu îl divide pe 6.

Și aici, 3 îl divide pe 6.

Alte exemple.

Haideți să notăm.

Să considerăm acum numărul 4.

Să vedem dacă 4 îl divide pe 12.

Și trecem aici cu semnul întrebării.

Să vedem dacă într-adevăr se întâmplă acest lucru.

Cum verificăm?

Păi vedem dacă 4 se cuprinde în 12 de un număr exact de ori.

Cu alte cuvinte.

12 împărțit la 4 este o împărțire cu rest 0?

Păi ne dă 3 rest 0.

Având o împărțire exactă, înseamnă că 4 îl divide într-adevăr pe 12.

Pentru că, iată, pe 12 îl putem scrie 4 plus 4 plus 4.

4 intră în 12 de 3 ori.

Să vedem dacă 5 îl divide pe 20.

Cum verificăm?

Vedem dacă 20 se împarte exact la 5.

Adică dacă acest număr se cuprinde în 20 de un număr exact de ori.

Păi ne dă 4 rest 0.

Din nou avem restul 0, deci o împărțire exactă.

Înseamnă că 5 îl divide într-adevăr pe 20.

Dar 6?

Să vedem acum dacă 6 îl divide pe 20.

Cum verificăm?

Vedem dacă 20 se împarte exact la 6.

Păi vom obține 3.

3 ori 6 ne dă 18 și avem aici 20 minus 18, 2.

Deci avem 3 rest 2.

Cum restul este diferit de 0, înseamnă că nu avem, deci nu este o împărțire exactă.

Din această cauză, pentru că nu avem o împărțire exactă, înseamnă că 6 nu îl divide pe 20.

Și simbolul de divizibilitate l-am tăiat cu această linie roșie.

Pentru că, iată, 6 nu se cuprinde în 20 de un număr exact de ori.

Ci avem 6 adunat cu 6 plus 6, aici obținem 18 plus 2, ne mai trebuie 2 ca să ajungem la 20.

Deci e clar că 6 nu se cuprinde în 20 de un număr exact de ori.

Alt exemplu.

8 îl divide pe 24.

Pe cum verificăm?

Avem, de fapt, două variante de verificare, ele sunt modalități echivalente.

Prima variantă.

Haideți să notăm aici 1.

Vedem dacă 24 se împarte exact la 8.

Deci 24 împărțit, haideți să trecem semnul de întrebare, că verificăm.

Împărțit la 8 ne dă 3, rest 0.

Păi restul este 0, o împărțire exactă.

Asta înseamnă că, într-adevăr, 8 îl divide pe 24.

Sau, o altă variantă de rezolvare.

Deci, sau.

Care este, de fapt, echivalentă.

A doua variantă este următoarea.

Vedem dacă există vreun număr natural care înmulțit cu 8.

Haideți să păstrez culorile.

Dacă înmulțit cu 8 ne dă 24.

Păi există un asemenea număr?

Sigur, vorbim de numărul 3.

Deci avem aici 3 înmulțit cu 8 ne dă 24.

Fie faceți așa, verificați dacă este o împărțire exactă.

Fie vă întrebați dacă există vreun număr care înmulțit cu 8 ne dă 24.

Un număr natural.

De ce v-am prezentat și această variantă?

Pentru că, în general, în manuale sau cu legeri, definiția este aceasta.

Spunem că A îl divide pe B.

Dacă există un număr natural,

un număr natural,

haideți să-i spunem C,

astfel încât are loc această relație

C înmulțit cu A să fie egal cu B.

Cu alte cuvinte, exact ce am făcut aici.

Iată 3.

Există acel număr natural, care este 3,

care înmulțit cu 8 ne-a dat 24.

Deci, fie faceți așa, fie vă gândiți la această variantă,

care reprezintă, de fapt, definiția.

Mie, personal, îmi place să folosesc această variantă în care folosim împărțirea.

Și acum să mai dăm încă un exemplu.

3 îl divide, oare, pe 21?

Păi trebuie să vedem dacă, într-adevăr, 21 împărțit.

La 3 e o împărțire exactă și obținem 7 rest 0.

Având o împărțire exactă, înseamnă că, într-adevăr, 3 îl divide pe 21.

Bun, pentru că se întâmplă acest lucru,

spunem că 3 se numește divizor.

În timp ce 21 se numește multiple.

Deci, pentru că 3 divide pe 21, el se numește divizor.

Și de ce 21 se numește multiple?

Pentru că, de fapt, 21 se obține prin multiplicarea lui 3.

Iată, din teorema împărțirii cu rest.

Această relație o putem rescrie ca fiind 21 egal cu 3 mulțit cu 7.

Păi, 21 se obține prin multiplicarea lui 3 de 7 ori.

Deci, notăm că 21 este un multiple al lui 3,

iar 3 este un divizor al lui 21.

Evident că putem să ne gândim și așa.

7 îl divide pe 21?

Sigur, pentru că 21 împărțit la 7 ne dă 3 rest 0.

Deci, 21 se scrie ca fiind 7 ori 3.

Deci, 21 este un multiple și de 7, dar este un multiple și de 3.

Haideți să notăm aici.

7 este un divizor al lui 21,

în timp ce 21 este un multiple al numărului 7.

21 este multiplul și de 3 și de 7.

Acum, facem câteva observații legate de această notație.

Am scris până acum că 3 divide pe 21.

Sau, în alt exemplu, am avut așa 7 divide pe 21.

Sau, putem să notăm și că 21 îl divide pe 21.

Este adevărată relația?

Sigur, pentru că 21 împărțit la 21 ne dă 1 rest 0.

Deci, avem o împărțire exactă.

Bun, ce observăm?

Peste tot, am scris mai întâi numărul mic urmat de numărul mare

sau am avut aici numere egale.

Însă, putem să scriem și invers?

Adică, am putea să scriem aici că 21 îl divide pe 7?

Păi, ne întrebăm, 7 împărțit la 21 este o împărțire exactă?

Nu.

Deci, această scriere nu are loc.

Bun, dacă vrem să scriem totuși mai întâi numărul mare urmat de numărul mic,

atunci vom schimba notația.

Astfel, putem să notăm că 21,

haideți să ne uităm la primul exemplu,

21 și îl trecem aici pe 3,

atunci între ele vom trece 3 puncte.

Și citim, 21 este divizibil cu 3.

Deci, 21 divizibil cu 3.

Aici, cum citim?

Spunem că 3 divide pe 21.

Deci, acest semne prezentat de bară citim divide pe,

iar aici când avem 3 puncte,

trecem mai întâi numărul mare urmat de cel mic și citim divizibil cu.

Bun, la fel putem să scriem și aici,

21 este divizibil cu 7 sau 21 este divizibil cu 21.

Prin urmare, reținem că cele două relații acestea sunt de fapt relații echivalente.

Și atunci când avem ambele numere diferite de 0,

când cel puțin unul din numere e 0,

atunci nu mai aplicăm această regulă cu mai mic sau mai mare, o să vedeți.

Deci, când ambele numere sunt diferite de 0,

atunci, dacă vrem să scriem mai întâi numărul mic urmat de cel mare,

folosim scrierea cu bară.

Dacă vrem însă să scriem mai întâi numărul mare urmat de cel mic,

vom folosi această scriere cu 3 puncte.

Cum verificăm dacă 21 este divizibil cu 3?

Păi la fel ca aici, vedem dacă 21 se împarte exact la 3.

Și cum avem o împărțire cu rest 0,

clar putem spune că 21 este divizibil cu 3.

Ce se întâmplă însă când cel puțin unul din numere este 0?

De exemplu, putem să spunem că 0 îl divide pe 12.

Și să trecem aici cu semnul întrebării.

Cum verificăm dacă o asemenea relație are loc?

Păi vedem dacă 12 împărțit la 0 e o împărțire exactă.

Bun, dar putem noi să împărțim un număr la 0?

Nu. Această împărțire nu are sens.

Din această cauză spunem că 0 nu îl divide de fapt pe 12.

Absolut la fel.

Putem să notăm că 12 nu e divizibil cu 0.

Din ce cauză?

Pentru că împărțirea 12 împărțit la 0 nu are sens.

Bun, dar ce împărțire are sens?

Păi putem să împărțim pe 0 la 12.

Și ne dă 0 rest 0.

Iată, împărțire exactă.

Bun, păi asta înseamnă că de fapt putem să scriem că nu 0 îl divide pe 12, ci invers.

12 îl divide pe 0.

S-au altfel spus, relație echivalentă.

Dacă folosim scrierea cu 3 puncte, atunci mai întâi vom trece pe 0 divizibil cu 12.

Pentru că are loc împărțirea 0 împărțit la 12.

Iată, este o împărțire cu rest 0.

E o împărțire exactă.

De fapt, iată ca aici, deși folosim scrierea cu bară, nu mai ținem cont de regula pe care am spus-o înainte.

Să avem mai întâi numărul mic urmat de cel mare.

Deci când ne apare aici și 0, lucrurile sunt puțin diferite.

Și putem să reținem acest fapt, și anume că, haideți să scriem cu altul,

că dacă, că 0 nu divide de fapt niciun număr natural.

Deci 0 nu îl divide pe a, oricare ar fi a număr natural.

Deci 0 nu îl divide pe 0, 0 nu îl divide pe 1, 0 nu îl divide pe 2, și așa mai departe.

Sau nu are loc nici relație echivalentă.

0 nu este divizibil cu 0.

1 nu este divizibil cu 0.

2 nu este divizibil cu 0, și așa mai departe.

Deci haideți să reținem și această relație, care de fapt se scrie puțin diferit.

Deci nu scriem că 0 îl divide pe 12, ci 12 îl divide pe 0, sau 0 este divizibil cu 12.