Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) şi cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.)

Cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun.

Două sau mai multe numere pot avea mai mulți divizori comun.

De exemplu, să scriem mulțimea divizorilor numărului 10.

Divizorii numărului 10 sunt 1, 2, 5 și 10.

Să scriem acum mulțimea divizorilor numărului 20.

Aceasta este formată din numerele 1, 2, 4, 5, 10 și 20.

Să vedem ce elemente comune au cele două mulțimi.

Mulțimea divizorilor numărului 10 intersectată cu mulțimea divizorilor numărului 20 este egal cu mulțimea formată din numerele 1, 2, 5 și 10.

Aceștia sunt divizorii comuni ai numerelor 10 și 20 și dintre aceștia cel mai mare este 10.

Cel mai mare divizor comun a două sau mai multe numere naturale este cel mai mare număr natural care divide numerele date.

Cel mai mare divizor comun al numerelor a și b se notează cu paranteză rotundă a, b.

Două numere naturale a și b se numesc prime între ele dacă cel mai mare divizor comun dintre a și b este 1.

Să vedem algoritmul de calcul pentru cel mai mare divizor comun.

Mai întâi se descompun numerele în factori primi, apoi se înmulțesc toți factorii primi comuni luați o singură dată cu exponentul cel mai mic.

O să vedem imediat câteva exemple.

Cel mai mic multiplu comun a două sau mai multe numere naturale este cel mai mic număr natural diferit de 0 care este divizibil cu numerele date.

Cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b se notează cu paranteză dreaptă a, b.

Algoritmul de calcul pentru cel mai mic multiplu comun presupune următorii pași.

Se descompun mai întâi numerele în factori primi, apoi se înmulțesc toți factorii primi comuni și necomuni luați o singură dată cu exponentul cel mai mare.

Să facem acum un exercițiu pentru a înțelege mai bine acest algoritm.

Aflați cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun al numerelor 30 și 45, 32, 16 și 40, 42 și 54, 63, 105 și 140.

Vom începe cu punctul A.

Mai întâi vom descompune numerele 30 și 45 în factori primi.

30 este divizibil cu 2, deoarece ultima sa cifră este 0.

30 împărțit la 2 este 15.

15 este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale este 6 și 6 se împarte exact la 3.

15 împărțit la 3 este 5, iar 5 este divizibil cu 5 și rezultatul împărțirii va fi 1.

Vom scrie că 30 este egal cu 2 ori 3 ori 5.

Deci am descompus numărul 30 în factori primi.

Trebuie acum să descompunem și numărul 45 în factori primi.

45 nu este divizibil cu 2, deoarece ultima sa cifră nu este pară.

Verificăm divizibilitatea cu 3.

Deoarece suma cifrelor sale este 9, înseamnă că numărul va fi divizibil cu 3.

Așadar vom scrie în partea dreaptă 3.

45 împărțit la 3 este 15.

15 din nou este divizibil cu 3.

15 împărțit la 3 este 5.

5 este divizibil cu 5, iar 5 împărțit la 5 este 1.

45 este egal cu 3 la puterea a doua, deoarece numărul 3 apare de două ori în descompunere, ori 5.

Astfel am descompus și numărul 45 în factori primi.

Să vedem acum cel mai mare divizor comun, al numerelor 30 și 45.

Ne uităm la factorii care apar în descompunere și vom înmulți doar factorii comuni la puterea cea mai mică.

Factorii comuni sunt 3 și 5, deoarece factorul 2 nu apare în descompunerea 45, deci acesta nu îl vom lua în considerare.

Vom ține cont doar de factorii 3 și 5 la puterea cea mai mică, adică 3 la puterea întâia, ori 5 la puterea întâia.

3 ori 5, egal cu 15.

Cel mai mare divizor comun, al numerelor 30 și 45, este 15.

Să vedem acum cel mai mic multiplu comun, al numerelor 30 și 45.

Pentru a afla cel mai mic multiplu comun, vom înmulți atât factorii comuni cât și necomuni, luați o singură dată, la puterea cea mai mare, adică 2 ori 3 la puterea a doua, deci să ia numărul 3 cu exponentul cel mai mare.

3 ori 5, egal cu 2 ori 9 ori 5, care este egal cu 90.

Cel mai mic multiplu comun, al numerelor 30 și 45, este 90.

Trecem acum la punctul B.

Vom descompune pe rând numerele 32, 16 și 40.

Începem cu 32.

32 este divizibil cu 2.

Rezultatul împărțirii va fi 16.

16 este de asemenea divizibil cu 2.

16 împărțit la 2 este 8.

8 se împarte la 2 și obținem 4.

4 se împarte la 2, obținem 2.

Iar 2 împărțit la 2 este 1.

Așadar 32 este egal cu 2 la puterea a 5-a, deoarece factorul 2 apare de 5 ori în această descompunere.

Vom descompune numărul 16.

16 este divizibil cu 2.

Obținem 8.

8 de asemenea se împarte la 2 și obținem 4.

4 este divizibil cu 2.

2 împărțit la 2 va fi 1.

16 este egal cu 2 la puterea a 4-a.

Iar ultimul număr, 40.

40 este divizibil cu 2, deoarece ultima cifră este 0.

40 împărțit la 2 este 20.

20 de asemenea se împarte la 2.

20 împărțit la 2 este 10.

10 îl împărțim tot la 2 și obținem 5.

5 este divizibil cu 5 și rezultatul împărțirii va fi 1.

40 este egal cu 2 la puterea a 3-a ori 5.

Să aflăm acum cel mai mare divizor comun al numerelor 32, 16 și 40.

Vom lua factorii comuni la puterea cea mai mică.

Observăm că factorul comun este 2, iar exponentul cel mai mic este 3.

Înseamnă că vom scrie 2 la puterea a 3-a, care este egal cu 8.

Iar cel mai mic multiplu comun al numerelor 32, 16 și 40 va fi egal cu...

De data aceasta luăm și factorii comuni și necomuni cu exponentul cel mai mare.

Adică 2 la puterea a 5-a ori 5.

2 la puterea a 5-a este chiar 32 ori 5, egal cu 160.

Am terminat punctul B. Mergem mai departe cu punctul C.

Trebuie să descompunem numerele 42 și 54.

O să-l descompunem acum pe 42.

42 este divizibil cu 2.

Rezultatul împărțirii este 21.

21 este divizibil cu 3.

Rezultatul împărțirii este 7.

Iar 7 este divizibil cu 7.

Rezultatul împărțirii va fi 1.

42 este egal cu 2 ori 3 ori 7.

Mai departe să descompunem numărul 54.

54 este divizibil cu 2.

54 împărțirea 2 este 27.

27 este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale este 9.

27 împărțirea 3 este 9.

9 este divizibil cu 3.

3 este divizibil cu 3 și obținem 1.

54 este egal cu 2 ori 3 la puterea a 3-a.

Cel mai mare divizor comun al numerelor 42 și 54 este egal cu 2 ori 3.

Deoarece 2 și 3 sunt factorii comuni și se vor lua acei factori la puterea cea mai mică.

2 ori 3 este egal cu 6.

Și acum cel mai mic multiplu comun al numerelor 42 și 54.

Vom lua factorii comuni și necomuni cu exponentul cel mai mare.

Adică 2 ori 3 la puterea a 3-a, ori 7.

2 ori 3 la puterea a 3-a este 27, ori 7.

2 ori 27 este 54, ori 7.

Putem să ne uităm direct la acest calcul, 2 ori 3 la a 3-a, aici în această descompunere și putem să scriem direct 54.

54 ori 7.

7 ori 4 este 28.

5 ori 7 este 35 și cu 2, 37.

Deci rezultatul va fi 378.

Continuăm cu punctul D.

Trebuie să descompunem numerele 63, 105 și 140.

Începem cu 63.

63 nu este divizibil cu 2.

Verificăm divizibilitatea cu 3.

Deoarece suma cifrelor este 9, numărul va fi divizibil cu 3.

63 în părțila 3 este 21.

21 se împarte tot la 3 și rezultatul este 7.

7 este divizibil cu 7 și obținem 1.

63 egal cu 3 la puterea a 2-a ori 7.

Să trecem acum la numărul 105.

105 nu este divizibil cu 2.

Verificăm dacă este divizibil cu 3.

Deoarece suma cifrelor este 6, numărul va fi divizibil cu 3.

105 în părțila 3 este 35.

35 nu este divizibil cu 3 deoarece suma cifrelor este 8 și 8 nu se împarte exact la 3.

Vom continua cu următorul număr prim, 5.

Deoarece ultima cifră este 5, înseamnă că numărul se va împărți la 5.

35 în părțila 5 este 7.

Iar 7 este divizibil cu 7.

105 se va descompune în 3 ori 5 ori 7.

Continuăm cu 140.

140 este divizibil cu 2 deoarece ultima sa cifră este 0.

140 în părțila 2 este 70.

70 este divizibil cu 2.

70 în părțila 2 este 35.

35 este divizibil cu 5.

35 în părțila 5 este 7.

140 va fi egal cu 2 la puterea a doua ori 5 ori 7.

Cel mai mare divizor comun al numerelor 63, 105 și 140 va fi egal cu 7.

Deoarece 7 este singurul factor comun.

Iar cel mai mic multiplu comun al acestor numere va fi egal cu

Încercăm să scriem factorii în ordine crescătoare.

2 la putere a doua ori 3 la putere a doua ori 5 ori 7.

Egal mai departe cu 2 la a doua este 4, 3 la a doua este 9 ori 5 ori 7.

4 ori 9 este 36, 5 ori 7 este 35.

După ce veți face alăturat calculul, o să obținem rezultatul 1260.