Cifrele romane sunt: I, V, X, L, C, D, M.

Valorile corespunzătoare acestora sunt următoarele: 

I=1; V=5; X=10; L=50; C=100; D=500; M=1000.

Pentru a scrie numerele naturale cu cifre romane, folosim următoarele reguli:

a) Când avem o cifră cu valoare mai mică, așezată după o cifră cu valoare mai mare, se adună cele două valori;

exemplu: XI=10+1=11

b) Când avem o cifră cu valoare mai mică, așezată inaintea unei cifre cu valoare mai mare, se scad cele două valori;

exemplu: IX=10-1=9

c) Când avem cifre cu valori egale, se adună cele două valori;

exemplu: XX=10+10=20

d) Când o cifră cu valoare mai mică este așezată între două cifre cu valori mai mari, se face mai întâi diferența;

exemplu: XIX=10+(10-1)=10+9=19.

 

 

Numere naturale

În matematică, numerele naturale sunt numerele întregi strict pozitive (1, 2, 3, …). În alte contexte, de exemplu în teoria mulțimilor sau în teoria grupurilor, 0 este primul număr natural. Mulțimea tuturor numerelor naturale se notează de obicei cu N (N îngroșat) sau \(\mathbb{N}\).

\(\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}\)

\(\mathbb{N}\) - numere naturale
\(\mathbb{Z}\) - numere întregi
\(\mathbb{Q}\) - numere raționale
\(\mathbb{R}\) - numere reale
\(\mathbb{C}\) - numere complexe

Numerele naturale au două întrebuințări importante: sunt folosite pentru numărare („sunt 3 mere pe masă”) și pentru aranjarea în ordine a unei colecții de obiecte („obiectul numărul 1”, „obiectul numărul 2” etc.).

Definiția numerelor naturale

Numerele naturale au fost prima dată definite axiomatic de Giuseppe Peano, în 1905, ca respectând următoarele axiome[1][2]:

• 1 este număr natural.
• Dacă n este număr natural, atunci și succesorul lui n (s(n) sau n+1) este număr natural.
• 1 nu este succesorul niciunui număr.
• Dacă  \(m\neq n\) atunci  \(s\left ( m \right ) \neq s\left ( n \right )\).
• Dacă o submulțime S a mulțimii numerelor naturale satisface primele două condiții, atunci aceasta este chiar mulțimea numerelor naturale.

Scrierea numerelor naturale cu cifre romane

Reguli actuale de scriere

• Se folosesc următoarele simboluri:

• Scrierea se face de la stânga la dreapta.
• Simbolurile I, X, C pot fi consecutive de maximum trei ori, iar V, L, D doar o dată.
• Orice semn pus la dreapta altuia de valoare mai mare sau egală cu el, se adună.

Exemplu: XX = 10 + 10, XII = 10 + 1 + 1

• Dacă un simbol mic se află în fața unui simbol mare, atunci cel mic se scade din cel mare. În acest caz, în fața unui simbol mare se poate află doar un singur simbol cu valoare mai mică.

Exemplu: IX = 10 – 1 = 9, XCII = 100 – 10 + 2 = 92

Cel mai simplu mod de a scrie cifre romane se poate face prin divizarea numărului în mii, sute, zeci și unități:

Exemplu: numărul 1988

1000 = M, 900 = CM, 80 = LXXX, 8 = VIII

Punându-le împreună: MCMLXXXVIII.

Adunarea si scaderea

Adunarea:

CXVI + XXIV = 140

Soluție: CXVI + XXIV = CXL

Scaderea:

CXVI − XXIV = 92

Soluție: CXVI − XXIV = XCII

Echivalenta cu cifrele arabe:



Extensia cifrelor romane

Se face prin lărgirea sistemei nepoziționale de calcul a cifrelor romane într-o sistemă pozițională care permite înscrierea oricărei alte valori mai mare de 3999. Un număr se divizează în mii și se desparte prin spațiu liber. Numărul de mii se înscrie ca o cifră romană obișnuită. Cifra ”0” va avea simbolul literei ”M” (cîte un ”M” pentru fiecare mie: M = 000).

Exemplu:

• 1000 = I M
• 1000 000 = I M M
• 23 = XXIII
• 3 000 006 = III M VI = III [ (3 x 1000)² = 9 000 000) + M (0 mii) + VI (6) ]
• 900 = CM
• 23900 = XXIII CM

Rotunjirea numerelor

Rotunjirea unui număr natural la ordinul zecilor (sutelor, miilor) este aproximarea prin lipsă sau prin adaos, cea mai apropiată de numărul respectiv.

Exemplu: 

• 1821 aproximat prin rotunjire la ordinul zecilor este numărul 1820.
• 1821 aproximat prin rotunjire la ordinul sutelor este numărul 1800.
• 1821 aproximat prin rotunjire la ordinul miilor este numărul 2000.

Aproximarea numerelor naturale

1. Aproximarea prin lipsă la ordinul zecilor (sutelor, miilor) a unui număr natural este cel mai mare număr natural format numai din zeci (sute, mii), mai mic sau egal cu numărul dat.

Exemplu:

• 1821 aproximat prin lipsă la ordinul zecilor este numărul 1820.
• 1821 aproximat prin lipsă la ordinul sutelor este numărul 1800.
• 1821 aproximat prin lipsă la ordinul miilor este numărul 1000.

2. Aproximarea prin adaos la ordinul zecilor (sutelor, miilor) a unui număr natural este cel mai mic număr natural format numai din zeci (sute, mii), strict mai mare decât numărul dat.

Exemplu:

• 1821 aproximat prin adaos la ordinul zecilor este numărul 1830.
• 1821 aproximat prin adaos la ordinul sutelor este numărul 1900.
• 1821 aproximat prin adaos la ordinul miilor este numărul 2000.

1. Aproximarea prin lipsă la ordinul zecilor (sutelor, miilor) a unui număr natural este cel mai mare număr natural format numai din zeci (sute, mii), mai mic sau egal cu numărul dat.

exemplu: 1821 aproximat prin lipsă la ordinul zecilor este numărul 1820.

               1821 aproximat prin lipsă la ordinul sutelor este numărul 1800.

               1821 aproximat prin lipsă la ordinul miilor este numărul 1000.

2. Aproximarea prin adaos la ordinul zecilor (sutelor, miilor) a unui număr natural este cel mai mic număr natural format numai din zeci (sute, mii), strict mai mare decât numărul dat.

exemplu: 1821 aproximat prin adaos la ordinul zecilor este numărul 1830.

               1821 aproximat prin adaos la ordinul sutelor este numărul 1900.

               1821 aproximat prin adaos la ordinul miilor este numărul 2000.

3. Rotunjirea unui număr natural la ordinul zecilor (sutelor, miilor) este aproximarea prin lipsă sau prin adaos, cea mai apropiată de numărul respectiv.

exemplu: 1821 aproximat prin rotunjire la ordinul zecilor este numărul 1820.

               1821 aproximat prin rotunjire la ordinul sutelor este numărul 1800.

               1821 aproximat prin rotunjire la ordinul miilor este numărul 2000.

 

 

 

Adunarea numerelor naturale a și b este o operație aritmetică notată a+b. Numerele care se adună se numesc termeni, iar rezultatul adunării se numește sumă.

exemplu: 15+7=22; 15 și 7 se numesc termeni, iar 22 se numește sumă.

Proprietățile adunării numerelor naturale 

Fie a, b și c trei numere naturale.

1. Adunarea este comutativă (putem să schimbăm poziția termenilor, iar rezultatul rămâne neschimbat): a+b=b+a

exemplu: 12+9=9+12

2. Adunarea este asociativă (putem să grupăm termenii cum dorim, iar rezultatul rămâne neschimbat): (a+b)+c=a+(b+c)

exemplu: (14+3)+8=14+(3+8)

3.Numărul 0 este element neutru pentru adunare: a+0=0+a=a

exemplu: 13+0=0+13=13.

Suma lui Gauss

Formule:

Formula de calcul pentru suma primelor n numere naturale este:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = n x ( n + 1 ) : 2

Formula de calcul pentru suma primelor n numere naturale este:

$S=1+2+3+...+n=n(n+1):2$

Exemplu: 1+2+3+...+21=21(21+1):2=231 (în acest caz n=21).

Scăderea numerelor naturale a și b este operația aritmetică notată a - b. Numerele a și b se numesc termenii scăderii: a se numește descăzut, iar b se numește scăzător. Rezultatul scăderii se numește diferență.

Exemplu: 16-7=9; 16 se numește descăzut, 7 este scăzător, iar 9 se numește diferență.

Observații:

1) Pentru a putea efectua scăderea a două numere naturale, descăzutul trebuie sa fie mai mare sau egal cu scăzătorul.

2) Scăderea numerelor naturale este operația inversă adunării.

3) Scaderea numerelor naturale nu are proprietățile adunării (scăderea nu este comutativă, nu este asociativă și nu are element neutru).

Înmulțirea numerelor naturale a și b este operația notată $a·b$. Numerele a și b se numesc factori, iar rezultatul înmulțirii se numește produs.

Exemplu:

 $3·5=15$;    3 și 5 se numesc factori, iar 15 se numește produs.

Proprietățile înmulțirii numerelor naturale

Fie a, b și c trei numere naturale.

1) Înmulțirea este comutativă: 

$a·b=b·a; ex: 3·5=5·3$

2) Înmulțirea este asociativă:

 $(a·b)·c=a·(b·c); ex: (3·4)·6=3·(4·6)$

3) Numărul 1 este element neutru pentru înmulțire: 

$a·1=1·a=a; ex: 29·1=1·29=29$

4) Înmulțirea este distributivă față de adunare și scădere:  

$$\begin{gathered} a·(b+c)=a·b+a·c; ex: 3·(2+5)=3·2+3·5=21 \\ a·(b-c)=a·b-a·c; ex: 4·(7-2)=4·7-4·2=20 \end{gathered}$$

 

Factor comun

Prin factor comun înțelegem un factor care apare în mai multe produse, iar scoaterea factorului comun este o metodă care ne poate ajuta să efectuăm mai rapid unele calcule.


 

Scoaterea factorului comun este o acțiune inversă distributivității înmulțirii față de adunare și scădere. Dacă un factor apare în mai multe produse, acesta se va numi factor comun.

$$\begin{gathered} a·b+a·c=a·(b+c) \\ a·b-a·c=a·(b-c) \end{gathered}$$   

Exemplu: 

$3·4+3·15=3·(4+15)=3·19=57$ 

Spunem că am dat factor comun pe 3.

Împarțirea numerelor naturale a și b este operația notată a:b. Numărul a se numește deîmpărțit, b se numește împărțitor, iar rezultatul împărțirii se numește cât.

Exemplu: 172:4=43;   172 este deîmpărțitul, 4 este împărțitorul, iar 43 este câtul.

Observații:

1) Împărțirea numerelor naturale este operația inversă înmulțirii.

2) Împărțirea numerelor naturale nu are proprietățile înmulțirii.

3) Împărțirea la zero nu are sens (nu există a:0)

4) 0:a=0

Teorema împărțirii cu rest:  

$D=ηC+R$,

unde: D= deîmpărțitul, Î= împărțitorul, C= câtul, R= restul

Exemplu:  

$246:13=18 rest 12$

$246=13·18+12$

Observație: Restul trebuie să fie întotdeauna mai mic decât împărțitorul: R<Î.

Teorema împărțirii cu rest

Enunțul teoremei

Fie a (deîmpărțit) și b (împărțitor) două numere întregi, cu condiția ca b să fie nenul. Există și sunt unice numerele întregi q (câtul) și r (restul împărțirii), astfel încât să fie satisfăcute simultan condițiile:

• a = b ⋅ q + r
• r < b

Demonstrație

Demonstrația teoremei conține două părți: prima, demonstrația existenței lui q și r, a doua, demonstrația unicității lui q și r.

Existența câtului și restului

Se consideră mulțimea

    S = { a − n d : a , d , n ∈ Z , d ≠ 0 } .

Se poate demonstra că mulțimea S conține cel puțin un element întreg nenegativ. Sunt două cazuri care trebuie luate în considerare.

• Dacă a este nenegativ, atunci se alege n = 0.
• Dacă a este negativ, atunci se alege n = a.

În ambele cazuri, a - nd este nenegativ, de unde rezultă ca S conține întotdeauna cel puțin un întreg nenegativ. Se deduce că S conține un cel mai mic întreg nenegativ r. Prin definiție, r = a - nd pentru un anumit n. Fie q acest n. Atunci, ecuația devine a = qd + r.

Rămâne de demonstrat că 0 ≤ r < |d|. Prima inegalitate este adevărată ca urmare a alegerii lui r ca întreg nenegativ. Pentru a doua inegalitate (strictă), se presupune că r ≥ |d|. Pentru că d ≠ 0, r > 0, și d > 0 sau d < 0.

• Dacă d > 0, atunci r ≥ d implică a-qd ≥ d. Ceea ce implică a-qd-d ≥0, implicând că a-(q+1)d ≥ 0. Deci, a-(q+1)d is in S și, deoarece a-(q+1)d=r-d cu d>0 știm a-(q+1)d<r, contrazice ipoteza că r a fost elementul cel mai mic întreg nenegativ al lui S.
• Dacă d<0 atunci r ≥ -d implică a-qd ≥ -d. Aceasta implică a-qd+d ≥0, implicând că a-(q-1)d ≥ 0. Deci, a-(q-1)d este în S și, deoarece a-(q-1)d=r+d cu d<0 știm că a-(q-1)d<r, contrazice ipoteza că r a fost elementul cel mai mic întreg nenegativ al lui S.

În ambele cazuri, am demonstrat că r > 0 nu este cel mai mic întreg nenegativ al lui S, ceea ce este o contradicție, deci trebuie să avem r < |d|.

Aceasta demonstrează complet existența lui q și r.

Unicitatea

Presupunem că există q, q' , r, r' cu 0 ≤ r, r' < |d| qstfel încât a = dq + r și a = dq' + r' . Putem considera, fără a reduce generalitatea demonstrației, q ≤ q' .

Scăzând cele două ecuații rezultă: d(q' - q) = (r - r' ).

Dacă d > 0, atunci r' ≤ r și r < d ≤ d+r' , deci (r-r' ) < d. Similar, dacă d < 0, atunci r ≤ r' și r' < -d ≤ -d+r, deci -(r- r' ) < -d. Combinând cele două ecuații |r- r' | < |d|.

Ecuația inițială implică: |d| divide |r- r' |; deci sau |d| ≤ |r- 'r' | sau |r- r' |=0. Deoarece am stabilit că |r-r' | < |d|, putem concluziona că prima variantă nu poate fi adevarată. Deci, r=r' .

Înlocuind în cele două ecuații inițiale rezultă dq = dq' și, deoarece d nu este 0, trebuie să avem q = q' ceea ce demonstrează unicitatea.

Teorema împărțirii cu rest:  

$D=ηC+R$,

unde: D= deîmpărțitul, Î= împărțitorul, C= câtul, R= restul

Exemplu:  

$246:13=18 rest 12$

$246=13·18+12$

Observație: Restul trebuie să fie întotdeauna mai mic decât împărțitorul: R<Î.

$$\begin{gathered} a^n=\underbrace{a·a·a·...·a} \\ n ori \end{gathered}$$

a- se numește bază

n- se numește exponent

Exemplu:

$2^5=2·2·2·2·2=32$

Observații:

$0^n=0, n\ge 1$

$a^1=a, a\ge 0$

$a^0=1, a\ge 1$

$1^n=1, n\ge 0$

$$\begin{gathered} a^m+a^n\ne a^{m+n} \\ {a}^m-a^n\ne a^{m-n} \\ (a+b{)}^m\ne a^m+b^m \\ (a-b{)}^m\ne a^m-b^m \end{gathered}$$

1. Dintre două puteri cu aceeași bază și exponenti diferiți, este mai mare cea cu exponentul mai mare.

$m<n\Rightarrow a^m<a^n, a\ne 0, a\ne 1; ex: 3^{10}>3^6$

2. Dintre două puteri cu baze diferite, având același exponent, este mai mare cea cu baza mai mare.

$a<b\Rightarrow a^m<b^m, a\ne 0, b\ne 0, m\ne 0; ex: 2^4<3^4$

3. Dacă avem puteri cu baze diferite și exponenți diferiti, fie calculăm puterile, fie le aducem la aceeași bază sau la același exponent și apoi aplicăm una din regulile de mai sus.

Ridicarea la putere

Puterea n a unui număr a, notată \(a^{n}\), este o operație dintre aceste numere, numite bază, respectiv exponent. În vorbire \(a^{n}\) se pronunță "a la puterea n", sau, pe scurt, "a la n", Dacă n este un număr natural, atunci ridicarea la putere poate fi definită ca o înmulțire repetată:

\(a^{n}=\underset{n}{\underbrace{a\times .....\times a}}\)

Exponentul poate fi mai mic ca zero, poate fi număr neîntreg sau chiar complex. Mulțimea de numere în care ia valori exponentul poate fi extinsă. Astfel puterea cu exponent întreg negativ a unui număr natural sau intreg pozitiv dă un număr fracționar sau rațional pozitiv. Iar exponentul rațional aplicat unei baze naturale produce un număr irațional algebric sau radical din baza număr natural. Exponentul unei puteri pozitive a număr pozitiv este redat prin funcția logaritm.

$a^m·a^n=a^{m+n}$

$a^m:a^n=a^{m-n}, a\ne 0, m\ge n$

${\left(a^m\right)}^n=a^{m·n}$

$a^m·b^m=(a·b{)}^m$

$a^m:b^m=(a:b{)}^m, b\ne 0$

Dacă într-un exercițiu avem mai multe tipuri de operații, ordinea de efectuare a acestora este următoarea:

1. Mai întâi calculăm ridicarile la putere (operații de ordinul III)

2. Apoi efectuăm înmulțirile și împărțirile (operații de ordinul II)

3. La final efectuăm adunările și scăderile (operații de ordinul I).

Dacă într-un exercițiu apar paranteze, mai întâi efectuăm calculele din parantezele mici (rotunde), apoi efectuăm calculele din parantezele pătrate și apoi din acolade. În fiecare dintre aceste paranteze respectăm ordinea efectuării operațiilor.

Ordinea efectuării operațiilor

În matematică, ordinea operațiilor reprezintă succesiunea corectă a efectuării operațiilor în cadrul unei expresii matematice.

Ordinea operațiilor este:

  -  operațiile dintre paranteze. Există două cazuri:

  -  dacă există paranteze rotunde, pătrate și acolade, se execută întâi operațiile dintre parantezele rotunde, apoi cele dintre parantezele pătrate și apoi cele dintre acolade.

Exemplu:

  (4+10/2)/9=[4+(10/2)]/9=[4+(5)]/9=9/9=1

       - dacă există doar paranteze rotunde, se execută operațiile dintre parantezele cele mai interne și apoi, in ordine, cele externe.

Exemplu:

   (4+10/2)/9=(4+(10/2))/9=(4+(5))/9=9/9=1

    - operațiile cu un singur operator. Exemplu: n!

    - ridicarea la putere și extragerea radicalului. În cazul puterilor compuse, calculul se face de sus în jos.

   - înmulțirea și împărțirea în ordinea scrisă de la stânga la dreapta;

   - adunarea și scăderea în ordinea scrisă de la stânga la dreapta;

Exemple:

6/[2*(1+2)]=6/[2*3]=6/6=1
6/2*(1+2)=6/2*3=3*3=9

Media aritmetică a două numere naturale se calculează după formula:

$m_a=(a_1+a_2) : 2$

Media aritmetică a n numere naturale se calculează după formula:

$m_a=(a_1+a_2+...+a_n) : n$

Sistemul de numerație hexazecimal (în baza 16) conține simbolurile: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F, unde:

$$\begin{gathered} A\to 10 \\ B\to 11 \\ C\to 12 \\ D\to 13 \\ E\to 14 \\ F\to 15 \end{gathered}$$

Un număr scris în baza 16 se poate scrie ca o sumă de produse în care un factor este o putere a lui 16 (în acest mod se face trecerea din baza 16 în baza 10).

$ex: {190}_{\left(16\right)}=1·{16}^2+9·{16}^1+0·{16}^0={400}_{\left(10\right)}$

Trecerea din baza 10 în baza 16 se face prin împărțirea numărului la 16 (sau la o putere a lui 16).

 

Trecerea unui număr din baza 10 în baza 2 se face prin împărțiri succesive la 2, iar resturile rezultate (0 sau 1) vor alcătui numărul în baza 2 (acestea se vor scrie pornind de la dreapta spre stânga).

Pentru a face conversia unui număr din baza 2 în baza 16 procedăm astfel:

-formăm grupe de câte 4 simboluri, pornind de la dreapta spre stânga

-orice combinație de patru simboluri scrise în baza 2 va reprezenta un simbol în baza 16

-simbolurile obținute vor forma numărul scris în baza 16.

Sistemul de numerație zecimal

Sistemul de numerație zecimal (în baza 10) conține simbolurile: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Orice număr natural scris în baza 10 se poate scrie ca o sumă de produse în care un factor este o putere a lui 10.

$ex: 163=1·{10}^2+6·{10}^1+3·{10}^0$

Sistemul de numerație binar

Sistemul de numerație binar (în baza 2) conține simbolurile: 0,1.

Orice număr scris în baza 2 se poate scrie ca o sumă de produse în care un factor este o putere a lui 2.

$ex: 10100011=1·2^7+0·2^6+1·2^5+0·2^4+0·2^3+0·2^2+1·2^1+1·2^0$