Compararea puterilor

Să vedem acum cum comparăm puterii. Ce înseamnă să comparăm puterii? Dacă avem, de exemplu, 2 la a treia și 3 la a doua,

compara aceste puteri înseamnă a stabili care dintre ele este mai mare sau mai mică, cum doriți să spune.

Ei bine, atunci când vorbim despre compararea puterilor, să știți că avem trei situații posibile.

Prima situație este aceea în care puterile au aceeași bază. Și dacă vrem să comparăm, de exemplu, 2 la 2017 cu 2 la 5080,

iată că vorbim de puteri cu aceeași bază. E clar că nu vom începe să facem ridicările la putere, pentru că am avea foarte mult de calculat.

Atunci, cum gândim? Păi haideți să începem de la un exemplu mai simplu și comparăm 2 la a treia cu 2 la a patra.

Ca să ținem minte că avem aceeași bază, iată voi, rescrie baza cu aceeași culoare. Deci baza e identică, puteri, exponenții sunt diferiți.

Ce înseamnă 2 la a treia? Păi 2 la a treia înseamnă 2 ori 2 ori 2. Nu vom face ridicările la putere.

2 la a patra înseamnă 2 ori 2 ori 2 ori 2. De fapt, 2 la a patra observăm că este 2 la a treia înmulțit cu 2.

Păi, de vreme ce acest număr este dublul lui 2 la a treia, înseamnă că 2 la a treia este, de fapt, strict mai mic decât 2 la a patra.

Alt exemplu. Să comparăm acum 3 la a zecea cu 3 la a șasea. Din nou avem puteri cu aceeași bază.

Păi 3 la a zecea înseamnă 3 ori 3 și așa mai departe ori 3.

Avem aici, putem să notăm că avem 10 factori, toți egali cu 3.

În timp ce aici avem 3 înmulțit cu 3 și așa mai departe ori 3, avem, de fapt, 6 factori, toți egali cu 3.

Păi e clar că acest produs este mai mic decât acesta. Sau altfel spus, 3 la a zecea este strict mai mare decât 3 la a șasea.

Sau aici putem să facem și altfel, dacă stăpânim deja regule de calcul cu puteri.

3 la a zecea poate fi scris ca fiind 3 la a șasea înmulțit cu 3 la a ce putere?

Păi ce număr adunat cu 6 ne dă 10? E ușor, vorbim de numărul 4.

Deci ștergem aici și trecem 4. În timp ce aici avem, rescriu 3 la a șasea.

Păi acest număr este 3 la a patra ori 3 la a șasea, deci clar vorbim de un număr strict mai mare decât 3 la a șasea.

Care este prin urmare regula?

De fapt, atunci când avem puteri care au aceeași bază, comparăm exponenții, adică va fi mai mare puterea care are exponentul mai mare.

Haideți să ne uităm aici. Avem puteri cu aceeași bază, baza 2.

Avem exponenții 2017 și 5080.

Cum acest număr este strict mai mic decât 5080, înseamnă că această putere este strict mai mică decât aceasta.

La fel se întâmplă și aici, 2 la a treia este strict mai mic decât 2 la a patra, pentru că 3 este strict mai mic decât 4.

3 la a zecea este strict mai mare decât 3 la a șasea, pentru că 10 este strict mai mare decât 6.

Acum, dacă vreți să dăm și o regulă, dacă m și n sunt 2 exponenți, m strict mai mic decât n, atunci ce putem spune despre a la m și a la n?

Cum m este strict mai mic decât n, înseamnă că această putere este strict mai mică decât aceasta.

Și acum să punem și condiția ca a să fie nenul și să fie și diferit de 1, pentru că dacă a este 0 sau 1, atunci aici am avea egalitate.

Deci reținem că e foarte ușor să comparăm puteri când avem aceeași bază.

Comparăm, de fapt, exponenții.

Următoarea situație este aceea în care puterile au același exponent.

Și haideți să comparăm acum 2 la a patra cu 3 tot la puterea a patra.

Iată, am scris exponenții cu aceeași culoare.

Nu vom face ridicările la putere. Ce înseamnă 2 la a patra?

Păi avem 2 ori 2 ori 2 ori 2, în timp ce aici avem 4 factori, toți egali cu 3.

De ce nu e nevoie să facem vreun calcul?

Pentru că, iată, 2 este strict mai mic decât 3.

Cum aici avem peste tot factorul 2 și aici factorul 3, e clar că toți factorii de aici sunt strict mai mici decât cei de aici.

Asta înseamnă că acest produs este strict mai mic decât acesta.

Cu alte cuvinte, 2 la a patra este strict mai mic decât 3 la a patra.

Alt exemplu, să comparăm acum 14 la 2015 cu 10 la 2015.

Ce înseamnă 14 la 2015?

Păi avem 14 ori 14 și așa mai departe, ori 14, de câte ori?

Păi avem aici 2015 factori, toți egali cu 14.

În timp ce aici avem 10 ori 10 și așa mai departe, ori 10.

Haide să scriem câți factori avem.

2015 factori.

Păi cum 14 este strict mai mare decât 10, înseamnă că tot acest produs este strict mai mare decât acesta.

Deci clar, 14 la 2015 este strict mai mare decât 10 la 2015.

De fapt, ce se întâmplă atunci când comparăm puteri care au același exponent?

Comparăm de fapt bazele și este mai mare puterea care are baza mai mare.

Alt exemplu, să considerăm că avem 257 la 399 și vrem să comparăm cu 256 la 399.

Păi iată, avem același exponent, deci comparăm bazele.

Cum 257 este strict mai mare decât 256, înseamnă că această putere este strict mai mare decât aceasta.

Acum, dacă ar fi să dăm și o regulă, dacă avem aici două numere, a strict mai mic decât b,

dacă ridicăm la același exponent aceste numere, atunci, pentru că a este strict mai mic decât b, a la m va fi strict mai mic decât b la m.

Evident, vorbim de un exponent diferit de 0, pentru că dacă ar fi 0, am avea egalitate.

Și ca să evităm complicațiile, considerăm că a e diferit de 0, la fel și b.

Cu alte cuvinte, când avem puteri cu același exponent, de fapt comparăm bazele.

2 la 4 este strict mai mic decât 3 la 4, pentru că 2 este strict mai mic decât 3.

La fel se întâmplă și aici.

Următoarea situație, puterile au baze diferite și exponenți diferiți.

Cu alte cuvinte, primul exemplu este 2 la 3 și 3 la 2.

Hai să luăm aceste două puteri.

Deci, avem de comparat 2 la 3 cu 3 la 2.

Avem aceeași putere, aceeași bază? Nu.

Avem același exponent? Nu avem nici același exponent.

Atunci, cum gândim?

Pentru început, putem să vedem dacă este ușor să facem ridicările la putere.

Adică, vedem dacă putem calcula puterile foarte ușor.

2 la 3 știm că este 8, deci notăm 8.

3 la 2 este 9.

A fost foarte ușor de calculat.

Comparăm. 8 este strict mai mic decât 9.

Înseamnă că 2 la 3 este strict mai mic decât 3 la 2.

Deci, aici chiar a fost foarte simplu.

Alt exemplu.

Să comparăm acum 5 la 22 cu 3 la 33.

E ușor să facem ridicările la putere?

Nu, pentru că ne-ar lua prea mult timp.

Deci, varianta asta pică, nu vom calcula puterile.

Atunci, ce vom face?

În asemenea situații, urmărim să aducem puterile la aceeași bază sau la același exponent.

Păi, să vedem. Pe 5 îl putem scrie în funcție de 3 sau invers?

Adică, putem să facem în așa fel încât să avem aceeași bază?

Nu, pare cam complicat.

Să privim exponenții.

Avem 22 și 33.

Bun, dar și 22 și 33 pot fi scrise ca produse de numere în funcție de numărul 11.

Iată, 22 îl putem scrie 2 ori 11, în timp ce 33 poate fi scris 3 înmulțit cu 11.

Bun, însă, cum mai putem scrie?

Sub ce altă formă putem să scriem această putere?

Păi avem, de fapt, 5 la a doua totul la 11.

Am folosit regulile de calcul cu puteri.

Și aici ce vom obține?

Păi avem 3 la a treia totul la 11.

Și acum, 5 la a doua, ce înseamnă?

Înseamnă 5 ori 5, adică 25 la 11.

3 la a treia ne dă 27 la exponentul 11.

Deci, ce am obținut?

Am ajuns la situația în care avem puteri cu exponenți egali.

Deci, comparăm bazele.

Cum 25 este stric mai mic decât 27, această putere este stric mai mică decât aceasta.

Deci, am găsit că 5 la 22 este stric mai mic decât 3 la 33.

Cu alte cuvinte, am adus puterele la același exponent.

Încă un exemplu.

Să luăm acum 9 la a opta și să-l comparăm cu 27 la exponentul 5.

Bun, păi să vedem.

Putem să scriem baza 9, respectiv baza 27, în funcție de o aceeași bază?

Sigur, pentru că 9 este 3 la a doua.

Deci, practic, aici avem de fapt 3 la a doua, totul la a opta.

În timp ce 27 este 3 la a treia.

Deci, avem 3 la a treia, totul la a cincea.

Păi, din nou aplicăm regule de calcul cu puteri, însă acum vom înmulți exponenții.

Deci, e drumul invers față de ce am avut aici.

Și vom obține 3 la 2 ori 8 și aici avem 3 la 3 ori 5.

Deci, 3 la 16 și aici avem 3 la 15.

Avem puteri care au aceeași bază, deci comparăm exponenții.

Vedeți cum 16 este strict mai mare ca 15?

Înseamnă că această putere este strict mai mare decât aceasta.

Deci, 9 la 8-a este strict mai mare decât 27 la 5-a.

Și iată că am adus puterile la aceeași bază.

Cu alte cuvinte, când ne întâlnim cu puteri care au baze diferite și exponenți diferiți,

vedem dacă putem să calculăm puterile, dacă e ușor de făcut calculul,

sau dacă nu facem ridicările la putere, urmărim să aducem puterile la aceeași bază sau la același exponent.

Să știți că există și situații în care e dificil să calculăm puterile

și nici nu putem să le aducem la aceeași bază sau la același exponent

și atunci se folosesc tot felul de inegalități.

Însă, voi o veți întâlni în general cu una din aceste situații.